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• Harol Maghlorio

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Semana 5 Álgebra

semana

Academia CÉSAR VALLEJO

05

Material Didáctico

Ecuaciones polinomiales II FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR

¡Tenga en cuenta que...!



Donde a0 ≠ 0; n ≥ 3

a0 x n  a1x n 1  ...  an 1x  an  0

Dada la ecuación

ax3 + bx2 + cx + d = 0; a ≠ 0

de raíces x1; x2; x3

Ejemplo Resuelva x3 – 4x2 + 6x – 4 = 0

se cumple −b x1 + x2 + x3 = a

x1x2 + x1x3 + x2x3 =

c d

Factorizamos (x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0 → x – 2 = 0 ∨ x2 – 2x + 2 = 0 x = 2 ∨ x = 2 + i ∨ x = 2 – i Luego CS = {2; 2 + i; 2 – i}

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA x1x2x3 =

−d a

Toda ecuación polinomial de grado n ≥ 1, con coeficientes complejos, posee al menos una raíz compleja.

Corolario Toda ecuación polinomial de grado n ≥ 1, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces.

¿Sabía que...? Dado P(x) de grado positivo, se dice que a es raíz de multiplicidad k si y solo si P(x) = (x – a)k q(x), tal que q(a) ≠ 0.

¡Recuerde que...! Toda ecuación fraccionaria se resuelve en el conjunto C, salvo que se indique lo contrario.

TEOREMA DE PARIDAD DE RAÍCES Para polinomios de grado mayor o igual a 2.

Coeficientes del polinomio

Si una raíz es

Otra raíz es

Reales

a+bi

↔

a – bi

a, b ∈ R b ≠ 0

Racionales

a+ b

↔

a- b

a ∈ Q b ∈ II

Semestral Intensivo VIrtual UNI

Álgebra

Problemas resueltos

1 1 a 0 b –4 –4 –4 –4 16 – 4a 16 – 4a

1. Si la ecuación cúbica x3 – 3x2 + 4x + m = 0 tiene CS = { – 2; a; b}, halle la ecuación cuadrática de raíces a y b.

1 a–4

Resolución



Como – 2 es una raíz, factorizamos por Ruffini.

1 –3 4 m –2

– 2 10 – 28 1 – 5 14 0

( x + 2) ( x 2 − 5 x + 14 ) = 0

Esta sería la ecuación de raíces a y b

∴ x2 – 5x + 14 = 0

2. Si – 2 es una raíz doble de la ecuación polinomial x3 + ax2 + b = 0, calcule ab.

Resolución Como – 2 es raíz doble entonces (x + 2)2 es un factor, dividamos por Horner.

0 0 a=3 b= – 4

∴ ab = – 12

3. Determine el número de soluciones. 1 1 4 + = x2 −1 x +1 x2 + x Resolución x2 – 1 ≠ 0; x + 1 ≠ 0; x2 + x ≠ 0 → x ≠ 1; – 1; 0 1 1 4 + = 2 2 1 + x x +x x − 1

→

1 1 4 + = → a= b a b a+ b

x2  – 1 = x + 1 → x2 – x – 2 = 0 x=2 ∨ x=–1 Como x ≠ – 1 tiene 1 solución.

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Material Didáctico

Práctica dirigida 1.

2.

Encuentre la suma de las soluciones no reales de 6x3 - 19x2 + 21x - 10 = 0. A)

5 3

D)

2 3

E) 2

B) -1

C) 1 E) a

B) 8

C) - 6 E) - 8

Calcule el valor de pq/r si dos de las raíces de la siguiente ecuación son simétricas. P(x) = x3 + 3px2 + 5qx – 15r = 0; pqr ≠ 0 A) 0 D) - 2

5.

A) 25 D) 21

C) 1

7.

a b-1 a D) b 8.

B) 1

C) - 1 E) 2

Si 2 - 3 es una raíz del polinomio P(x) = 2x3 – 10x2 + ax + b determine a + b. A) 1 D) 12

B) 0

C) 8 E) 4

B) 15

C) 16 E) 12

Halle el valor de x que verifica la ecuación x +1 a − b+1 + =1 x+a+ b x+a− b A)

Calcule la suma de los coeficientes racionales del polinomio mónico de menor grado posible que acepte como raíces a 1 + 5 y 1 – i; 3. A) 10 D) 6

4.

3 2

Si 2 – i es una raíz del polinomio P(x) = x4 – 2x3 + 2x2 + ax + b, determine a + b.

