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• Daniel Trujillo Zapata

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1C

Hffis

Er.i EL ESPAcro

En el capírulo 3 hemos utilizado el C¿ílculo para dibujar las gráficas de un amplio espectro de funciones en dos dimensiones. Ahora que hemos esrudiado rectas y planos en R3, vamos a intentar dibujar objetos más complicados en tres dimensiones. No espere ]rna teoría general como en dos dimensiones. Dibujar a mano curvas y superfrcies en el espacio, o interpretar gráficas generadas en caicuiadora, es casi un arte. Al fin y al cabo, se trata de representar en dos dimensiones un objeto tlidimensionai. No'es nuesho propósito forma¡ afistas, sino capacitarie para representar ciertas clases de superficies, necesa¡ias en los capítulos posterio¡es. Será preciso saber reconocerlas y esboza¡ sus gráficas a mano con precisión razonable. Asimismo le inviamos a que aprenda a generar e interpretar gráficas obtenidas en calculado¡as. Siga nuestras indicaciones y resuelva muchos problemas. En numerosos ejercicios de los capírulos restantes, perder unos minutos en la elabo¡ación de. una eráfica de calidad le ahor¡a¡á tiempo v esfuerzo.

*

l,

'ti

suPEnFicrrs

.

Superficies cilíndricas

Figura 10.52 Cilindro circul:rr rccto.

Empezamos por un tipo simple de superficies en el espacio. Al ver la palabra cilindro, seguro que piensa en un cilindro circular recto. Consideremos la gríftca de la ecuación f + y2 = 9 s¡7 tres dimensiones. La primera reacción es pensar en una circunferencia, pero eso es correcto sólo en parte. La gráfica de esa ecuación en dos dimensiones es una circunferencia de radio 3, pero ¿qué es en tres dimensiones? A¡alicemos la intersección con cada plano z = fr, k constante. Como z está ausente de la ecuación, tal intersección (que se llarqa traza de la superficie en e1 plano z = k) es siempre la misma: una circunferencia de radio 3. Piense un momento:,iqué superfrcie co¡ta a todo plano paralelo al plano -rJ en una ci¡cunferencia de radio 3? Es un cilindro circular recto, en este caso de radio 3 y con eje en el eje z (figura 10.52). En general, el término cili¡¡dro se u.sa parc referirse a cualquier superficie cuyas trazas en todo plzrno paralclo a url plano daclo son idénticas.,Con esta dellnición, muchas superficies resultan ser cilindros.

Ejemplo 6.1

Gráfica de una superficie

Dibujar la grifica de la superficie z -

y'

en

R'.

Solución

Corno -r esti ausente de la ecuación. la traza en todo plano x = ,t es la r¡ismá. Por tanto, es un cilindro cuya traza en esos planos (paralelos al piano yz) es la parábola z =y'. Para dibujarla, comenzamos con su t¡aza en el plano yz (ñgura 10"53a) y repetimos varias copias suyas con distintos vértices a lo largo dei eje x para darle aspecto tridimensional (figura 10.53b). Una gráfica generada en calculadora puede verse en la figura 10.53c, formada por diversas trazas cor¡espondientes a distintos valores de x e y.

Figura f 0.53a

Fígura 10.53b

Figura 10.53c

Traza en el piano yz.

-_.,2

uranca de razas oe 2 = y-.

f,o,L

!.

-r

lt'b

Sección

10.5

Sup:,rficies

c:

Un cilindro poco habitual

Ejemplo 6.2

Dibujar la gráfica de la superficie z = sen;r en

R3.

Solución De nuevo falta una variable en la ecuación, la y, de modo que Ias trazas de Ia superficie en todos los planos paralelos al plano-rz son idénticas. Son todas como la gráfica bidirnension¡il de z = sen r. Dibujamos una de ellas en el plano xz y varias copias suyas en planos paralelos. Finalmente, las conectamos con rectas paralelas al eje y (figura 10.54a). La figura 10.54b ha sido generada en una calculadora. En esta ocasión, el cilindro es como un plano ondulado.

