• Author / Uploaded
• Ian David Hernandez

Citation preview

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

III. En los ejercicios siguientes determinar si la ecuación diferencial es exacta y si lo es, resuélvala. 1. ( 2 x  y ) dx  ( 2 y  x )dx  0



sol :



y dx  ln x  3 y 2 dy  0 x

2.

















sol :



5. 2 x  3 x 2 y 2 dx  2 x 3 y  5 y 4 dy  0







sol :



6. 2 xe xy  x 2 ye xy dx  x 3 e xy  3 y 2 dy  0

7.

sol :

 1  dx   3 y 2  dy  0 x  y  x  y 



 

8. cos( x  y ) dx  cos( x  y )  2 y sen y 2 dy  0





10.

y

2

x2  x3 y 2  y5  c x 2 e xy  y 3  c

ln( x  y )  y 3  c

sol :

sen( x  y )  cos y 2  c

s.a.

y ( 0)  2



sol :

y 2 1  x 2  cos 2 x  0



u 2  u  u 2 2   3  c

sol :



9. cos x senx  xy 2 dx  y 1  x 2 dy  0



2 1  ex y  y2  c x2

sol :

4. 2u    2u 2 du  u  2u 2  3 2 d  0



y ln x  y 3  c

sol :

2 2 2   3.   3  2 xe x y  dx  e x  2 y dy  0 x  

x 2  xy  y 2  c

 







cos x  3 x 2 y  2 x dx  2 ysenx  x 3  ln y dy  0 sol :

s.a.

y ( 0)  e

y 2 senx  x 3 y  x 2  y ln y  y  0

IV. Resolver las ecuaciones no exactas por medio de un factor integrante adecuado: y2 2 2 Sol. 3 x  c 1. 3 x  y dx  ( 2 xy )dy  0 x Sol. e y x 3  y 3 x 2  c  2y3  y 2 y   dx  (3 y  xe )dy  0 2.  3e  x   Sol. 3. dy  ( y tan x  cos 2 x) dx





y sec x  senx  c

4. y ( x  y  1) dx  ( x  2 y ) dy



Sol.



2 2x 3 5. (2 y 3 e 2 x  y 4 )dx  2 y 2 e 2 x  3 xy 3 dy  0 Sol. y e  xy  c V. Resolver las ecuaciones diferenciales lineales siguientes:

Matemáticas III - ICE

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

y  senx x senx 2. x 2 y'  3 xy  x 3. y'  (tan x )y  xsen2x

c senx   cos x x x c cos x sol : y  3  3 x x sol : y  (c  2x cos x  2senx ) cos x

1. y ' 

sol :

4. xy'  2y  e x

sol :

5. xy'  2y  x 2  x  1

s.a.

6. xy'  y  e x

s.a. y(1)  1

7. y '  (cot x) y  2 csc x

s.a. y  2   1

8. xy '  2 y  senx 9. L

di  Ri  E dt

dy 1  e 2t  y  t t dt e e

y(1) 

1 2

sol :

 x  1 x e 2 x  x  1 1 1 1 y  x2  x   4 3 2 12x 2

y

c

2



e x  1 e x 2x 1   sol : y  senx senx cos x sol : y  2  x x sol : y 

s.a. y ( )  1 donde L, R y E son consatantes s.a. i (0)  io

10.

y

sol : i (t ) 

E  E   Rt   io   e L R  R

sol : y (t )  e t ln  et  e t   ce t

VI. Ecuación de Bernoulli. S o l dy . y 1   dx 3x xy 2c

1 .

y  1

x3

S o dy l y   xy 3 . dx 2 x

2 .

y 2  cx  2x 2

3 .

S dy 1 x 2 o  2 xy  3 y 4 , y (1)  l dx 2 . 9 49 6 y 3   x 1  x 5 5

4 .

S dy xy 1o xy 2   1, l dx .

x 5 .

1

 2 y e 2

S 3 dyo x l  y   xy  2 dx.

Matemáticas III - ICE

y (1)  0 

y2 2

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

6.

dy  y ( xy 3  1) dx

1 2

1

y 

3 2

1

x 2   cx 2 1  ce 3 x 3 VII. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que se indican 3 Sol. y  x 

1.

y  xc

sol :

y  -x  c 2

2.

yx  c

sol :

y2  x2  c2

3. y  x C

sol :

2y 2 lny - y 2  x 2 - 2x 2 lnx  c 2

4.

y  x2  c

5. x   y  c 

1 y   ln x  c 2 2 3 4 sol : y   x 2  c2 3 1 3 sol : y  y  -x  c 2 3 2 sol : y  2 ln  sen x   c 2 sol :

2

6. y  tan  x  c  7. y  ccosx y  cx 2

sol :

2 y2  x2  c2

9. y 3  x 2  c

sol :

3   y   c 2  ln x  2  

8.

10.

y

c1 1 x2

-1

sol : 2 y 2  2 ln x  x 2  c 2

VIII. CIRCUITOS ELECTRICOS. 1. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial, hallar la corriente en el circuito para 1 un t  seg . 5 2. Un circuito RL tiene una fem de 8sen(2t) voltios, una resistencia de 10 ohmios, una inductancia de 2 henrios y una corriente inicial de 5 amperios; hallar la corriente  en el circuito para un t  seg . 5 3. Hallar la corriente en un circuito RL que tiene un voltaje constante, una resistencia de 40 ohmios, una inductancia de 8 henrios para t=0, los valores de E e I son cero voltios y 10 amperios, respectivamente. Calcular el tiempo necesario para que I=5 Amperios. 4. Un circuito RC tiene una fem de 300cos(2t) voltios, una resistencia de 200 ohmios y una capacitancia de 10 -2 faradios. Inicialmente no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en t  4seg .

Matemáticas III - ICE

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

5. Un circuito RC con q=0.05 coulombios y el interruptor se cierra cuando t=0, hallar la carga eléctrica después de 9 segundos si C  3  10 3 faradios y R= 1000 ohmios.

Matemáticas III - ICE