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JOSE PAYE CHIPANA

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CODEX-ECUACIONES DIFERENCIALES

JOSUE PAYE CHIPANA

UMSA FACULTAD DE INGENIERÍA PRIMER EXAMEN PARCIAL - ECUACIONES DIFERENCIALES (MAT-207) INVIERNO 2019 PROBLEMA 1 Resolver la ecuación diferencial:

 y  x y  2 x  dx   x  4 xy 3

2

4



 8 y 3  dy  0

PROBLEMA 2 Para la ecuación diferencial de Ricatti:

y '  y2 

y 1  2 1 x 4x

Hallar la función f  x  , si su solución particular es de la forma: y1 

1  f  x  y luego resolver la ecuación 2x

diferencial. PROBLEMA 3 Determinar f  y  en la ecuación diferencial:

 2 xy f  y   2 xy 4

3

 y  dx   x 2 y 4 f  y   x 2 y 2  3x  dy  0

Si admite un factor integrante de la forma   y  y luego resolver la ecuación diferencial. PROBLEMA 4 En la cúspide de una torre de 100 m de alto, se arroja un cuerpo de masa “m” verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10m/s, suponer que la resistencia del aire que actúa sobre el cuerpo es proporcional a la velocidad del cuerpo. Tomando la gravedad g=10 m/s2 y

k  5 (“k” constante de la resistencia del aire), m

hallar: a) la altura máxima que alcanza el cuerpo, por encima de la torre, b) la ecuación de la altura en función del tiempo, durante la caída. PROBLEMA 5 Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas.

UMSA FACULTAD DE INGENIERÍA PRIMER EXAMEN PARCIAL - ECUACIONES DIFERENCIALES (MAT-207) I/2019 PROBLEMA 1 Resolver la ecuación diferencial:

3 y

2

 x  1 dx   2 y 3  6 xy  2 y  dy  0

Solución: 1

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Llevamos la ecuación a la siguiente forma:

3 y

2

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 x  1 dx   y 2  3x  1 2 ydy  0

C.V. z  y 2  dz  2 ydy Reemplazando:

3z  x 1 dx   z  3x 1 dz  0

(1) Ecuación de Jacobi

Generamos el siguiente sistema de ecuaciones: 3z0  x0  1  0  x0  1/ 2    z0  3x0  1  0  z0  1/ 2

1  m  x  x0  x   2  dm  dx C.V.    dn  dz n  z  z  z  1 0   2 Reemplazando en (1):

  1  1   1  1   3  n  2    m  2   1 dx    n  2   3  m  2   1 dz  0           

  3n  m dm   n  3m dn  0

(2) Ecuación homogénea

C.V. m  t  n  dm  ndt  tdn Reemplazando en (2):

 3n  tn  ndt  tdn    n  3tn  dn  0   3  t  ndt   t 2  1 dn  0 t 3 dn dt   0 Ecuación de variables separables 2 t 1 n t 3 dn 2   1  2 dt    0     dt  ln n   ln C t 1 n  t 1 t 1  

  ln  t 1  2ln  t  1  ln n  ln C 2   t  12 n  t  1 n    ln  t  1  2ln  t  1  ln n  ln C  ln  C   ln C   t 1  t  1  

Volviendo de los cambios de variable:

1 1  2 n  z  2  y  2   1  x m 2  2x 1 t    n y2  1 2 y2 1   2 2

2

 2x  2 y2  2   2 y2 1   2x 1   2 1  1 y        2   2 y2 1   2  2 Sustituyendo:  2 y  1   C  C 2x 1 2x  2 y2  1 2 y2 1 2 y2 1

x  y INGENIERÍA CIVIL

2

 1 2

x  y2 PAYE

2

C INGENIERÍA PETROLERA

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PROBLEMA 2 Para la ecuación diferencial:

6 xydx   4 x 2  f  x   dy  0 y Resolver considerando que u  x, y   es un factor integrante de la ecuación. f  x Solución: Multiplicamos el factor integrante a la ecuación diferencial:

 4x2 y  y 6 xy 2 6 xydx   4 x 2  f  x   dy  0 / /   dx    y  dy  0 f  x f  x  f  x 

(1)

 4x2 y  6 xy 2 dx    y  dy  0  f  x  f  x  M

N

Para que sea exacta debe cumplirse:

M N   y x  4x2 y   2 xf  x   x 2 f '  x   f  x df  x  f  x 6 xy 2 12 xy dx    y  dy  0   4 y      f '  x    2 f  x f  x f  x x dx x  f  x    M



N

df  x  df  x  dx  dx 1         ln  f  x     ln x  f  x   f  x x f  x x x

Reemplazando en (1):

6 x 2 y 2 dx   4 x3 y  y  dy  0   6 x 2 y 2 dx  4 x 3 ydy   ydy  0

(2)

C.V. : z  2 x3 y 2  dz  6 x 2 y 2 dx  4 x3 ydy Sustituyendo en (2): 2   dz  ydy  0  z  y  C dz  ydy  0     2 3 2 Pero z  2 x y

2 x3 y 2 

y2 C 2

PROBLEMA 3 Resolver la ecuación:

dy 3  x  x x4  4 y dx Solución: En la ecuación: 3

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dy 3  x  x x 4  4 y / /  4dx  4dy  4 x 3dx  4 x dx 2 4 3 C.V. z  x  4 y  2 zdz  4 x dx  4dy





x 4  4 y dx

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(1)

Sustituyendo en (1):

2 zdz  4 x

 

2

  dz  2 xdx  z  2 x  C  z  x 2  C z 2 dx  dz  2 xdx    2

Pero z 2  x 4  4 y  z 

x4  4 y

x4  4 y  x2  C PROBLEMA 4 Hallar la curva sabiendo que la suma de los segmentos que intercepta la tangente en los ejes coordenados es constante igual a “2a”. Solución: De la condición del problema tenemos: b  d  2a (1) La pendiente de la recta tangente de la curva está dada por:

y 

y  y0 x  x0

Evaluando el punto  b, 0   y 

0  y0 y  b  x0  0 b  x0 y

Evaluando el punto  0, d   y 

d  y0  d  y0  x0 y (3) 0  x0

(2)

Reemplazando (2) y (3) en (1): y y 2a (4) Ecuación de Clairaut x0  0  y0  x0 y  2a  x   y  xy  2a  y  xy  y y y  1 Para resolverla realizamos el cambio y  p  dy  pdx (5) Reemplazando en (4):

y  xp 

2a 2a  dy  pdx  xdp  dp (6) 2 p 1  p  1

Igualamos (5) y (6):

pdx  pdx  xdp 

2a

 p  1

2

dp  xdp 

 2a  dp  0  x    dp  0 2 2   p  1  p  1   2a

  2a 2a 2a 2a    0  p  1    y  1   dy  1   x    dx  y  x  2 2a x  C 2   x x x     p  1  dp  0   dp   0  p  K  y  K   dy  K  dx  y  Kx  C1  4

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  y  x  2 2ax  C  y  Kx  C1  

PROBLEMA 5 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:

2ay 2  x  x 2  y 2 

Donde a  0 es una constante Solución: Aislando la constante a

2a  x  x 2  y 2  y 2  2a 

d  x3 3x2 y 2  2 x3 yy '  x / /  0   1  3x 2 y  2 x3 y ' y 3  0 2 4 y dx y

Para obtener las curvas ortogonales cambiamos y por 

1 y

 1 2 x3 3x 2 y  2 x 3     y 3  0  3x 2 y   y 3  0   3x 2 y  y 3  y ' 2 x 3  0 y'  y'   3x 2 y  y 3  dy  2 x3dx  0

(1) Ecuación homogénea

C.V. x  t  y  dx  ydt  tdy Reemplazando en (1):

3ty  

2



dy 2t 3dt dy 2t 3dt  y  y dy  2  ty   ydt  tdy   0   4  0     4  0 y 2t  3t 2  1 y 2t  3t 2  1  3

3

dy 2t  dy 2t 1 4t  2t  2  2   0    2 dt   2 dt   0 y y t 1 2 2t  1  t  1 2t  1 

y  t 2  1 1 2  ln  y   ln  t  1  ln  2t  1  ln C  C 1/2 2  2t 2  1 2

Volviendo del cambio de variable x x  ty  t  y Reemplazando:

  x 2  y     1  y     C 1/2 2  x   2    1   y    Finalmente se tiene:

x

2

 y 2   C  2 x2  y 2  5

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