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• Mateo Díaz Anastácio

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LA RECTA LA RECTA EN EL PLANO Inclinación y pendiente de una recta Sea r una recta dirigida hacia arriba. Se llama ángulo de inclinación de r al ángulo que la recta forma con el eje X positivo. Si r es paralela al eje X, su ángulo de inclinación es cero. Y r



X

Se llama pendiente de una recta r a la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente se designa comúnmente por la letra m y se escribe entonces m  tg  , siendo  la medida del ángulo de inclinación. Observación: Cualquier recta que coincida o sea paralela a1 eje Y será perpendicular a1 eje X, y su ángulo de inclinación será de 90º. Como tg 90º no está definida, la pendiente de una recta paralela a1 eje Y no existe. Si P1  x1 , y1  y P2  x2 , y2  son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta dirigida r , la pendiente de la recta es y y m 2 1, x2  x1 siendo x1  x1 . Y r

y2 y1

P2 P1



 x1

x2

X

Ángulo de dos rectas

Sean r1 una recta dirigida con ángulo de inclinación 1 y pendiente m1 y r2 una recta dirigida con ángulo de inclinación  2 y pendiente m2 . La medida  del ángulo agudo formado por las rectas está dada por m  m1 tg   2 , 1  m1m2 siendo m1m2  1 . Y

1

r1

2

2

1

X

Como la medida de un ángulo exterior de un triángulo es la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes se tiene  2  1  1 , es decir, 1   2  1 . Por tanto, tg  2  tg 1 m  m1 tg 1  tg  2  1    2 . 1  tg 1 tg  2 1  m1m2

Condición de paralelismo entre dos rectas Sean las rectas r1 con pendiente m1 y r2 con pendiente m2 . Las rectas r1 y r2 son paralelas si y sólo si m1  m2 . Y

r1 r2

1

2

X

Si r1 y r2 son paralelas, entonces 1   2 , lo que implica que m1  tg 1  tg  2  m2 . De manera recíproca, si m1  m2 , es decir, si tg 1  tg  2 , entonces 1   2 , lo que implica que r1 y r2 son paralelas.

Condición de perpendicularidad entre dos rectas Sean las rectas r1 con pendiente m1 y r2 con pendiente m2 . Las rectas r1 y r2 son 1 perpendiculares si y sólo si m2   . m1 Y

r2

r1



2

1

X

Si r1 y r2 son perpendiculares, entonces  2    1  90º 1 , o sea,

90º   2  1 ,

lo que implica que

0  cotg 90º  cotg  2  1  

1

tg  2  1 



1  tg 1 1  m1m2 1   . tg  2tg  2  tg 1 tg  2tg  2  tg 1 m2  m1

De aquí,

1  m1m2  0 , es decir, m2  

De manera recíproca, si m2  

1 . m1

1 , es decir, si m1 1  m1m2  0 ,

entonces cotg   cotg  2  1  

1

tg  2  1 



1  tg 1 1  m1m2  0, tg  2tg  2  tg 1 m2  m1

lo que implica que   90º , o sea, r1 y r2 son perpendiculares.

Ecuación punto - pendiente de la recta

Sea r una recta que pasa por el punto P1  x1 , y1  y tiene pendiente m . Un punto

P  x, y  del plano pertenece a la recta r , si y sólo si m

y  y1 , x  x1

o sea,

y  y1  m  x  x1  . Esta ecuación se llama ecuación punto - pendiente de la recta r . Nota: Una recta paralela o coincidente con el eje Y no tiene pendiente, por lo cual no existe una ecuación de este tipo para dicha recta.

Ecuación explícita o pendiente – ordenada al origen de la recta De la ecuación punto – pendiente y  y1  m  x  x1  de la recta r se tiene y  m  x  x1   y1  mx  mx1  y1 . Haciendo b  mx1  y1 se tiene y  mx  b . Esta ecuación se llama ecuación pendiente – ordenada al origen de la recta r . El número b se llama ordenada al origen de la recta r y representa la ordenada del punto en que la recta corta al eje Y.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos

