• Author / Uploaded
• Aley Marquez

Citation preview

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS:

1. DIFERENCIAL TOTAL: Si , es una función diferenciable en ( es la función , cuyo valor está dado por:

(

(

)

)

, entonces la diferencial total de

)

(

)

2. DIFERENCIAL EXACTA: Una ecuación diferencial ordinaria de primer grado escrita de la forma , se denomina exacta si existe una función ( ) ( ) que: (

)

(

(

)

)

Es decir, que toda expresión que es la diferencial total de alguna función de diferencial exacta. 3. DEFINICIÓN: Consideremos la ecuación diferencial: (

Si existe una función

(

)

(

……………………….( )

)

):

(

)

(

)

(

(

)

)

Tal que cumpla lo siguiente: (

)

(

)

tal

(

)

Entonces diremos que la ecuación ( ) es una ecuación diferencial exacta.

e

se llama

4. TEOREMA: La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial , sea exacta, es que: ( ) ( ) (

)

(

)

…….. (

)

EJEMPLO 1: La ecuación diferencial ordinaria: ( es exacta porque:

)

(

)

Solución: (

{

(

)

(

(

)

(

) (

)

De esto podemos concluir que:

(

)

(

)

)

( (

)

5. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL: Consideremos la ecuación diferencial exacta: (

(

)

……………………………………….. (1)

)

Entonces existe una función (

)

(

(

)

)

(

)

tal que:

(

)

………………………….. (2)

Reemplazando (2) en la ecuación (1) se obtiene: (

)

(

)

……………………………………….. (3)

Por otra parte, si (

)

(

(

)

)

entonces su diferencial total es: ……………………………………... (4)

) )

,

Luego al comprobar (3) y (4) se tiene: Que es la solución de la ecuación diferencial. Como (

)

(

)

∫

(

(

)

(

)

integramos con respecto a .

( )

)

es decir:

……………………………………………. (5)

Donde ( ) es la constante de integración, que es una función que depende solo de la variable , puesto que la integración es con respecto a , derivando la ecuación (5) con respecto a es decir: (

Como

(

)

(

)

)

∫

(

)

( )

∫

(

)

( )

entonces se tiene:

(

)

De donde: ( )

(

)

∫

(

)

Integrando: ( )

∫*

(

)

∫

(

)

+

……………….. (6)

Reemplazado (6) en (5) se tiene la solución general de la ecuación diferencial (1); en forma análoga se hace para el otro caso cuando se toma: respecto a la variable .

(

)

(

)

y se integre con

EJEMPLO 2: Resolver: [

( )

(

[

)]

( )

(

]

)

Solución: Notamos que: (

{

(

[

)

( )

[

)

(

( )

(

)] ]

)

Calculamos las derivadas parciales: i)

(

[

)

( )

(

)] (

ii)

(

[

)

( )

)

( (

(

Como:

Si

(

)

)

(

(

)

)

( )

(

)

( )

(

)

]

) )

, entonces la ecuación diferencial (*) es exacta.

),

(

entonces:

(

)

(

( )

)

( )

(

)

[

∫

(

)

∫[

( )

)

(

( )

(

( (

)

)]

Integrando respecto de :

(

( )

)] ( ))

..… (1)

...(*)

Pero también se cumple que: (

Igualando

)

(

(

( )

)

(

)

( )

….. (2)

) con (2):

[

( )

(

]

)

( )

[

(

)

( )]

….. (3)

( )

Integrando (3): ∫

∫

( )

….. (4)

( )

Reemplazando (4) en (1): ( )

(

)

EJEMPLO 3: (

)

(

)

Solución:

{

(

)

(

)

De donde:

{

(

)

existe una función

(

(

)

)

(

)

(

)

, por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, entonces

tal que (

(

)

(

).

Luego tenemos:

)

Integrando respecto a . (

)

(

)

∫(

) ( )

Ahora derivando respecto a . (

)

( )

Como

(

)

(

(

),

entonces igualamos con (1).

)

( ) ( )

Reemplazando estos resultados en

(

)

( )

…….(1)

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

Para resolver un problema geométrico se debe recordar las relaciones geométricas correspondientes a una determinada familia de curvas, ya que dichas relaciones permiten plantear la ecuación diferencial que resuelve el problema; es decir. ( (

) )

( ) ( )

La S.G es la ecuación de la familia de curvas, cuya E.D es (1), para cada valor de C; se tendrá la ecuación de una curva de dicha familia. Consideremos una curva C descrita por la ecuación: (

Y tomemos un punto

(

)

de la curva C.

)

Para cualquier punto 

(

)

de la curva

(

)

, se tiene:

Longitud de la tangente: √



Longitud de la sub tangente:



Longitud de la normal: √



Longitud de la sub normal:

PROBLEMA 1: Determinar la ecuación diferencial de la familia de curvas, que gozan de la siguiente propiedad: “la longitud de la normal trazada por cualquier punto de una de las curvas es siempre 10 unidades”

Solución: Es recomendable hacer un gráfico:

Sabemos √ Diferencia que resuelve el problema.

( )

con cual se tiene la Ecuación

Efectuando: √

√

( )

Para integrar hacemos:

Sustituyendo en (1);

√ Volviendo a las variables

: √

PROBLEMA 2.Hallar la curva para la cual la perpendicular trazada a la tangente desde el pie de la ordenada del punto de contacto es constante, determinar lo que pasa por el punto (o, a)

Resolución.-

Del enunciado se tiene. Condición=̅̅̅̅ √

En

√

Asimismo:

Luego la ED de la familia de curvas. √

( )

√

Resolviendo la ED (1) obtenemos la S.G (

( )

)

√

(2) es la solución general, es decir la ecuación de la familia de curvas que cumple con el enunciado. ( )

Para:

Reemplazando en (2) y efectuando se tiene la solución (

√

)

(

√

) )

PROBLEMA 3: La tangente en cualquier punto de una curva y la recta que une ese punto con el origen forman un triángulo isósceles con base en el eje de las x. hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto (2,2).

Solución:

Como:

Además:

De donde:

(

Integrando:

)

( )

Es decir: Pero:

(

)

PROBLEMA 4: Hallar una curva para la cual el área de Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas. X=0, X =X, sea la función dada de

Solución:

( )

∫

( )

Derivando se tiene: (

)

Entonces:

Integrando: De donde:

(

)

PROBLEMA 5: Determinar la ecuación de una curva que pase por (1,1) y que tenga la propiedad de que la abscisa en el origen de su recta tangente sea igual a la ordenada de su recta normal

Resolución.-

Planteando el problema: Condición:

(1)

Donde:

Reemplazando en (1): (2) La ecuación (2) es una EDH que al integrar resulta: ( )

( )

(

)

ó lo que es la S.G: (

)

( )

(3)

(3) es la ecuación de la familia de curvas que cumple la condición del problema; para la S.P se debe calcular c. Cuando: ( ) (

)

( )

( ) ( )