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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EXACTAS 1. Juan José Arango Solano - Estudiante de Ingeniería Electrónica Docente: Carlos Hernández Valledupar-Cesar 2018-2

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.

METODO DE RESOLUCION ECU. DIF EXACTA.

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 Donde las derivadas parciales de las funciones M y N: 𝝏𝑴 𝝏𝑵 𝒚 𝝏𝒀 𝝏𝑿

1.

2.

son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F (x, y) tal que: 𝒅𝑭(𝒙, 𝒚) = Donde

𝝏𝑭 𝝏𝒙

𝝏𝑭 𝝏𝑭 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚

= 𝑴(𝒙, 𝒚) 𝒚

𝝏𝑭 𝝏𝒚

= 𝑵(𝒙, 𝒚)

Dado que 𝐹(𝑥, 𝑦) es una función diferenciable, entonces por el teorema de clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser igual. Esto significa que:

𝑭(𝒙, 𝒚) = ∫ 𝑴𝒅𝒙 + 𝒈(𝒚) = ∫ 𝑵𝒅𝒚 + 𝒈(𝒙) 3. 4.

5.

𝝏𝑴 𝝏𝑵 𝝏𝟐 𝑭 = = 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒙𝝏𝒚

TEOREMA DE CLAIRAUT. En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwartz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que, si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales.

Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales. Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación, aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

Para despejar la función g se deriva 𝐹(𝑥, 𝑦) con respecto a la variable independiente de g. Se iguala la derivada parcial recién calculada de 𝐹(𝑥, 𝑦) con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable independiente de g; de este modo se encontrará la función g. Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general 𝐹(𝑥, 𝑦).

FACTOR INTEGRANTE. Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial 𝑢(𝑥, 𝑦) llamada factor integrante, tal que: 𝒖(𝒙, 𝒚)𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝒖(𝒙, 𝒚)𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 sea exacta



Factor integrante solo en función de x: 𝒖(𝒙) = 𝒆∫



Factor integrante solo en función de y: 𝒖(𝒚) = 𝒆∫



𝑵𝒙−𝑴𝒚 𝒅𝒚 𝑵

Factor integrante solo en función x+y: 𝒖(𝒙 + 𝒚) = 𝒆∫



𝑴𝒚−𝑵𝒙 𝒅𝒙 𝑵

𝑵𝒙−𝑴𝒚 𝒅𝒛 𝑴−𝑵

Con 𝒛 = 𝒙 + 𝒚

Factor integrante solo en función x*y: ∫

𝑴𝒚−𝑵𝒙

𝒅𝒛

𝒖(𝒙 + 𝒚) = 𝒆 (𝑵∗𝒚)−(𝑴∗𝒙) Con 𝒛 = 𝒙 ∗ 𝒚 Donde 𝑴 ∗ 𝒙 = 𝑴𝒙

CONVERTIR ECU. DIF NO EXACTA A EXACTA. Son exactas si cada termino derivado por la variable contraria a su diferencial es igual al otro, de lo contrario se debe hallar un factor integrante que es una función que multiplicando a los dos términos hace que la ecuación sea exacta, esto de acuerdo al método establecido del factor integrante ya mencionado el cual dependerá de cómo está organizada la función o respecto a que variable sea.

BIBLIOGRAFIA.  

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Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático. ISBN 84-291-5004-8. Dennis G. Zill y Warren S. Wright Dennis G. y (2015). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores a la frontera, Octava Edición CENGAGE Learning. Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.