Sea r una recta que pasa por los puntos P1  x1 , y1  y P2  x2 , y2  . La pendiente de r está dada por y2  y1 . x2  x1 Un punto P  x, y  del plano pertenece a la recta si y sólo si

y  y1 y  y1 y2  y1 x  x1   , o sea y  y1  2 x 2  x1 x  x1 x2  x1

esta es la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1  x1 , y1  y P2  x2 , y2  . Obs.: 1. Si x1  x2 , la última ecuación no puede usarse. En este caso, la recta es paralela al eje y , y su ecuación es x  x1 . 2. Si se multiplica la última ecuación por x2  x1 , se obtiene: x1 y2  x2 y1  y2 x  x2 y  y1 x  x1 y  0 que puede escribirse en forma de determinante x y 1

x1

y1 1  0

x2 y 2 1

3. Entonces, para que los puntos P1 x1 , y1 , P2 x2 , y 2 , P3 x3 , y3  estén sobre una misma recta, se debe cumplir que:

x1

y1

1

x2

y2 1  0

x3

y3

1

Ecuación simétrica de una recta La recta cuyas intercepciones con los ejes X e Y son a  0 y b  0 , respectivamente, tiene por ecuación x y  1 a b Esta ecuación se llama ecuación simétrica de la recta.

Ecuación general de la recta Una ecuación de la forma

Ax  By  C  0 donde A  0 o B  0 representa una recta r . Esta ecuación se llama ecuación general de la recta r . De la ecuación general se tiene A C y  x . B B Comparando con la ecuación pendiente ordenada al origen se tiene que la pendiente de la recta es A m . B

Posiciones relativas de dos rectas Si las ecuaciones de dos rectas son C A1 x  B1 y  C1  0 y A2 x  B2 y  C2  0 , entonces las rectas: A B 1. son paralelas si 1  1 A2 B2 2. son perpendiculares si A1 A2  B1 B2  0 3. son coincidentes si A1  k A2 , B1  k B2 y C1  k C2 para algún escalar k  0 A B 4. se interceptan en un único punto si 1  1 A2 B2

Distancia de un punto a una recta Sea r una recta cuya ecuación general está dada por Ax  By  C  0 . La distancia d ( P0 , r ) de un punto P0  x0 , y0  a la recta r está dada por la fórmula:

d

Ax0  By0  C A2  B 2

.

Y

P0 d

r

X

Ecuación normal de una recta Dada una recta en el plano, tracemos por el origen de coordenadas una perpendicular a la recta dada llamada norma. Si P es el punto de intersección de la normal con la recta dada y p es la longitud del segmento OP y  el ángulo de la normal con el eje Ox , entonces la ecuación x cos   y sen   p  0

es llamada ecuación normal de la recta. Dada la ecuación general de una recta, Ax  By  C  0 , esta puede reducirse a su forma normal x cos   y sen   p  0 , multiplicando cada termino de la ecuación general por 1 r , en donde el signo del radical se escoge como sigue: A2  B 2 1. Si C  0 , r es de signo contrario a C . 2. Si C  0 y B  0 , r y B tienen el mismo signo. 3. Si C  B  0 , r y A tienen el mismo signo.

Familia o haz de rectas El conjunto de rectas que pasa por un punto P se llama haz de rectas. Si A1 x  B1 y  C1  0  1 y A2 x  B2 y  C2  0  2 son las ecuaciones de dos rectas que se cortan en un punto P , la ecuación   A1 x  B1 y  C1     A2 x  B2 y  C2   0 en la que  y  son números no simultáneamente nulos, determina una recta que pasa también por el punto P . Si   0 y tomando k 

 , tenemos que 

A1 x  B1 y  C1  k  A2 x  B2 y  C2   0 determina cualquier recta que pasa por el punto P ,

excluyendo a la recta 2 , pues   0 .

LA RECTA EN EL ESPACIO Ecuación vectorial de la recta

 Sea r una recta que pasa por el punto A y tiene dirección de un vector no nulo v . Para que un punto P del espacio pertenezca a la recta r , es necesario y suficiente que los  vectores AP y v sean colineales, esto es: 





AP  t v ó P  A  t v . z

P A





v

k

y



i



j

x 



Por lo que P  A  t v . Si Px, y, z  , Ax1 , y1 , z1  y v  a, b, c  , entonces x, y, z   x1 , y1 , z   t a, b, c . Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta r . El  vector v se llama vector director de la recta r y t es denominado parámetro.

Ecuaciones paramétricas de la recta Sean Px, y, z  y Ax1 , y1 , z 





 un punto genérico y un punto dado, respectivamente, de



la recta r , y v  a i  b j  c k un vector de la misma dirección que r . De la ecuación vectorial de la recta r se tiene:  P  A  tv , ó x, y, z   x1 , y1 , z1   t a, b, c  o también

x, y, z   x1  ta, y1  tb, z1  tc .

