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Universidad autónoma de Querétaro Facultad de informática

Tarea 2-2 Ecuaciones diferenciales

Ejercicios 2.3, Pág. 89. 1-15 Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferenciales, Isabel Carmona 4ed.

- Hernández Villarreal Kevin Jahir

6 de marzo de 2016 Dr. Manuel Delgado Rosas

Exp. 246579

Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas; si lo son, resolverlas. 1.-

( 2 x−5 y +2 ) dx + ( 1−6 y −5 x ) dy=0

M y =−5

N x =−5

M y =N x ; es exacta 2 x −5 y +2 (¿)dx f x =∫ ¿

f x =2 x−5 y +2

f x =2∫ xdx−5 y ∫ dx+2 ∫ dx 2

f =x −5 xy+ 2 x + f ( y) d 2 ( x −5 xy +2 x + f ( y ))=−5 x+ f ' ( y ) dy −5 x +f ' ( y )=1−6 y−5 x

f ' ( y )=1−6 y

∫ f ' ( y ) dy=1∫ dy−6 ∫ ydy

f ( y )= y−3 y 2 x 2−5 xy+ 2 x + y−3 y 2=c 2.-

( 2 x y 3−4 y +4 x−3 ) dx +( 3 x 2 y 2−4 x ) dy=0

M y =6 x y 2 −4

N x =6 x y 2−4

f x =2 x y 3−4 y + 4 x−3

M y =N x ; es exacta 2 x y 3−4 y +4 x −3 (¿)dx f x =∫ ¿

f x =2 y 3∫ xdx−4 y ∫ dx +4 ∫ x dx−3 ∫ dx f =x 2 y 3−4 xy +2 x2 −3 x + f ( y )

1

d 2 3 ( x y −4 xy +2 x 2−3 x+ f ( y ) )=3 x 2 y 2 −4 x + f ' ( y) dy 2 2 ' 2 2 3 x y −4 x+ f ( y )=3 x y −4 x

f ' ( y )=0 ∴ f ( y )=0 x 2 y 3−4 xy +2 x2 −3 x=c 3.-

( 16 xy−3 x 2 ) dx+ ( 8 x2 +2 y ) dy=0

M y =16 x

N x =16 x

f x =16 xy−3 x 2

M y =N x ; es exacta 16 xy−3 x 2 (¿)dx f x =∫ ¿

f x =16 y ∫ x−3∫ x2 f =8 x 2 y−x 3 + f ( y ) d ( 8 x 2 y −x3 + f ( y ))=8 x 2 +f ' ( y) dy

∫ f ' ( y ) dy=∫ 2 y dy

8 x 2+ f ' ( y ) =8 x2 +2 y f ( y )= y 2 8 x 2 y−x 3 + y 2=c 4.-

(−20 x y 2+ 6 x )+ ( 3 y 3−20 x 2 y ) =0

M y =−40 xy

N x =−40 xy

M y =N x ; es exacta

2

2

−20 x y + 6 x (¿)dx f x =∫ ¿

2

f x =−20 x y +6 x

f x =−20 y

2

∫ xdx +6∫ x dx

f =−10 x 2 y 2+3 x 2 +f ( y) d (−10 x 2 y 2+ 3 x 2 + f ( y) ) =−20 x 2 y +f ' ( y) dy −20 x 2 y+ f ' ( y )=3 y 2−20 x 2 y f ' ( y )=3 y 2 2

2

f ( y )=

2

3 y3 = y3 3

3

−10 x y +3 x + y =c 5.-

( e x + y ) dx +( e y + x ) dy=0

M y =1

N x =1

f x =e x + y

M y =N x ; es exacta e x+ y (¿)dx f x =∫ ¿

x

f x =∫ e dx + y ∫ dx x

f =e + xy +f ( y) d x ( e + xy + f ( y )) =x +f ' ( y) dy x+ f ' ( y )=e y + x

∫ f ' ( y ) dy=∫ e y dy

3

f ( y )=e

y

e x + xy +e y =c

6.-

(

y

y

) (

)

y 1 y− 2 e x dx + x + e x dy=0 x x

M y =1−

N x =1+

(

y x

( )( 1x )+e

y e x2

y x

y x

( x1 ))=1− yxe − ex 2

3

y x

( ( )( ) ( )) 1 e x

y x

y x

y x 2

y x

−y −1 ye e +e =1− 3 − 2 2 2 x x x x

M y =N x ; es exacta

y

y x e 2 x (¿)dx f x =∫ ¿

y−

y

f x= y −

y x e x2

du y du −y 1 −x2 du sea u= = 2 dx= = x dx x −y y 2 x

y x

f x = y ∫ dx− y ∫

e dx x2

f x = y ∫ dx− y ∫

e u −x 2 du y x2

(

)

u

f x =xy +∫ e du y x

f =xy +e + f ( y )

