15-30 Fisica Capacitancia
16. Resuelva el problema 15 para los mismos dos capacitores en paralelo. (a) C eq=( 6.0+ 4.0 ) x 10−6 =1 x 10 5 F (b)
Views 260 Downloads 85 File size 151KB
Recommend stories
Citation preview
16. Resuelva el problema 15 para los mismos dos capacitores en paralelo. (a)
C eq=( 6.0+ 4.0 ) x 10−6 =1 x 10 5 F
(b)
q1 =C1 V =( 6.0 x 10−6 ) (200 )=1.2 x 10−3 C
q 2=C2 V =( 4.0 x 10−6 ) ( 200 )=8 x 10−4 C (c ) V=200 , como los capacitores están conectados en paralelo, el voltaje es el mismo en los dos capacitores. 17. (a) Tres capacitores están conectados en paralelo. Cada uno tiene un área de placa A y en espaciamiento entre placas d. ¿Cuál debe ser el espaciamiento de un solo capacitor de área de placa A si su capacitancia es igual a la de la combinación en paralelo? (b) ¿Cuál debe ser el espaciamiento cuando los tres capacitores están conectados en serie? (a)
C eq=3 C=
3 ε0 A ε0 A , C eq= ' d d
3 ε0 A ε0 A ' d = ' d= d 3 d
(b)
1 3 3d = = C eq C ε 0 A
C eq=
ε0 A ε0 A ,C eq = ' 3d d
ε0 A ε0 A ' = ' d =3 d 3d d 18. En la figura 27 se muestra un capacitor variable de aire del tipo empleado para sintonizar aparatos de radio. Están conectadas entre sí placas alternadas, un grupo fijo en posición y el otro grupo con posibilidad de rotación. Considere un grupo de n placas de polaridad alterna, cada una de ellas con un área A y separadas de las placas contiguas por una distancia d. Demuestre que este capacitor tiene una capacitancia máxima de
C=
ε0 A entonces : d
C=
(n−1)ε 0 A d
.
Hay n número de placas con polaridad alterna por lo
tanto significa que hay (n-1) capacitores.
C eq=( n−1 ) C=
( n−1)ε 0 A d
19. En la figura 24 supóngase que el capacitor
C3
se perfora
eléctricamente, resultando equivalente a una trayectoria conductora. ¿Qué cambios ocurren en (a) la carga y (b) la diferencia de potencial en el capacitor (a)
C1 ? Suponga que V= 115V.
q=C123 V =( 3.10 x 10−6 ) ( 115 )=3.56 x 10−4 C
Voltaje de
C12 :
q 3.56 x 10−4 V 12= = =23.6 V C 12 15.1 x 10−6 Carga en
C1 :
q1 =C1 V 12=( 10.3 x 10−6 ) ( 23.6 )=2.43 x 10−4 C q' 1=C 1 V =( 10.3 x 10−6 ) ( 115 )=1.18 x 10−3 C Esta carga de
C1
(b) El potencial en
incrementa =
C1
q' 1 >q 1
también incrementa V >
20. Se tienen varios capacitores de 2.0
μF
V 12 , cada uno capaz de
soportar 200 V sin perforarse. ¿Cómo armaría usted una combinación que tenga una capacitancia equivalente de (a) 0.40
μF
μF
o de (b) 1.2
, siendo cada combinación capaz de soportar 1000 V?
(a) El capacitor equivalente es menor que la capacitancia individual de cada capacitor, así que se tiene que elegir una combinación en serie, cada capacitor soporta 200 V, asi que para un total de 1000V se necesitan 5 capacitores (1000/200 = 5).
1 5 C 2.0 x 10−6 −7 = C eq= = =4.0 x 10 F=0.40 μF C eq C 5 5
(b) Para
C eq=1.2 μF
5 C eq=C C=5 ( 1.2 μF ) =6 μF
Ó
Cada arreglo en horizontal es igual al inciso a, por lo tanto la capacitancia en cada arreglo es igual a
0.40 μF
C eq=3 ( 0.40 ) =1.2 μF
21. La figura 28 muestra dos capacitores en serie, siendo la sección rígida central de longitud b móvil verticalmente. Demuestre que la capacitancia equivalente de la combinación en serie es independiente de la posición de la sección central y está dada por
C=
ε0 A a−b
.