De esto, podemos concluir que:

 x  x1  ta   y  y1  tb .  z  z  tc 1 

  Las ecuaciones anteriores, en las cuales a , b y c no son todos nulos (pues v  0 ), son denominadas ecuaciones paramétricas de la recta r . La recta r es el conjunto de todos los puntos x, y, z  determinados por las ecuaciones paramétricas cuanto t varia de   a   .

Recta definida por dos puntos

La recta determinada por los puntos Ax1 , y1 , z1  y B  x2 , y 2 , z 2  es una recta que  pasa por los puntos A (ó B ) y tiene la dirección del vector v  AB  x2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1  .

Ecuaciones simétricas de la recta

De las ecuaciones paramétricas, suponiendo que a, b, c  0 , tenemos que: x  x1 y  y1 z  z1 . t ;t ;t a b c Luego: x  x1 y  y1 z  z1   a b c Está ecuaciones son denominadas ecuaciones simétricas de la recta r .

Observación: Si la recta r está determinada por los puntos Ax1 , y1 , z1  y Bx2 , y 2 , z 2  , sus ecuaciones simétricas son: x  x1 y  y1 z  z1 ,   x2  x1 y 2  y1 z 2  z1 pues un vector director es:

 v  AB  x2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1  .

Condición para que tres puntos estén sobre un misma recta

La condición para que tres puntos A1 x1 , y1 , z1  , 

A2 x2 , y 2 , z 2  y

A3 x3 , y3 , z 3 



estén sobre una misma línea recta es que los vectores A1 A2 y A1 A3 sean colineales, esto es: 



A1A 2  m A1A 3 para algún m O bien:

.

x2  x1 y 2  y1 z 2  z1   . x3  x1 y3  y1 z 3  z1

Ecuaciones reducidas de la recta Las ecuaciones simétricas de la recta x  x1 y  y1 z  z1   a b c se pueden expresar de otra forma, despejando las variables y y z en función de la variable x .

Así: y  y1 x  x1  b a b y  y1   x  x1  a b b y  y1  x  x1 a a b b y  x  x1  y1 a a b haciendo: m a b  x1  y1  n a tenemos que:

z  z1 x  x1  c a c z  z1   x  x1  a c c z  z1  x  x1 a a c c z  x  x1  z1 a a c haciendo:  p a c  x1  z1  q a tenemos que:

y

y

z  px  q

y  mx  n

Estas ecuaciones son las ecuaciones reducidas de la recta r .

Rectas paralelas a los planos o a los ejes coordenados Vimos que las ecuaciones:  x  x1  ta   y  y1  tb  z  z  tc 1  o las ecuaciones: x  x1 y  y1 z  z1   a b c representan una recta r determinada por un punto Ax1 , y1 , z1  y por un vector director 

v  a, b, c  . Hasta ahora, se consideraron que todas las componentes del vector son diferentes de cero. Sin embargo, una o dos de estas componentes pueden ser nulas. Entonces, tenemos dos casos:  1. Sólo una de las componentes de v es nula.  En este caso, el vector v es ortogonal a uno de los ejes coordenados y, por tanto, la recta r es paralela al plano de los otros dos ejes. Así:

 a. Si a  0 , v  0, b, c   0 x Las ecuaciones de r son:

 r // y0 z

 x  x1   y  y1 z  z1 .  b  c

A

r

 v

  90º x1

 b. Si b  0 , v  a,0, c   0 y  r // x0 z Las ecuaciones de r son:  y  y1   x  x1 z  z1 .  a  c

r A

  90º y1

 c. Si c  0 , v  a, b,0  0 z  r // x0 y Las ecuaciones de r son:  z  z1   x  x1 y  y1 .  a  b

z1 A r

  90º

 2. Dos de las componentes de v son nulas:    En este caso, el vector v tiene la dirección de los vectores i  1,0,0 o j  0,1,0 o    k  0,0,1 y, por tanto, la recta r es paralela al eje que tiene la dirección de i o de j o de  k. Así:   a. Si a  b  0 , v  0,0, c  // k  r // 0 z Las ecuaciones de r son:  x  x1   y  y1  z  z  ct 1 

Se acostumbra a decir, simplemente, que las ecuaciones de la recta r son:

 x  x1   y  y1 donde se subentiende que z es variable.