(

y

)

y

d ex xy +e x + f ( y) =x+ + f '( y ) dy x

4

y

y

ex ' 1 x+ + f ( y ) =x+ e x x x

f ' ( y )=0 ∴ f ( y )=0 y x

xy +e =c

7.-

(

y

y

) (

)

y 1 1− 2 e x dx+ 1+ e x dy=0 x x

(

M y =−

N x=

y x

( ) ( 1x )+ e

y e x2

y x

y x

( x1 ))=− yx e − ex 2

( ( )( ) ( )) 1 e x

y x

y x

3

y x

y x 2

y x

−y −1 −ye e +e = 3 − 2 2 2 x x x x

M y =N x ; es exacta

y

y x e x2 (¿)dx f x =∫ ¿

1−

y

f x =1−

y x e x2

f x =∫ dx− y ∫

f x =x− y ∫

du y du −y 1 −x2 du sea u= = 2 dx= = x dx x −y y 2 x

y x

e dx x2

e u −x 2 du y x2

(

)

u

f x =x +∫ e du

5

y

f =x+ e x + f ( y )

y x

(

y x

)

d e x +e + f ( y ) = + f '( y ) dy x y x

y

e 1 + f ' ( y )=1+ e x x x

∫ f ' ( y ) dy=∫ dy

f ' ( y )=1

f ( y )= y y

x+ e x + y =c

8.-

(

y

)

y y /x 1− e x dx +e dy=0 x

( ( )( ) ( ) ) y

y

y

y

y x 1 1 −ye x ex M y =− e +e x = 2 − x x x x x

y x

( ( ))

N x= e

9.-

y

−y −y ex = x2 x2

M y ≠ N x ; NO es exacta

y (1+ cos xy ) dx + x (1+ cos xy ) dy=0

( y + ycos xy ) dx + ( x+ xcos xy ) dy=0 M y =1+ ( y (−sen xy ) ( x ) +cos xy )=1−xysen xy + cos xy N x =1+ ( x (−sen xy ) ( y ) +cos xy )=1−xysen xy +cos xy

f x = y + ycos xy

y + ycos xy (¿)dx f x =∫ ¿

6

M y =N x ; es exacta

f x = y ∫ dx + y ∫ cos xy dx

f x = y ∫ dx + y ∫ cos u

sea u=xy

du du = y dx= dx y

du y

f x = y ∫ dx +∫ cos udu f =xy +senxy+ f ( y)

d ( xy +senxy+ f ( y) )=x + xcosxy+ f '( y ) dy x+ xcosxy +f ' ( y )=x + xcos xy

f ' ( y )=0 ∴ f ' ( y )=0

xy +senxy=c 10.-

( 6 x y 3 + ysen xy +1 ) dx + ( 9 x 2 y 2+ xsen xy ) dy=0

M y =18 x y 2 + ( y ( cos xy ) ( x ) + sen xy )=18 x y 2+ xysen xy N x =18 x y 2+ ( x ( cos xy ) ( y ) +sen xy ) =18 x y 2 + xysen xy

6 x y 3 + ysen xy +1 (¿)dx f x =∫ ¿

f x =6 x y 3+ ysen xy+ 1

f x =6 y

3

∫ xdx+ y ∫ sen xy dx +∫ dx

f x =6 y 3∫ xdx+ y ∫ sen u 2

M y =N x ; es exacta

sea u=xy

du + dx y ∫

3

f =3 x y −cos xy+ x + f ( y )