d d 1 1 1 = + = 1 + 2 C eq C 1 C2 ε 0 A ε 0 A C eq=
ε0 A ε0 A ε0 A = = d 1 +d 2 ( a−b−d 2 ) + d2 a−b
22. Un capacitor de 108
ρF
se carga a una diferencia de potencial
de 52.4 V, y luego la batería de carga se desconecta. En seguida el capacitor se conecta en paralelo con el segundo capacitor, inicialmente descargado. La diferencia de potencial es entonces de 35.8 V. Encuentre la capacitancia del segundo capacitor.
q1 =C1 V =( 108 x 10−12 ) ( 52.4 ) =5.66 x 10−9 C q' 1=C 1 V ' = ( 108 x 10−12) ( 35.8 ) =3.87 x 10−9 C q 2=q1 −q1' =1.79 x 10−9 C C2 =
q2 V
= '
1.79 x 10−9 −11 =5 x 10 F=50 pF 35.8
C1 = 1.16
23. En la figura 29, los capacitores
μF
μF
y
C2 = 3.22
están cada uno de ellos cargados a un potencial de V= 96.6 V
pero con la polaridad opuesta, de modo que los puntos a y c están en el lado de las placas negativas respectivas de
C1
y
C2 , y los
puntos b y d están en el lado de las placas negativas respectivas. Ahora los interruptores
S1
y
S2
se cierran. (a) ¿Cuál es la
diferencia de potencial entre los puntos e y f? (b) ¿Cuál es la carga en
C1 ? (c) ¿Cuál es la carga en
C2 ?
q1 =C1 V =( 1.16 x 10−6 ) ( 96.6 )=1.12 x 10−4 C q 2=C2 V =( 3.22 x 10−6 ) ( 96.6 )=3.11 x 10−4 C (a) Cuando los switch están cerrados, descargado por lo tanto
C1
esta completamente
C2 :
−4
q=q 2−q1=1.99 x 10 C q=q '1+ q'2=C 1 V ' +C 2 V ' q=V ' ( C 1 +C2 ) V ' =
q 1.99 x 10−4 = =45.4 V C1 +C 2 ( 1.16+3.22) x 10−6
(b)
q'1 =C1 V ' =( 1.16 x 10−6 ) ( 45.4 )=5.27 x 10−5 C
(c)
q'2=C2 V ' =( 3.22 x 10−6 ) ( 45.4 )=1.46 x 10−4 C
24. Cuando el interruptor S se mueve hacia la derecha (Fig. 30) las placas del capacitor
V0 .
C1
Y
C2
C1
adquieren una diferencia de potencial de
están descargados inicialmente. Ahora el
interruptor se mueve hacia la izquierda. ¿Cuáles son las cargas finales
q1
,
q2
q3
y
de los capacitores correspondientes?
q 0=C1 V 0 C23=
C2 C 3 C 2+C 3
El potencial a través de
C1
C23 es la misma, V; Por concentración de la
y
carga:
q 0=q 1+ q23 (q 23=q2=q3 ) C1 V 0=C 1 V +C 23 V C1 V 0=V (C1 +C 23) V=
[
C1 V 0 C2 +C 3 =C 1 V 0 C1 +C 23 C 1 C 2+C 1 C 3 +C2 C3
q1 =C1 V =C 21 V 0
[
C 2 +C3 C1 C2 +C 1 C 3+ C2 C3
q 2=q0 −q1 ¿ C1 V 0−C 21 V 0
[
C 2 +C3 C1 C2 +C 1 C 3+ C2 C3
]
]
]
¿
C1C 2C3 V 0 C 1 C 2 +C1 C3 +C 2 C 3
25. La figura 31 muestra dos capacitores idénticos de capacitancia C en un circuito de dos diodos (ideales) D. Una batería de 100 V se conecta a las terminales de entrada, (a) primero a la terminal a positiva y (b) más tarde a la terminal b positiva. En cada caso, ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las terminales de salida? (El diodo ideal tiene la propiedad de que la carga positiva fluye por el solo en la dirección de la flecha y la carga negativa fluye por el solo en la dirección opuesta.)
(a) Cuando la terminal a es positiva.