Figura 10.54b

Figura I0.54a

Gnifica de trazas: z =

La superficie z = sen x.

sen

x.

Superficies cuádri*as La gráfira de Ia ecuaciis ex' + byz +

czz

+

dtj

+ eyz +fxz + gx + hy

+

jz+

fr = 0

en el espacio (con a, b, c, ct, e,f, S, h,j, k constantes y al minos una de entre a, b, c, d, no nula) se llama una superficie cuádrica (o simplemente cuádrica). La cuádrica más familiar es la esfera: (x

Figura 10.55 Esfera.

-

o)' + (y - D2

*

(z

-

c)2

=

v2,

de radio r centradaen el punto (a, b, c). Para dibujar la esfera centrada en (0, 0, 0) y lograr sensación espacial, dibujamos primero una circunfe¡encia de radio r en los.tres planos de coordenadas (figura 10.55). Debido a la perspectiva, las circunferencias parecen elipses y son sólo parcialmente visibles (las partes ocultas se indican con trazo discontinuo). Una generalización de la esfera es el elipsoide:

(x_a)2 (v_b)2 (z_c)2 : d2 e' f' I

-

_

IJ¡l

(La esfera es el caso particular d = e =f).

Ejemplo 6.3

Gráfica de un elipsoide

Dibujar el elipsoide

222 xyz_+:+_=1.

149

*f¡,

e,f

a

'íüB

'.

Cr¡íiulo l0

I'ector.'s y gcontei.ríx Ctl :specio

Solución Pera tener idea del as¡r3cto de la grárlca, dibujanros las trazas en Ios rres planos de coordenades. (En general, puede ser necesario nlil'ar además las trazas en planos pa¡aieios a los de coordenadas, pero no en este caso). En el plano y; (es dec.ir, -x = 0), Ia traza es 7a elipse \r2

a2

_1

49

de la figura 10.56a. Añadiendo las trazas en los planos xy y xz; que son las elipses

22

á+l= 14 se

I

v2 y '19 -

-2 T

-

l.

-

obtiene la figura i0.56b.

Figura 10.56a

Figura 10.56b

Elipse en el plano yz.

Elipsoide.

Los PCS son capaces de representar funciones en ffes dimensiones. Muchas calculadoras gráf,icas sólo están preparadas para representarlas cuando z viene dada como función de x, y.En el problema que tenemos entre mrnos se puede despejnr z y representar las fullcio-

-"iT"r'".4-y z = -3^vll vl1-x'-

nes z = 3^

de trazas de Iafigura -x" -i,-. El conjunto '

4

10.56c

no es particularmente suave, parece tener huecos. Para interpretarlo correctamente debe llenar los huecos mentalmente, lo cual exige tener idea de cómo es su aspecto, coSa que hemos conseguido con la figura 10.56b. Muchos PCS ofrecen la altemativa de representar )a gráficade Ia ecuació n i +

Figura 10.56c Trirzas

cr.r

un clipsoide.

.2J !- + 4 49

=t

en ¡rrorlo irnplícito. Lo que hacen qs resolvef la ecuación para el valor de z asociado a muchos pares de valores de x e y y r\arcar los puntos correspondientes. La figura 10.56d es de ese tipo, pe¡o no muestra las trazas usadas en la 10.56b. La nrejor opción, si se dispone de ella, suele ser la representación pararnét¡ica. Eso irnplica escribir x,y, z en téminos de dos parámetros y la gráfica se obtiene marcando puntos determinados pol rin ¿rrnplio rlruestreo de valores de los parírr.netros. (La sección 14.6 contiene una discusión rlr¿ís detallad¿r de l¿rs superlicies c¡l lbrma paramétrica). Como se vcri en l.os ejelcicios, el elipsoide adrnite ecuaciotrcs pltrarnétlicas -\'= sen J'cos l,.y: 2 scn r scn /, :=3cossconlospnririretrosenlosintcrvalos0sss2n,0