r

Ax1 , y1 , z1   k

y1

x1

  b. Si a  c  0 , v  0, b,0 // j  r // 0 y Las ecuaciones de r son:

 x  x1   y  y1  bt . z  z 1 

 x  x1 O simplemente  , entiendo por supuesto que x es variable.  z  z1

z1 r

Ax1 , y1 , z1   j

x1   c. Si b  c  0, v  a,0,0 // i  r // 0 x Las ecuaciones de r son:

 x  x1  at   y  y1 z  z 1  o simplemente,

 y  y1   z  z1 r z1

Ax1 , y1 , z1 

 i

y1

Observación: Las rectas 0 x , 0 y y 0 z son rectas particulares. Así el eje 0 x es una recta que pasa por el origen O0,0,0 y tiene la dirección del vector  i  1,0,0 . Luego, sus ecuaciones son:

y  0 .  z  0 De forma análoga, las ecuaciones del eje 0 y son:

x  0  z  0 y las ecuaciones del eje 0 z son:

x  0  y  0

Cosenos directores de una recta orientada

 Sea r una recta orientada que tiene la dirección y sentido de un vector no nulo v . Los  cosenos directores de la recta r son los cosenos directores del vector v , es decir, cos  , cos   y cos  , donde  ,  y  son los ángulos que v forma con los ejes X positivo, Y positivo y Z positivo, respectivamente.

Ecuación normal de una recta orientada

Sea r una recta orientada que pasa por un punto A  x1 , y1 , z1  y sean cos  , cos  y cos  los cosenos directores de r . La ecuación normal de la recta r está dada por: x  x1 y  y1 z  z1   . cos  cos  cos 

Distancia de un punto a una recta 

Sea r una recta definida por un punto P1 y por un vector v y sea un punto P del 



espacio. Los vectores v y P1 P determinan un paralelogramo cuya altura corresponde a la distancia d de P a r . z

P d 

v

P1

y

x

Se sabe que el área A del paralelogramo está dada por el producto de la base por la altura, es decir, 

A v d .

Por otro lado, de acuerdo a la interpretación geométrica del módulo del producto vectorial, se tiene: 



, A  v  PP 1 de donde 





. v d  v  PP 1

Por tanto, 

d



v  P1 P 

.

v

Ángulo entre dos rectas

Sean las rectas r1 , que pasa por el punto A1 x1 , y1 , z1  y tiene la dirección de un vector 

v1  a1 , b1 , c1  y r2 que pasa por el punto 

A2 a2 , b2 , c2  y tiene la dirección de un vector

v 2  a2 , b2 , c2  . Se llama “ángulo entre las dos rectas r1 y r2 ” al menor ángulo de un vector director de r1 y de un vector director de r2 . Luego, siendo  éste ángulo, tenemos:   v1  v 2  cos     , con 0    . v1 v 2 2

Condición de paralelismo entre dos rectas Una condición de paralelismo de las rectas r1 y r2 es la misma que entre los vectores 



v1  a1 , b1 , c1  y v 2  a2 , b2 , c2  , que definen las direcciones de esas rectas, esto es:

  v1  mv2 o:

a1 b1 c1   a 2 b2 c 2 Observaciones: 1. Sea r1 una recta que pasa por un punto A1 x1 , y1 , z1  y tiene la dirección de un vector  v1  a1 , b1c1  , expresada por las ecuaciones:

x  x1 y  y1 z  z1   . a1 b1 c1 Cualquier recta r2 , paralela a la recta r1 , tiene parámetros directores a2 , b2 , c2 proporcionales a los parámetros directores a1 , b1 , c1 de r1 . En particular a1 , b1 , c1 son parámetros directores de cualquier recta paralela a la recta r1 . En estas condiciones, si A2 x2 , y 2 , z 2  es un punto cualquiera del espacio, las ecuaciones de la paralela a la recta r1 , que pasa por A2 , son: x  x2 y  y 2 z  z 2   . a1 b1 c1

2. Si las rectas r1 y r2 se expresan, respectivamente, por las ecuaciones reducidas:

 y  m1 x  n1   z  p1 x  q1

 y  m2 x  n 2  z  p2 x  q2

y

cuyas direcciones son dadas, respectivamente por los vectores:

 v1  1, m1 , p1   v 2  1, m2 , p 2  la condición de paralelismo permite escribir:

p 1 m1   1 1 m2 p 2

m1  m2

o

p1  p2 .

y

Así por ejemplo, las rectas:

 y  2x  3 r1 :   z  4 x  5

 y  2x  1 r2 :   z  4 x

y

son paralelas.

