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Ecuaciones diferenciales exactas (EDE) Se definirá EDE con los siguientes pasos: Sea F(y,t). Entonces, dF ( y, t ) 

1. Su diferencial total es

2. Si se iguala a cero

F F dy  dt y t

F F dy  dt  0 y esto es una ecuación diferencial exacta porque su y t

primer miembro es la diferencial de la función F(y,t). 3. En general, una ecuación diferencial Mdy + Ndt = 0 es exacta si y solo si existe F(y,t) tal que M 

F F , N . t y

4. Asimismo, por el teorema de Young que dice

es exacta si se cumple que

2F 2F  , entonces, una ecuación diferencial ty yt

M N  . Este es el criterio para comprobar la exactitud de una t y

ecuación diferencial. 5. Siendo exacta dF(y,t) = 0 significa que la solución general es F(y,t) = C. Resolver una EDE consiste en buscara una primitiva F(y,t) e igualarla a una constante arbitraria.

Método de solución Se plantearán aquí los pasos para hallar la solución de una EDE. 1. Sea M 

F . Esto significa que F contendrá la integral de m respecto a y, entonces, y

F ( y, t )   Mdy   (t )

2. Al ser M una diferencial parcial, se ha de integrar solo respecta a y, por lo que t se trata como una constante. 3. Para hallar t se usa N 

F t

Ejemplo: 2ytdy + y2dt = 0. Aquí: M = 2yt,

N = y2. Entonces:

1. F ( y, t )   2 ytdy   (t )  y 2t   (t ) . En la función t se incluye la constante de integración. 2.

F  y 2   ' (t ) t

3. Como N 

F , esto significa que N = y2. Se igualan entonces (2) y (3) y queda y 2  y 2 ' (t ) t

y ’t = 0 4. Se integra ’t y queda  (t )    ' (t )dt   0dt  k 5. El resultado de F(y,t) será y2t + k 6. La solución es F(y,t) = C.. Sustituyendo queda y2t + k = C1. Como C = C1 – k, entonces

y (t )  Ct



1 2

, C es arbitraria.

Otro ejemplo Dada la siguiente ecuación diferencial: (3x2 + 6xy2) dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 Pasos:

1. Identificar las funciones M y N Mdx + Ndy = 0 (forma general de una EDE) M = 3x2 + 6xy2;

N = 6x2y + 4y3

2. Verificar que es exacta M N  y x









 3 x 2  6 xy2  12 xy y

son iguales, esto significa que es una EDE

 6x2 y  4 y3  12 xy x 3. U(x,y) = C

Es la expresión a la que se quiere llegar 4. Identificar M y N las derivadas parciales respectivas M=

U ; x

N=

U y

5. Se plantea U y se busca su función

U 

U dx    y    Mdx    y  x

Entonces queda U   3x 2  6 xy2 dx    y   x 3  3x 2 y 2    y  6. Se halla la derivada parcial de U con respecto a y





U  x3  3x 2 y 2   y    6 x 2  '  y  y y 7. Se iguala la función N con la función hallada en el paso 6, para encontrar el valor de ’(y)

N=

U y

6x2y + 4y3 = 6x2 + ’(y)

lo cual da ’(y) = 4y3

8. Se integra ’(y)   y     '  y dy   4 y 3dy  y 4  k

9. Se utiliza el paso 3 para hallar la solución Dado que U(x, y) = C, y para este problema U = x3 + 3x2y2 + y4 + k, se igualan las dos expresiones. Así, x3 + 3x2y2 + y4 + k = C1. Se despeja k y se escribe C = C1 – k, por lo que la solución será x3 + 3x2y2 + y4 = C, una solución implícita.

Ejercicios 1. (t + 2y)dy + (y + 3t2)dt = 0 2. 2yt3dy + 3y2t2dt = 0 3. 3y2tdy + (y3 + 2t)dt = 0 4. t(1 + 2y)dy + y(1 + y)dt = 0

dy 2 y 4t  3t 2  0 5. dt 4 y 3t 2

No se puede resolver por el método de separación de variables. Investigamos si se trata de un diferencial exacto.

Podemos aplicar el método de ecuación exacta.

La solución será, entonces:

No se trata de una ecuación resoluble por el método de separación de variables. Se verificará si es una ecuación exacta.

No se trata de un diferencial exacto. Pero podemos intentar otro camino:

Multiplicamos todo por y2 para obtener:

No se pueden separar las variables. Se comprueba si es una ecuación diferencial exacta.

Sí, se trata de una ecuación diferencial exacta. Procedemos de la siguiente manera:

Integrando miembro a miembro:

No se trata de una ecuación de variables separables. Verificamos si se trata de una ecuación exacta.

Sí, se trata de una ecuación diferencial exacta.

No es una ecuación de variables separable. Comprobamos si es una ecuación exacta.

Se trata de una ecuación exacta.

Comprobamos si se trata de una ecuación exacta.

Como se trata de una ecuación exacta, procedemos de la siguiente forma:

Comprobamos si es exacta.

Se trata de una ecuación exacta. Procedemos de la siguiente forma: