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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS PRE TAREA CÁLCULO DIFERENCIAL

Tarea 3- Derivadas

Presentado Por: Cristian Builes Arias Cédula: 1128418472 Calculo Diferencial 100410A_614

Presentado A: Juan Isidro Leguizamon Alfonso Tutor(a)

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia Unad Escuela De Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Tecnología En Desarrollo De Software Calculo Diferencial 2019

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NTRODUCCIÓN

El Cálculo es una rama de las Matemáticas muy utilizado en Ciencias, Tecnología, Ingeniería e Investigación, ya que a través de este, se estimulan y desarrollan diversas habilidades y competencias. Pero para que esto se cumpla, es necesario un trabajo planificado y sistemático y sobretodo en equipo. En el presente trabajo se estudiaran temas como Análisis de las Derivadas y sus Aplicaciones. Desarrollaremos cada uno de los ejercicios con su respectivo procedimiento mediante el editor de fórmulas, aplicando cada una de las propiedades de las derivadas según sea el caso y así encontrar la solución a la expresión. Las derivadas tienen una amplia aplicación, y del buen manejo de sus propiedades, además de tener el buen criterio de cuándo se pueden aplicar se verán sus beneficios, claro está además de la interiorización de los conceptos quela derivada demanda y los principios matemáticos, que son necesarios para llevara buen fin cada ejercicio.

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A continuación, se presentan los ejercicios gráficas y problemas de la tarea 3 asignados en este grupo de trabajo. 1. De acuerdo con la definición de derivada de una función 𝑓´(𝑥) = lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ→0

ℎ

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

Ejercicio 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥

Estudiante 3

𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 + (𝑥 + ℎ) (𝑥 + ℎ)2 + (𝑥 + ℎ) − (𝑥 2 + 𝑥) lim = ℎ→0 ℎ

lim = ℎ→0

𝑥² + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑥 + ℎ − 𝑥 2 − 𝑥 ℎ

lim = ℎ→0

lim =

ℎ→0

2𝑥ℎ + ℎ2 + ℎ ℎ

ℎ(2𝑥 + ℎ + 1) ℎ

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lim = 2𝑥 + ℎ + 1 = 2𝑥 + 0 + 1

ℎ→0

𝑓´(𝑥) = 2𝑥 + 1

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

Ejercicio Estudiante 3

𝑓(𝑥) = (√𝑥 + 2)(2𝑥 4 − 𝑥 3 )

𝑓(𝑥) = (𝑥21 + 2) 1 −1 𝑔´(𝑥) = ( 𝑥 2 + 0) 2 1 + 0) 2𝑥2−1 𝟏 𝒈´(𝒙) = 𝟐√𝒙

𝑔´(𝑥) = (

𝑓(𝑥 ) = (2𝑥 4 − 𝑥 3 ) 𝒉´(𝒙) = (𝟖𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 )

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𝒇´(𝒙) = (√𝑥 + 2)( (𝟖𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 ) + (2𝑥 4 − 𝑥 3 )(

Ejercicio Estudiante 3

𝑓(𝑥) =

√𝑥 − 1 𝑥3 − 1

𝑔´(𝑥) = 𝑥21 − 1 𝑔´(𝑥) = 𝑥21 − 1 𝑔´(𝑥) =

𝑔´(𝑥) =

1 −1 𝑥2 −0 2 𝟏 𝟐√ 𝒙

𝒈´(𝒙) =

−𝟎

𝟏 𝟐√𝒙

ℎ´(𝑥) = 3𝑥² − 0 𝒉´(𝒙) = 𝟑𝒙²

𝟏 𝟐√𝒙

)

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(𝑥 3 − 1)( 𝒇´(𝒙) =

𝟏 ) − (√𝑥 − 1 )(𝟑𝒙𝟐 ) 𝟐√𝒙 (𝑥 3 − 1)²

𝒙𝟑 − 𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 √𝑥 − 3𝑥² 𝟐√ 𝒙 𝒇´(𝒙) = (𝑥 3 − 1)2

𝒙𝟑 − 𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 √𝑥 − 3𝑥² 𝟐√ 𝒙 𝒇´(𝒙) = 𝑥 6 − 2𝑥 3 − 1

Ejercicio Estudiante 3

𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 − 5𝑥)3 . 𝑥 2𝑥

𝑔´(𝑥)1 = 3(3𝑥 2 − 5𝑥)²(6𝑥 − 5) ℎ´(𝑥)2 = 2𝑥² = 4𝑥 𝑓´(𝑥) = (3𝑥 2 − 5𝑥)3 (4𝑥) + 𝑥 2𝑥 (3(3𝑥 2 − 5𝑥)²(6𝑥 − 5𝑥)

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𝑓´(𝑥) = (3𝑥 2 − 5𝑥)²[(3𝑥 2 − 5𝑥)(4𝑥) + 𝑥 2𝑥 ∗ 3(6𝑥 − 5𝑥)]

𝑓´(𝑥) = (3𝑥 2 − 5𝑥)²[(12𝑥 3 − 20𝑥²) + 𝑥 2𝑥 ∗ 18𝑥 − 15𝑥)]

𝑓´(𝑥) = (3𝑥 2 − 5𝑥)²[(12𝑥 3 − 20𝑥²) + 𝑥 2𝑥 ∗ 3𝑥)]

2. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

Ejercicio Estudiante 3

(2𝑦 2 + 3)3 − 5𝑥 3 = 15

𝑓´(𝑥) = 3(2𝑦 2 + 3)2 (4𝑦 + 0) − 15𝑥 2 = 0 𝑓´(𝑥) = 3(4𝑦 4 + 12𝑦 2 + 9) (4𝑦 + 0) − 15𝑥 2 = 0 𝑓´(𝑥) = (12𝑦 4 𝑦 + 36𝑦 2 + 27)(4𝑦 + 0) − 15𝑥 2 = 0 𝑓´(𝑥) = 48𝑦 + 324𝑦 − 15𝑥 2 = 0

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3. Calcule las siguientes derivadas de orden superior. Ejercicio

Estudiante 3

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 + √𝑥

Derivada de orden superior 𝑓 ′′ (𝑥) =?

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original, obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

Estudiante 3

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 +4

3. PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

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Asignación

Problemas A Una partícula se mueve en línea recta con posición relativa al origen dado por 𝑥(𝑡) = 30 − 𝑡 2 + 5𝑡 donde x se da en metros y t está dado en segundos, con 𝑡 ≥ 0,

Estudiante 3

a. Encuentre una expresión para la aceleración de la partícula. b. Encuentre la aceleración de la partícula cuando t=4s B Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función 𝑓 (𝑥) = 1 𝑥 4 − 4𝑥 + 4 7

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BIBLIOGRAFIA http://hdl.handle.net/10596/19072 http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=edselb&AN=edselb.3227 460&lang=es&site=eds-live http://hdl.handle.net/10596/18813 http://hdl.handle.net/10596/22463 http://hdl.handle.net/10596/22300