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• juan vargas tarazona

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Semana 5 Trigonometría

Polonio Radio

Trigonometría

Anual Virtual UNI

Aplicación del cálculo de la longitud de un arco NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA

n=

θB r

B

C 2π r

θA R

r A n=  

θ 2π

θ=  

C r

Donde n: número de vueltas que da la rueda al ir de A hasta B. q: número de radianes del ángulo que gira la rueda (ángulo barrido). C: longitud que recorre el centro de la rueda

NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA RUEDA SOBRE UNA SUPERFICIE CIRCULAR Caso 1

05

DOS ENGRANAJES EN CONTACTO A

r

C

semana

B

A =B  →  qAR = qBr  → nAR = nBr DOS POLEAS UNIDAS POR UNA CORREA DE TRANSMISIÓN R

A B

r

A =B  →  qAR = qBr  →  nAR = nBr DOS ENGRANAJES UNIDOS POR UN EJE COMÚN

r A θ A

B

A R

θ

B θ B

R

O n=

θ(R + r) 2πr

qA = qB  → nA = nB

POLEAS CONCÉNTRICAS

Caso 2 O

R

θ B

θA θB

r A n=

θ(R − r) 2πr

qA = qB  →  nA = nB

Academia CÉSAR VALLEJO

Material Didáctico

Problemas resueltos 1. Una rueda de radio a metros da 10 vueltas para recorrer un tramo de longitud L metros; otra

rueda de radio (a2+62a – 3) metros gira 60° para

recorrer el mismo tramo. Calcule a2+2a, en

2. En el gráfico mostrado, las ruedas A y B dan 2n y n vueltas, respectivamente, (n > 2) desde su posición inicial hasta el instante en que llegan a tocarse; además, rA = 1 u y rB = 9 u. Calcule D en u.

metros.

B

UNI 2008 - II



A

Resolución a

L

a

UNI 2013 - II



L



D

Resolución

B'



L Debido a que n = 2π × ( r ) → L = 20p × a (I)



Radio de la rueda (r), r = a



Número de vueltas (n), n = 10



L=



1

(II)



Hallamos el número de vueltas de B. L nB = 2 2π rB n=

L2 2π (9 )



→ L2 = 18pn



De (I) y (II)



Nos preguntan



∴ a2 + 2a = 3

L2

→ L1 = 4pn

Medida del ángulo de giro: 60°

π ( 2 × a + 62a − 3) 3

8 1

L1 2π (1)



20 × π × a =

6 D

2n =

Radio de la rueda (r’): r’= a2 + 62a – 3

Recorrido: L

1

10

Hallamos el número de vueltas de A. L nA = 1 2π rA r1

π ( 2 × a + 62a − 3) 3

A'



L



L1



Recorrido: L r1

A

B

D = L1 + 6 + L2 D = 4pn + 6 + 18pn

∴ D = 22pn + 6

9

Trigonometría

Anual Virtual UNI

A) 5

Práctica dirigida 1. Dos ruedas de radios a y b recorren en una pista rectilínea distancias iguales. Si una rueda de radio r recorre dicha distancia, el número de vueltas que dé será igual a la suma del número de vueltas que dieron las dos primeras ruedas. Calcule r. A)

ab B) a + b a+ b

a+ b D) ab

C)

B) 3

C) 6

D) 4

E) 2

5. Halle el número de vueltas que da la rueda de radio 2 al recorrer el perímetro del triángulo ABC por una sola vez. B

a a+ b

3

b E) a+ b

2. Las longitudes de los diámetros de las ruedas



A

C

5

de una bicicleta son 4r y 6r. Halle el número de vueltas que da la rueda menor cuando la rueda mayor barre un ángulo de 160 p rad.

6 8 12 A) + 1 B) + 1 C) +1 π π π

A) 80 B) 120 D) 90

3 D) + 1 π

C) 100 E) 160

E) 12 + 4p

3. Una rueda de radio r recorre una pista circular

6. En el sistema adjunto, ¿cuánto medirá el

de radio R. Si la rueda describe un ángulo de 36° sobre la pista y da 5 vueltas, halle R/r. Dato: la rueda es perpendicular al plano de la pista.

los centros de las esferas A y B se encuentren a

ángulo en radianes que se debe girar para que la misma altura si inicialmente dicha diferencia de alturas es de 14 u?

