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CUARTA PRÁCTICA (ARMADURAS EN EL ESPACIO) Problema: Dada la siguiente armadura tridimensional, sometido a las fuerzas que se muestran en la figura. Determinar:   

Las reacciones. Los esfuerzos (E=3x105N/mm2, A=100x30mm2) en cada una de las barras. Los desplazamientos de cada nodo.

PA=6000N; PD=8000N

ISOMÉTRICO

ANÁLISIS

Z Q21 Q27

(7)

Q19

(9)

23

Q25 Q26

Q20

10

Q24

22

(8)

12

Q23

9

X

19

Q18

17

15

14

1

3

(6)

(5)

7

Q12

8

NODO X(mm ) 1 0 2 0 3 0 4 0 5 1500 6 1500 7 1500 8 1500 9 2500

Y(mm ) 0 0 1000 1000 1000 0 0 1000 500

Z(mm) 0 1000 1000 0 0 0 1000 1000 1000

Elemento NODO GDL (e) (1) 1 2 3 4 5 6 (2) 1 1 2 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 7 8 9 3 3 4 7 8 9 10 11 12 4 2 4 4 5 6 10 11 12 5 1 4 1 2 3 10 11 12 6 1 6 1 2 3 16 17 18 7 1 5 1 2 3 13 14 15 8 4 5 10 11 12 13 14 15 9 5 8 13 14 15 22 23 24 10 7 8 19 20 21 22 23 24 11 2 7 4 5 6 19 20 21

Q3

Q10

5

(4)

Q11

Y TABLA DE CONECTIVIDAD.

4

Q1

6

Q16

Q13 Q14

Q7

16

Q6

2

Q8

Q17 Q15

(3)

13

18

20

(2)

Q5 Q9

Q22

21

Q4

11

(1) Q2

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2 3 3 2 2 6 6 5 6 5 8 7

8 8 5 5 6 5 7 7 9 9 9 9

4 5 6 22 23 24 7 8 9 22 23 24 7 8 9 13 14 15 4 5 6 13 14 15 4 5 6 16 17 18 16 17 18 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13 14 15 19 20 21 16 17 18 25 26 27 13 14 15 25 26 27 22 23 24 25 26 27 19 20 21 25 26 27

DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA (similar al de armaduras planas) INICI O Leer datos de entrada. Para i=1 hasta Nº de nodos Ingresar coordenadas de los nodos.

Calcular área, Nº de filas de cond_contorno(CC1)

Para i1 hasta 3x Nº de nodos Cont0

Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC1)

1

3

2

1

SI

3

Si iCC(i, 1)

Cont=1, C2CC1(i,2) C1CC1(i,1)

SI

Si cont1

CC(i,1)=C1; CC(i,2)=C2

N O CC(i,1)=0; CC(i,2)=0

Para i=1 hasta Nº elementos Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.

4

2

4 Para i=1 hasta 3x Nº elementos.

SI

Si i=CC(i, 1)

Q(i,1)=CC(i,2)

NO

Acumulamos fuerzas (FC=[FC;F(i)])

Para j=1;3xNºnodo s SI

acuh=[acuh,Kij(i,j)] acumula filas

acuv=[acuv;acuh]; acumula columnas

Calcula los desplazamientos generales Q1=acuv\FC;

5

Si jCC(j,1)

5 Para i=1; 3xNº nodos

Si i==CC(i,1 ) Calcula las reacciones r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i];

Para i=1 hasta Nº de elementos Calcula esfuerzos

Imprime Desplazamientos, reaciones y esfuerzos

PROGRAMA REALIZADO EN MATLAB %ARMADURAS ESPACIALES format long nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS='); ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS='); A=input('INGRESE EL ÁREA(mm^2)='); E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2='); tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)='); %EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1] ni=[]; for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); ni(i,1)=input('N(X)= '); ni(i,2)=input('N(Y)= '); ni(i,3)=input('N(Z)= '); end F=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=');

CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]='); lm=[]; krs=zeros(3*nd); Kij=zeros(3*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[]; le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];n=[];CC=[]; [fc,cc]=size(CC1); for i=1:3*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; end end for i=1:ne le(i)=sqrt((ni(tc(i,2),1)-ni(tc(i,1),1))^2+(ni(tc(i,2),2)ni(tc(i,1),2))^2+(ni(tc(i,2),3)-ni(tc(i,1),3))^2); l(i)=(ni(tc(i,2),1)-ni(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(ni(tc(i,2),2)-ni(tc(i,1),2))/le(i); n(i)=(ni(tc(i,2),3)-ni(tc(i,1),3))/le(i); ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*32;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=l(i)*n(i);krs( ps1,ps4)=-l(i)^2;krs(ps1,ps5)=-l(i)*m(i);krs(ps1,ps6)=-l(i)*n(i); krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=m(i)*n(i);krs( ps2,ps4)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps5)=-m(i)^2;krs(ps1,ps6)=-m(i)*n(i); krs(ps3,ps1)=l(i)*n(i);krs(ps3,ps2)=n(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=n(i)^2;krs( ps3,ps4)=-l(i)*n(i);krs(ps3,ps5)=-n(i)*m(i);krs(ps3,ps6)=-n(i)^2; krs(ps4,ps1)=-l(i)^2;krs(ps4,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps3)=l(i)*n(i);krs(ps4,ps4)=l(i)^2;krs(ps4,ps5)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps6)=l(i) *n(i); krs(ps5,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps5,ps2)=-m(i)^2;krs(ps5,ps3)=m(i)*n(i);krs(ps5,ps4)=l(i)*m(i);krs(ps5,ps5)=m(i)^2;krs(ps5,ps6)=m(i) *n(i); krs(ps6,ps1)=-l(i)*n(i);krs(ps6,ps2)=-n(i)*m(i);krs(ps6,ps3)=n(i)^2;krs(ps6,ps4)=l(i)*n(i);krs(ps6,ps5)=n(i)*m(i);krs(ps6,ps6)=n(i) ^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(3*nd); end for i=1:3*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:3*nd if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end

