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ESFUERZOS COMBINADOS INTRODUCCION La combinación de esfuerzos es algo que los ingenieros deben de enfrentar al momento de diseñar un elemento estructural debido a su geometría y a su aplicación, con diferentes concentraciones de esfuerzos, y debido a esta infinidad de posibles concentraciones de esfuerzos u otras características es de vital importancia conocer y entender los conceptos básicos de los que son los esfuerzos combinados. Los elementos de una estructura deben de soportar, además de su propio peso, otras fuerzas y cargas exteriores que actúan sobre ellos. Esto ocasiona la aparición de diferentes tipos de esfuerzos en los elementos estructurales, esfuerzos de tracción, compresión, flexión, cortante y torsión. Pero en esta ocasión se estudiara los tres tipos básicos de cargas que son: axiales, de torsión y de flexión, y su actuación conjuntamente de dos o más combinaciones posibles de esos esfuerzos. OBJETIVO Conocer a fondo los esfuerzos combinados y su aplicación en la ingeniería. COMBINACION DE ESFUERZOS AXIALES Y POR FLEXION La viga simplemente apoyada de la figura 9-1a soporta una carga concentrada Q. Supongamos que la viga está unida a los apoyos en el centro de gravedad de las secciones extremas. En el punto A, el esfuerzo normal de flexión es

σ=

My I . Es una tensión

dirigida perpendicularmente al plano de la sección recta, como se indica en la figura, y la fuerza que actúa sobre un elemento diferencial de área A es

σ f dA.

Si la misma viga apoyada en la misma forma se somete solamente a la acción de una fuerza axial P(Fig.9-1b) los esfuerzos axiales se distribuyen uniformemente sobre cualquier sección transversal (Sec. 1-3). Su valor es

σ=

P A

y también es una tensión

perpendicular a la sección recta. La fuerza que actúa en el mismo elemento A es

σ α dA.

Si ambas cargas actúan simultáneamente en la viga (Fig.9-1c) el esfuerzo resultante en A se obtiene como superposición de los dos efectos aislados. En efecto, la fuerza resultante que actúa sobre el elemento diferencial A es el vector suma de las dos fuerzas coaxiales

σ α dA y

σ f dA. Dividiendo esta fuerza entre el área dA se reduce el esfuerzo σ =σ α +σ f dirigido perpendicularmente a la sección recta. resultante Análogamente, en un punto B de la misma sección, también a distancia y de la línea neutra pero por encima de ella el esfuerzo resultante es la diferencia entre los esfuerzos axiales y por flexión. Si a los esfuerzos de tensión se les da signo positivo y a los de compresión, negativo, el esfuerzo resultante en un punto cualquiera de la viga viene dado por la suma algebraica de los esfuerzos axial y de flexión en aquel punto:

σ =σ α ±σ f O bien,

σ=

P My ± A I

(9-1)

Obsérvese que el esfuerzo axial puede ser de tensión o de compresión. En la ecuación (9-1) se ha aplicado el método de superposición. Ahora bien, hay que tener en cuenta la modificación que la carga axial puede introducir en el momento flexionante, como se aclara en el ejemplo siguiente. La figura 9-2 muestra, muy exageradamente, la flexión producida por una carga transversal Q en una viga. Si P es de tensión, como en la figura 9-2ª, el momento flexionante producido por P en cualquier sección, y que vale Pδ, tiende a disminuir el momento producido por Q y, por tanto, reduce los esfuerzos por flexión, y al contrario ocurre si se trata de una compresión axial. En otras palabras, los valores dados por la ecuación (9-1) son algo mayores que los reales si P es de tensión, y menores que los reales si P es una compresión. Este efecto es despreciable en muchas ocasiones si las barras o elementos de la estructura son tan rígidos que los esfuerzos producidos por Pδ son muy pequeños frente a los producidos por el momento flexionante de las fuerzas transversales Q, es decir si las deflexiones son muy pequeñas. Pero si las barras son largas y flexibles, el efecto puede tener su importancia y deben emplearse otros procedimientos más exactos de cálculo.