A) 25 B) 36 D) 50

C) 45 E) 65 5u

4. Si AB = 15p, ¿cuántas vueltas da la rueda desde A hasta C ?

2u 2 A A



B

O 120°



B

8 C

A) 0,5 rad

B) 2 rad

D) 1,5 rad

C) 1 rad E) 2,5 rad

Academia CÉSAR VALLEJO

Material Didáctico

7. En el sistema adjunto RA = 50 cm, RB = 30 cm,

A) 528 u B) 530 u D) 540 u

RC = 10 cm, RD = 25  cm, la polea A gira a

C) 534 u E) 536 u

450 RPM. ¿Cuántas vueltas da la polea D en

3. Dos ruedas de radios a y b recorren distancias

una hora?

iguales sobre una pista rectilínea. Si una rueda de radio R recorre la misma distancia anterior, el triple del número de vueltas que dé será igual a la suma del número de vueltas que dieron las dos primeras ruedas. Calcule R.

D RD

A RA BB C R C RB

A) 12 000

B) 15 000

D) 18 000

C) 16 000

A)

ab a+ b

D)

3ab a+ b

B)

ab 3 ( a + b)

C)

a+ b 3ab

E)

3ab 2a + b

4. Calcule el numero de vueltas que da una rueda, cuyo radio mide 1 u, al rodar sin resbalar exte-

E) 20 000

riormente por los lados de un triángulo equilátero, cuyo lado mide 10 u, por una sola vez.

Práctica domiciliaria

5 10 15 A) + 2 B) + 1 C) +1 π π π

1. Calcule la altura del punto P luego de que la rueda dé 2/3 de una vuelta.

D) 4

20 + 1 π

5 E) + 3 π

5. Si la rueda A da 10 vueltas y la rueda B da 4 vueltas, calcule la distancia de separación

P



entre dichas ruedas. A) 8 B) 7 D) 5

C) 6 E) 4

A

2. La rueda de 6 u de radio se desplaza desde A hasta tocar la pared vertical dando 14 vueltas. 22 Calcule AC. Considere π = . 7



A

B

C

1 A) 4 + 52p B) 6 + 52p C) 4 + 26p D) 8 + 52p E) 2 + 26p

B 4

Trigonometría

Anual Virtual UNI

6. La rueda de 1 m de radio se desplaza desde A

9. Calcule el número de vueltas que da la rueda

hacia B dando 12 vueltas. Calcule OB.

al ir de A hasta tocar la pared.

1

2

A

O

2

R

R

B

R

A





2

A) 1/4 B) 2/3 D) 3/2 A) 46 B) 47 D) 49

C) 48 E) 50

10. En el gráfico se muestran dos engranajes en contacto de radio 1 y 5. Si el engranaje menor gira un ángulo de 450°, calcule la nueva distancia que separa a los puntos A y B.

7. Calcule el número de vueltas que gira la rueda sin resbalar, al recorrer desde A hacia M, si AB = BC = CM = 14 y su radio es igual a 3 3.

A A

B

5

B) 6

C) 2 11

D) 2 13

60º C

A)

B

1

A) 4



C) 1 E) 2

M

11. En el mecanismo mostrado, si la polea A gira 1 vuelta y además los radios de las poleas cumplen la relación: RA RC RE = 2RB RD. Indique qué longitud se desplaza M.

11 3 + π 12 3 + 5π 12 3 + 7π B) C) 4π 6π 5π

10 3 + π D) 6π

12 3 + π E) 6π

B

8. Los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 3 a 1. Si en hacer un recorrido la rueda mayor dio 25 vueltas menos que la rueda menor, halle la suma de los ángulos girados por cada rueda. A) 25p rad B) 50p rad D) 100p rad

C) 75p rad E) 125p rad

E) 2 15

A

C

E

D

M

A) 4p B) 3 p D) p

C) 2 p E) p/2

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Material Didáctico

12. En la figura mostrada, halle el número de

A) 3

vueltas que da la rueda de radio r=7 al ir des-

D)

de A hasta C rodando sin resbalar.

5 2 20 E) 7

B) 2

C)

20 9

13. Si el punto P hace contacto con la pista por

Considere que

segunda vez y se ubica en el punto P', calcule el valor de a.

25K 16° 24K

P

1

7K

r

O

α rad

12

A P'

18

1

r

O

3p 4

C)

p D) 4

E)

A) B 24+

C

535π 18

01 - C 02 - C

03 - D 04 - C

05 - A 06 - B

07 - E 08 - D

09 - B 10 - D

3p 8

B)

11 - A 12 - E

13 - D

p 8

p 12