C eq=
C2 C = 2C 2
q=C eq V =100 Ceq =50 C q 50 C V 0= = =50 V C C (b) Cuando la terminal b es positiva. El resultado neto es que las dos terminales del capacitor están con el mismo voltaje por lo tanto el potencial es cero
( b ) =0
26. Un capacitor tiene placas cuadradas, cada una de lado a, formando un ángulo Demuestre que, para
θ θ
entre si como se muestra en la figura 32. pequeño, la capacitancia está dada por
C=
ε 0 a2 aθ 1− . d 2d
(
)
l=d + s sin θ
dC=
ε 0 ads ε ads ε ads = 0 = 0 l d + s sin θ d +sθ a
a ε 0a ds 1 d +aθ ε 0 a aθ C=ε 0 a ∫ =ε 0 a ln ( d + sθ) = ln = ln 1+ s θ d θ d 0 0 d+ sθ
[
Usando: ln (1+x)= x - x
C=
]
2
/2+ x
(
3
)
(
)
/3 - ….
ε 0 a aθ a 2 θ2 ε 0 a 2 aθ − = 1− θ d 2 d2 d 2d
[
] ( )
27. En la figura 33 la batería suministra 12 V. (a) Halle la carga sobre cada capacitor cuando el interruptor
S1
se cierra y (b) cuando (más
tarde) el interruptor
μF
,
C2
= 2.0
μF
(a) Cuando el switch
C13=
S2 ,
S1
también se cierra. Considere
C3
= 3.0
μF
y
C4
= 4.0
está cerrado.
C1 C 3 C C , C 24 = 2 4 C 1+C 3 C 2 +C 4
C 1 C 3 V ( 1.0 x 3.0 x 10−12 )12 q1 =q3 =q13=C 13 V = = =9 x 10−6 C −6 C 1 +C3 4.0 x 10 q 2=q 4=q 24=C 24 V = (b) Cuando
C 2 C 4 V (2 .0 x 4 .0 x 10−12)12 = =1.6 x 10−5 C −6 C2 +C 4 6.0 x 10
S 2 Está cerrado:
C12=C 1 +C2 , C34=C 3 +C 4 C eq=
C 12 C 34 ( 3.0)(1.0) x 10−12 = =2.1 x 10−6 F −6 C12 +C 34 10.0 x 10
q=q 12=q34=C eq V =( 2.1 x 10−6 ) ( 12 )=2.52 x 10−5 C V 12=
q 12 2.52 x 10−5 = =8.4 V C 12 3.0 x 10−6
V 34=
q 34 2.52 x 10−5 = =3.6 V C34 7 .0 x 10−6
C1
= 1.0
μF .
q1 =C1 V 12=( 1.0 x 10−6 )∗8.4=8.4 μC q 2=C2 V 12 =( 2 .0 x 10−6 )∗8.4=16.8 μC q3 =C3 V 34 =( 3 .0 x 10−6 )∗3.6=10.8 μC q 4=C 4 V 34=( 4 .0 x 10−6 )∗3.6=14.4 μC
28. Halle la capacitancia equivalente entre los puntos ‘x’ y ‘y’ y en la figura 34. Suponga que son todos de 4.0
C2
= 10
μF
y que en los otros capacitores
μF .
C1 =C4 =C 3=C5 ∆ V 2=0 ∆ V 1=∆ V 4=∆V 3 =∆ V 5=V /2 C14 =C1 +C 4=8.0 μF ,C 35 =C 3+C 5=8.0 μF 2
C C C C C eq= 14 35 = 14 = 14 =4.0 μF C14 +C 35 2 C14 2 29. ¿Cuánta energía hay almacenada en 2.0
m3
de aire debido al
campo eléctrico “de buen tiempo” de 150 V/m de intensidad?
1 1 U=u V d = ε 0 E2 V d = ( 8.85 x 10−12 ) (150 )2 ( 2.0 ) =1.99 x 10−7 J 2 2 30. Los intentos de construir un reactor de fusión termonuclear controlada, que, de ser un hecho, abastecería al mundo con un gran suministro de energía partiendo del hidrogeno pesado del agua de mar, requieren, por lo general, de enormes corrientes eléctricas
durante periodos breves en los devanados del campo magnético. Por ejemplo, el ZT-40 de los Alamos National Laboratory tiene salas repletas de capacitores. Uno de los bancos de capacitores proporciona 61.0
mF
a 10.0 kV. Calcule la energía almacenada (a) en Joules y (b)
en
kW∗h .
(a)
2 1 1 U= C V 2= ( 61.00 x 10−3 ) ( 10.0 x 103 ) =3.05 MJ 2 2
(b)
U=3.05 x 10 6 J =
3.05 x 10 6 kW∗1 h r=0.847 kW h r 3600 10 3