Dada la siguiente ecuación cúbica: x3 - 2(a+1)x2+(a2+3a+1)x - a2 - a=0; a > 1 determine la raíz que no es la mayor ni la menor entre las tres raíces. A) a2 D) a + 1

3.

B)

6.

B)

a +1 b

a b+1 a -1 E) b

C)

La ecuación polinomial x3 + x + 3 = 0 tiene raíces: x1, x2, x3.

(

)(

)(

)

Determine M = 4 − x12 4 − x 22 4 − x 32 . A) 87 D) 101 9.

B) 91

C) 37 E) 111

Sean a, b, c raíces de la ecuación x3 – 3x2 + 5x – 1 = 0; y además S = a + b + c . Determine S4 – 6S2 – 8S. A) 25 D) 11

B) 37

C) 14 E) 13

10. Al resolver la ecuación fraccionaria x 3 + 12 x 5 = 6x2 + 8 3 en R; se obtiene como solución a  3 α + 1 x = 2 . Determine a · β.  3 β − 1 A) 9 D) 16

B) 8

C) 10 E) 12

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Práctica domiciliaria

6. Resuelva

1. Resuelva la ecuación



x3 + 3x2 – 5x – 15 = 0



{ 3; − 3} B) {5; 5; − 5 } C) {− 3; 5; − 5 } D) {3; 2; − 2} E) {− 5; 2; − 2}

x + 1 2 x − x 2 − 1 13 + = 1− x 6 x2 − 1 Luego, determine la suma de las inversas de las soluciones.

A) − 3;

A) 2

B) 0

D) 3

C) 1 E) 4

7. Determine la condición que se debe establecer a m para que sea la única raíz real del poli-

2. Calcule (2b + a)2 si 2 - 2 es una raíz de la ecuación 2x3 - 2x2 + ax + b = 0; {a; b} ⊂ Z. A) 16 B) 8 D) 25

C) 9 E) 49

3. Si 2 + 3 5 es una solución de x3 + ax2 + bx + c = 0;

nomio si n es real.

P(x) = – x3 + x + n A) 3 < 4m2

B) 4 < 3m2

C) 3 < 4m2 D) 4 > 3m2

E) 4 < m2

2

{a; b; c} ⊂ Z, calcule a  - b + c.

A) 23 B) 11 D) 13

8. La ecuación x4 - 12x - 5 = 0 contiene dos raíces C) 9 E) 7

x +1 x−3 = , indique el núx − 1 x2 + x + 1 mero de proposiciones correctas. I. El producto de soluciones es 2. II. La suma de soluciones es 1. III. La ecuación tiene 3 soluciones reales. IV. La ecuación tiene 1 solución real y 2 no reales.

4. De la ecuación

A) 0 B) 1 D) 3

C) 2 E) 4

5. Si x1, x2, x3 son las raíces de la ecuación x3 + (m + 2)x2 + (m2 + 3)x + (m3 + 2) = 0, encuentre el valor de m para que x12 + x22 + x32 tenga el máximo valor. A) - 2 B) 5 D) 2

C) - 5 E) - 4

cuya suma es 2. Calcule la suma de las inversas de las otras dos. A) 0,2 C) 0,4 D) 5

B) - 0,4 E) - 0,2

9. Determine el valor de a + b + c + d si dos raíces de la ecuación 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx - 2 = 0; {a, b, c, d} ⊂ R son i y 1 + i. A) 0 B) 1 D) 3

C) 2 E) 4

10. Si 1 + 3 + 7 es una solución de la ecuación x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 donde b, c, d, e ∈ Z, determine bc – de. A) 56 B) 186 D) 156

C) 164 E) 162

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Álgebra

1 3 i son dos soluciones de la 2 2 ecuación 3x5 + x4 – x3 – ax2 + x + 3b = 0, halle la suma de los módulos de las otras soluciones complejas; a; b ∈ R.

11. Si – 1 y − +

A) 1 B) 3 D) 2

C) 4 E) 5



Calcule la suma de las inversas de las soluciones. Considere a ≠ b ∧ a = - b ∧ ab = 0. a+ b a+ b C) a− b ab a- b D) 1 E) ab A) a2 + b2

14. Si las ecuaciones cúbicas x3 + mx2 + 18 = 0 y

x3 + nx + 12 = 0 tienen exactamente dos raíces comunes, encuentre el valor de m3 + n3.

12. Si a, b y q son las raíces de la ecuación senϕx3 + (1 – senϕ)x2 + (cosϕ – 1)x – cosϕ =0

determine |a|2 +|b|2 +|q|2.



Considere 15º