end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[];

end Q1=acuv\FC; for i=1:3*nd if i~=CC(i,1) Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); end end end for i=1:3*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:3*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i]; end end ESF=[]; for i=1:ne ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*32;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) -n(i) l(i) m(i) n(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1);Q(ps5,1);Q(ps6,1)]; end format short disp('============='); disp('RESULTADOS'); disp('============='); disp('LOS DESPLAZAMIENTOS'); disp(Q); disp('LAS REACIONES'); disp('REACCIÓN POSICIÓN'); disp(R); disp('LOS ESFUERZOS(MPas)'); disp(ESF');

EJECUCIÓN DEL PROGRAMA INGRESE EL NUMERO DE NODOS=9 INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=23 INGRESE EL ÁREA(mm^2)=30*100 INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2=3.1e5 INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=[1 2;2 3;3 4;2 4;1 4;1 6;1 5;4 5;5 8;7 8;2 7;2 8;3 8;3 5;2 5;2 6;6 5;6 7;5 7;6 9;5 9;8 9;7 9] INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 1 N(X)= 0 N(Y)= 0 N(Z)= 0 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 2

N(X)= 0 N(Y)= 0 N(Z)= 1000 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 3 N(X)= 0 N(Y)= 1000 N(Z)= 1000 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 4 N(X)= 0 N(Y)= 1000 N(Z)= 0 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 5 N(X)= 1500 N(Y)= 1000 N(Z)= 0 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 6 N(X)= 1500 N(Y)= 0 N(Z)= 0 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 7 N(X)= 1500 N(Y)= 0 N(Z)= 1000 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 8 N(X)= 1500 N(Y)= 1000 N(Z)= 1000 INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 9 N(X)= 2500 N(Y)= 500 N(Z)= 1000 INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=[zeros(1,14) -4000 0 0 -4000 0 0 0 0 0 0 6000 0 0]’ INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]=[1 0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7 0;8 0;9 0;10 0;11 0;12 0]

============= RESULTADOS ============= LOS DESPLAZAMIENTOS -----------------------------------0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0117 -0.0341 -0.0177 0.0002 -0.0306 -0.0139 0.0037 -0.0261 -0.0128 0.0102 -0.0262 -0.0177 0.0115 -0.0348 -0.0205 LAS REACIONES -------------------------------REACCIÓN POSICIÓN -------------------------------1.0e+004 * 0.3779 0.2614 0 0.0984 0.3484 0.2396 -1.0513 0 0.5604 -0.7274 0 0

0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.0010 0.0011 0.0012

LOS ESFUERZOS(MPas) ----------------------------------0 0 0 0 0 0.0474 -1.5710 2.4245 0 -0.0414 0.7601 -1.0430 2.1077 3.3677 0.0904 1.3607 -1.0596 0.3386 -0.4789 0.3599 -0.3599 1.3863 0.8498

RESULTADOS DESPLASAMIENTOS (mm)

REACCIONES (N)



 



 





  

 





































































1 

2  

ESFUERZOS (MPa)

3  

 

0 0 

0 

0

4 

 3484 5  0  0  2396 6    0 - 10513 7   0   0 8  0   5604 9   0   0  - 7274 10    0.0117 0 11  - 0.0341   0 12 - 0.0177   0.0002  - 0.0306   - 0.0139   0.0037  - 0.0261  - 0.0128   0.0102  - 0.0262   - 0.0177   0.0115  - 0.0348   - 0.0205 





0 3779 0 2614 0 0 0 984 0

CONCLUSIONES







0 0.0474 - 1.571 















2.4245 0

- 0.041 

0.7601 



- 1.043 2.1077 

3.3677 

0.0904 1.3607 













- 1.059 0.3386 - 0.478 

0.3599 







- 0.359 







1.3863 0.8498

Conclusiones acerca de los resultados de la armadura  Según los resultados, vemos que los elementos 1, 2, 3, 4 y 5 no están sometidos a esfuerzos, estos elementos tan solo sirven para ensamblar la armadura. 

El elemento número 9 no soporta cargas, en consecuencia este elemento, sólo cumple función de evitar flexiones. En cambio el elemento número 14, es el más crítico, lo que significa que este elemento será el que falla primero.

 Los desplazamientos máximos se obtuvieron en el punto 9, ya que en este punto la carga aplicada es máxima (6000N). Conclusiones acerca del programa realizado  El programa hecho por el autor para resolver una armadura en el espacio, tan solo es una modificación del programa para el plano, la única diferencia es que se agregado un grado más de libertad por cada nodo.  Lo tediosos del programa, es ingresar la tabla de conectividad, ya que el número de barras es muy alto, pero esto se podría solucionar al lograr conectar el programa con algún programa de dibujo como el solidWorks o el Autocad.  La ventaja de del programa es la facilidad del cálculo de las reacciones, desplazamientos y esfuerzos de cada elemento, esto gracias el método de elementos finitos, ya que acondiciona el problema para poder ser desarrollado por un programa.