7

du du = y dx= dx y

d ( 3 x 2 y 3−cos xy+ x+ f ( y ))=9 x 2 y 2+ xsen xy+ f ' ( y ) dy 9 x 2 y 2 + xsen xy +f ' ( y )=9 x 2 y 2+ xsen xy

f ' ( y )=0 ∴ f ( y )=0

3 x2 y 3−cos xy + x=c 11.-

( 3 x 2+ ycos xy ) dx+ ( 3 y 2+ xcos xy ) dy=0

M y =( y (−sen xy ) ( x ) +cos xy )=−xysen xy +cos xy M y =N x ; es exacta

N x = ( x (−sen xy ) ( y ) +cos xy ) =−xysen xy + cos xy

f x =3 x 2+ ycos xy

3 x2 + ycos xy (¿)dx f x =∫ ¿

2

f x =3 ∫ x dx + y ∫ cos xy dx

f x=

sea u=xy

du du = y dx= dx y

3 x3 du + y ∫ cos u 3 y

f =x 3+ sen xy + f ( y ) d 3 ( x +sen xy + f ( y ))=xcos xy+ f '( y ) dy xcos xy + f ' ( y )=3 y 2 + xcos xy

f ' ( y )=3 y 2

∫ f ' ( y ) dy=∫ 3 y 2 dy

f ( y )= y 3

x 3+ sen xy + y 3=c 12.-

( 4 x3 −4 x y 2+ y ) dx+ ( 4 y 3 −4 x 2 y+ x ) dy =0

8

M y =−8 xy+ 1

N x =−8 xy +1

M y =N x ; es exacta 3

3

2

f x =4 x −4 x y + y

3

f x =4∫ x dx−4 y

2

2

4 x −4 x y + y (¿)dx f x =∫ ¿

∫ xdx+ y ∫ dx

f =x 4−2 x 2 y 2 + xy + f ( y ) d 4 ( x −2 x 2 y 2+ xy + f ( y ))=−4 x2 y + x+ f '( y) dy 2 ' 3 2 −4 x y + x + f ( y )=4 y −4 x y + x

' 3 f ( y )=4 y

∫ f ' ( y ) dy=∫ 4 y 3 dy

f ( y )= y 4

x 4−2 x 2 y 2 + xy + y 4 =c

13.-

(

sen y+

M y =cos y +

N x =cos y−

( )) (

y y 1 y sen dx+ xcos y − sen dy=0 2 x x x x

( ))

( ( ( )( )) ( )( )) y y cos 2 x x

((

1 y + sen x x

1 =cos y + x2

( )( )) ( )( ))

ycos

1 y −y y −1 cos + sen =cos y + 2 x x x x x2

M y =N x ; es exacta

9

( yx ) + sen ( yx )

x3

x2

ycos

( yx ) + sen ( xy )

x3

x2

f x =sen y +

y y sen 2 x x (¿) dx f x =∫ ¿

sen y+

y y sen 2 x x

() sen

f x =sen y ∫ dx+ y ∫

du 2 y du −y 1 −x du sea u= = 2 dx= = x dx x −y y 2 x

y x

( ) dx

x2

sen ( u ) −x 2 du f x =sen y ∫ dx+ y ∫ 2 y x

(

()

)

f =xsen y−∫ sen u du

f =xsen y +cos

(

( xy )+ f ( y)

)

d y xsen y+ cos + f ( y ) =xcos y− dy x

()

sen

( xy ) + f ' ( y )

x

( yx ) +f ( y )=xcos y − 1 sen y ( x) x x

sen xcos y−

xsen y +cos

14.-

'

f ' ( y )=0 ∴ f ( y )=0

( yx )=c

( ycosh xy +2 x ) dx + ( xcosh xy−2 y ) dy=0

M y = y ( senh xy ( x ) ) +cosh xy =xysenh xy +cosh xy N x = x ( senh xy ( y ) ) +cosh xy=xysenh xy + cosh xy

10

M y =N x ; es exacta

f x = ycosh xy +2 x

ycosh xy +2 x (¿)dx f x =∫ ¿

f x = y ∫ cosh xy dx +2∫ x dx

f x = y ∫ cosh u

sea u=xy

du du = y dx= dx y

du +2∫ x dx y

f =senh xy + x 2 + f ( y) d ( senh xy+ x2 + f ( y ))=xcosh xy + f '( y ) dy ' xcosh xy +f ( y )=xcosh xy−2 y

' f ( y )=−2 y

∫ f ' ( y ) dy=−2∫ y dy

f ( y )=−y 2

senh xy + x 2− y 2 =c 15.-

e x cos ydx−x e x sen ydy=0

M y =e x (−sen y )=−e x sen y M y ≠ N x ; NO es exacta

N x =−sen y ( x ( e x )+ e x )=−x e x seny−e x

11