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• alexander izcali celaya luis

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UNIDAD 4: ESFUERZOS COMBINADOS

4.1 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO (ECUACIONES DE TRANSFORMACION) El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

CASO BIDIMENSIONAL

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior. Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal

 y el

eje vertical representa la tensión cortante o tangencial   para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera: 

Centro del círculo de Mohr:



Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máxima y mínima vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor de tensión que en este caso viene dado por:

 CASO TRIDIMENCIONAL

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

 CIRCUFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos: 

Centro de la circunferencia:



Radio de la circunferencia:

4.2 ANALISIS DE ESFUERZO BAJO CARGAS COMBINADAS. A menudo es posible analizar un miembro estructural sometido a cargas combinadas superponiendo los esfuerzos y deformaciones causados por cada carga que actúa por separado. Ahora bien, la superposición de los esfuerzos y las deformaciones es permisible solo en ciertas condiciones. Un requisito es que los esfuerzos y las deformaciones deben ser funciones lineales de las cargas aplicadas. Esto requiere a su vez que el material obedezca la ley de Hooke y que los desplazamientos sean pequeños. Otro requisito es que no debe existir interacción entre las diversas cargas; es decir, los esfuerzos y deformaciones causados por una de las cargas no deben verse afectados por la presencia de otras cargas. La mayor parte de las estructuras comunes satisfacen estas dos condiciones, por lo que el uso de la superposición es muy común en el trabajo ingenieril. Si bien hay muchas maneras de analizar una estructura sometida a mas de un tipo de carga, por lo general el procedimiento incluye los siguientes pasos: 1.- Se elige un punto en la estructura para determinar los esfuerzos y las deformaciones (Por lo general se escoge un punto en una sección transversal, donde los esfuerzos son grandes; por ejemplo, en una seccion transversal, donde el momento flexionante tiene su valor máximo). 2.- Para cada carga sobre la estructura se determinan las resultantes de esfuerzo en la sección transversal que contenga el punto seleccionado (Las posibles resultantes de los esfuerzos son una fuerza axial, un momento de torsión, un momento flexionante y una fuerza cortante). 3.- Se calculan los esfuerzos normal y cortante en el punto seleccionado debido a cada una de las resultantes de esfuerzos. Además si la estructura es un recipiente a presión, determinar los esfuerzos debidos a la presión interna.

El procedimiento descrito para analizar los esfuerzos en los puntos A y B, puede usarse en otros puntos. Los puntos donde los esfuerzos calculados con la fórmula de flexión y las fórmulas de los cortantes tienen valores máximos y mínimos, llamados puntos críticos, los esfuerzos normales debidos a la flexión son máximos en la sección transversal de momento flexionante máximo que se presenta en el soporte, por tanto, los puntos en las partes superior e inferior de la viga en el extremo empotrado son los puntos críticos para el cálculo de los esfuerzos. Como paso final, los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en los puntos críticos pueden compararse entre si para determinar los esfuerzos normales y cortantes máximos absolutos en la barra. Con la variedad de situaciones practicas no parece tener limite, no vale la pena obtener formulas específicas para calcular los esfuerzos máximos. Cada estructura suele tratarse como caso especial.

Selección de los puntos críticos

Si el objetivo del análisis es determinar los esfuerzos máximos en cualquier parte de la estructura, entonces hay que escoger los puntos críticos en secciones transversales donde las resultantes de esfuerzos alcancen los valores máximos. Ya en dichas secciones se elegirán los puntos en que los esfuerzos normales o los esfuerzos cortantes tengan sus valores máximos. Si la selección de los

puntos se hace con buen juicio, podremos estar razonablemente seguros de haber obtenido los esfuerzos máximos en la estructura. Sin embargo, a veces es difícil reconocer de ante mano donde se localizan los esfuerzos máximos en el miembro. Entonces quizá sea necesario investigar los esfuerzos en un  gran número de puntos. Otras estrategias también pueden resultar útiles, como obtener ecuaciones específicas para el problema en consideración o elaborar hipótesis simplificadoras a fin de facilitar un análisis que podría resultar sumamente difícil sin ellas.        Ejemplo: Un poste circular hueco con diámetro exterior de 220 mm y diámetro interior de 180 mm sostiene un letrero de dimensiones de 2.0 m x 1.2 m. El letrero esta desplazado 0.5  m del centro del poste y su borde inferior esta 6.0 m sobre el terreno. 