Condición de ortogonalidad entre dos rectas La condición de ortogonalidad de las rectas r1 y r2 es la misma de los vectores 



v1  a1 , b1 , c1  y v 2  a2 , b2 , c2  que definen las direcciones de esas rectas, esto es:

  v1  v2  0

Condición de coplanaridad entre dos rectas

La recta r1 que pasa por el punto A1 x1 , y1 , z1  y tiene la dirección de un vector 

v1  a1 , b1 , c1  , y la recta r2 , que pasa por el punto A2 x2 , y 2 , z 2  y tiene la dirección de un    vector v 2  a2 , b2 , c2  , son coplanares si los vectores v1 , v 2 y A1 A2 son coplanares, esto es: a1   v1 , v 2 , A1 A2  a 2





x 2  x1

b1

c1

b2

c2

y 2  y1

z 2  z1

0

 v2

A2

r2

 v1

A1

r1

Posiciones relativas de dos rectas: Dos rectas r1 y r2 , en el espacio, pueden ser: 1. Coplanares, esto es, situadas en el mismo plano. En este caso las rectas pueden ser: a. Concurrentes: r1  r2  P ( P es el punto de intersección de las rectas r1 y r2 )

r1 P r2 b. Paralelas: r1  r2   (  es el conjunto vacío)

r1 r2

2. Reversas, esto es, no situados en el mismo plano:

r2

r1

Intersección de dos rectas Dos rectas r1 y r2 coplanares y no paralelas son concurrentes.

Recta ortogonal a dos rectas 

Sean las rectas r1 y r2 , no paralelas, con las direcciones de los vectores v1  a1 , b1 , c1  y 

v 2  a2 , b2 , c2  , respectivamente. Cualquier recta r , simultáneamente ortogonal a las rectas r1 y   r2 , tendrá un vector director paralelo o igual al vector v1  v2 .

r

r2   v1  v2

 v2

 v1

r1

Ejercicios. 1. Halla la ecuación de una recta cuya pendiente es – 4 y que pasa por la intersección de las rectas 2 x  y  8  0 y 3x  2 y  9  0 . 2. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7 , – 2). Calcula las coordenadas del punto P. 3. Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2 , -1) y que forman cada una un ángulo de 45º con la recta 2 x  3 y  7  0 4. La ecuación de una recta en la forma normal es x cos   y sen  5  0 . Halla el valor de  para que la recta pase por el punto P(4,3) . 5. Halla la ecuación de la recta cuya distancia al origen es 5 y que pasa por el punto P(1,7) . 6. La ecuación de la recta l es x  3 y  6  0 , y las coordenadas de un punto P son 4,7  . Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta l . 7. Halla la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 3x  y  9  0 , 4 x  3 y  1  0 y cuya distancia del origen es 2.

1 5  12      x  2 z  2  x  4 y  4 s: 8. Dadas las rectas r :  y y   3 z  3  z  1 y  13   4 4 4 2 de  para que r y s sean concurrentes. x  1 y y 1 z  9. Dadas las rectas r1 : x  2  y r2 :  : 2 3 z  2  2 y a) Demuestra que son concurrentes,

. Determina el valor

b) Establece las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto de intersección

de r1 y r2 , y es, al mismo tiempo, ortogonal a ambas. 10. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(1, 2, 3) , es  x  1  6t x 1 y  1 z  3  perpendicular a la recta r :  y  5  2t y se corta con la recta s : .   3 2  5  z  3t  11. Halla las ecuaciones simétricas de la recta r , que pasa por el punto M (1, 2  3) , es perpendicular al vector u  (6, 2  3) y es concurrente con la recta x 1 y 1 3  z .   3 2 5 x7 y3 z 12. Calcula la distancia del punto P(1, 2, 3) a la recta   . 6 2 3 13. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(7,  2, 9) y el perpendicular a x2 y z 3 x4 y2 z cada una de las rectas y     2 2 3 1 5 2 14. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(3,2,1) y x  3  y  2 x  1 essimultáneamente ortogonal a las rectas r :  y s : z  x  3 z  1 x 1 y z 15. La recta es paralela a la recta que pasa por el punto A(1, 0, 0) y es   a b 2  x  t y  x  simultáneamente ortogonal a las rectas r1 :  y  2t  3 y r2 :  . Calcular a y b z  2 x   z  3t  1   y  2x  3 x 1 y z 16. El valor de m para que las rectas r :  y s: sean coplanares   2 1 m  z  3x  1 es:  y  nx  5 17. Calcular el valor de n para que el ángulo formado por la recta r :  y el eje z  2x  3 y sea de 30º. 18. Calcular las ecuaciones reducidas de la recta que pasa por el punto A(2, 1, 0) y es x 1 y z paralela a la recta r : .   1 4 1  y  mx  3 19. La recta r :  es ortogonal a la recta determinada por los puntos z  x  1 A(1, 0, m), B(2, 2m, 2m) . Calcular el valor de m .