CARGA APLICADA FUERA DE LOS EJES DE SIMETRIA Un caso particular de esfuerzos axiales y de flexión combinados es el que representa la figura 9-5a en la que un puntal de pequeña longitud soporta una carga P aplicada con una

cierta excentricidad e con respecto a uno de los ejes principales de la sección. La superposición de un sistema nulo, dos fuerzas iguales y opuestas P 1 y P2 del mismo módulo que P, aplicadas en el centro de gravedad de la sección, da lugar al sistema equivalente indicado en la figura 9-5b.

Los esfuerzos en una sección cualquiera m-n son el resultado de la superposición del esfuerzo axial de compresión, que aparece en la figura 95c, y del esfuerzo por flexión que se ve en la figura 9-5d. Si el esfuerzo por flexión máximo es mayor que el esfuerzo axial, el esfuerzo resultante tiene la forma de la figura 9-5e. El punto de esfuerzo nulo es la nueva posición de la línea neutra y se encuentra fácilmente hallando la distancia es igual al esfuerzo axial (negativo). Por tanto,

de donde

a a la que el esfuerzo por flexión (positivo)

Es evidente que si el esfuerzo axial de compresión es igual o mayor que el máximo esfuerzo de flexión, no existirá zona alguna que trabaje a tensión. Para conseguir esto en una sección rectangular de ancho b y altura h con P aplicada con una excentricidad e (sobre la altura h, figura 9-6) se ha de tener:

En estas condiciones, la excentricidad máxima paro no tener tensión es:

Esta fórmula es el fundamento de la regla usual en diseño de obras de ladrillo o de otros materiales muy poco resistentes a tensión, de que la resultante de las cargas debe pasar por el tercio central de la sección.

Consideremos ahora el caso general en el que la carga P se aplica en un punto arbitrario de una sección cualquiera, siendo sus coordenadas ex y ey con respecto a los ejes principales de la sección, como indica la figura 9-7. Los momentos de P con respecto a los ejes X y Y son, respectivamente, Pex y Pey. Por superposición, el esfuerzo en un punto cualquiera (x, y) de la sección viene dado por:

Para determinar la línea neutra, o línea de esfuerzo nulo, se resuelve la ecuación Teniendo en cuenta que los radios de giro respecto de los ejes los radios de giro respecto de los ejes Y y X, se tiene:

Que es la ecuación de una recta cuyas intersecciones con los ejes (ordenada y abscisa en el origen) se obtienen anulando y para obtener u, y luego x para obtener v, en la ecuación (a). Se tiene:

Quiere esto decir que E.N. pasa por el cuadrante opuesto aquel adonde actúa P y, en general, no es perpendicular a la dirección OP. Por ejemplo, en la figura 9-8b se representa la distribución de esfuerzos en una sección rectangular cuando la fuerza P se aplica en un punto fuera de los ejes principales (Fig. 9-8a). Si se calculan los esfuerzos en A, B y C, la intersección de la línea neutra con AB y con BC se calcula por semejanza de triángulos. Obsérvese que la intersección puede estar en las prolongaciones (Fig. 9-8c).

Vamos a determinar ahora las coordenadas ex y ey de la carga P para las que la línea neutra pase por una esquina B, como en la figura 9-8c. Sustituyendo y en la ecuación (9-4) resulta:

Que es la ecuación de la recta m-n de la figura 9-8d, que corta a los ejes X y Y en h⁄6 y b⁄6, respectivamente. Esta línea es el lugar geométrico de los puntos de aplicación de P que producen en esfuerzo nulo en B. Análogamente, la recta m 1n1 es el lugar geométrico de los puntos en los que P, se produce un esfuerzo nulo en C. Continuando el procedimiento, es evidente que ningún punto de la sección podrá estar sometido a tensión si la carga se aplica dentro o en el borde del rombo rayado de la figura, ya que la línea neutra pasará o fuera de

la sección, o por una esquina, o por un borde rectilíneo. Esta zona de la sección se llama núcleo de la misma. Se demuestra de forma análoga que el núcleo de una sección circular es otro círculo de diámetro igual a un cuarto del diámetro de la sección.

BIBLIOGRAFIA

Resistencia De Materiales [Libro] / aut. Pytel Singer. - México: Mexicana, 1994. - Cuarta.