Solución. La presión del viento contra el letrero produce una fuerza resultante W que actúa en el punto medio de este y es igual a la presión p multiplicada por el área A sobre la que actúa:   

 

La línea de acción de esta fuerza está a una altura h = 6.6 m sobre el suelo y una distancia b = 1.5 m de la línea central del poste. La fuerza del viento que actúa sobre el letrero es estáticamente equivalente a una fuerza lateral W y a un par de torsión T que actúa sobre el poste. El par es igual a la fuerza W multiplicada por la distancia b:

Las resultantes de esfuerzos en la base del poste son un momento flexionante M, un par de torsión T y una fuerza cortante V. Sus magnitudes son: 

El examen de esta resultante de esfuerzos muestra que los esfuerzos de flexión máximos ocurren con el punto A y los esfuerzos cortantes máximos con el punto B; Por tanto A y B son puntos críticos donde deben determinarse los esfuerzos. Esfuerzos en el los puntos A y B. El momento flexionaste M produce un esfuerzo de tensión en el punto A pero ningún esfuerzo en el punto B. El esfuerzo de tensión en el punto A se obtiene con la fórmula de flexión: 

 Donde d2 es el diámetro exterior (220 mm) e I es el momento de inercia de la sección transversal. El momento de inercia es:

 Donde d1 es el diámetro interior. Por la tanto el esfuerzo de tensión en el punto A es.

 El par de torsión T produce esfuerzos cortantes, en los puntos A y B. Podemos calcular dichos esfuerzos con la fórmula de torsión:

donde Ip es el momento polar de inercia:

Entonces:

Por último calculamos los esfuerzos cortantes en los puntos A y B debidos a la fuerza cortante V. el esfuerzo cortante en el punto A es cero y el esfuerzo cortante en el punto B se obtiene con la fórmula del cortante para un tubo circular :

ecu (j) Donde r2 y r1 son los radios exterior e interior, respectivamente, y A es el área de la sección transversal:

Al sustituir los valores numéricos en la ecu (j), obtenemos:

Ahora hemos calculado todos los esfuerzos que actúan sobre los puntos A y B de la sección transversal. Elementos de esfuerzo. El siguiente paso es mostrar estos esfuerzos sobre elementos de esfuerzo. Para ambos elementos, el eje "y" es paralelo al eje longitudinal del poste y el eje x es horizontal. En el punto A, los esfuerzos que actúan sobre el elemento son:

 En el punto B, los esfuerzos son

Puesto que no existen esfuerzos normales que estén actuando sobre el elemento, en el punto B se encuentra en estado de cortante puro. Ahora que conocemos todos los esfuerzos que actúan

sobre los elementos de esfuerzo, podemos usar las ecuaciones para determinar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos. Esfuerzos principales y  esfuerzos cortantes máximos en el punto A. Los esfuerzos principales se obtienen con la ecuación: 

Sustituimos:

Los esfuerzos máximos en el plano pueden obtenerse con la ecuación

Este término se evaluó antes, por lo que vemos de inmediato que

Puesto que los esfuerzos principales tienen signos opuestos, los esfuerzos cortantes máximos en el plano son mayores que los esfuerzos cortantes máximos en el plano son mayores que los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano; por tanto, el esfuerzo cortante máximo en el punto A es de 28.2Mpa. Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en el punto B. Los esfuerzos en este punto son 

Dado que el elemento está en estado cortante puro, los esfuerzos principales son 

y el esfuerzo cortante máximo en el plano es

Los esfuerzos cortantes máximos fuera del plano tienen la mitad de este valor. Nota: Si se requieren los esfuerzos máximos en cualquier parte del poste, hay que determinar también los esfuerzos en el punto crítico diametralmente opuesto al punto A, porque en dicho punto el esfuerzo de compresión debido a la flexión alcanza el valor máximo. Los esfuerzos principales en ese punto son

y el esfuerzo cortante máximo es de 28.2 MPa; por tanto, el esfuerzo de tensión máximo en el poste es de 55.7 MPa, el esfuerzo máximo de compresión es de -55.7 MPa y el esfuerzo cortante máximo es de 28.2 MPa (Recuerde que solo se han considerado los efectos de la presión del viento en el análisis. Otras cargas, como el peso de la estructura, también producen esfuerzos en la base del poste).

4.3 CIRCULO DE MOHR PARA DEFORMACIONES