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• Dulce Romano

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ESFUERZOS COMBINADOS Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación del esfuerzo de carga axial, esfuerzo por carga de flexión y esfuerzo por carga de torsión. En la representación de los esfuerzos combinados, por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien

a la interacción de varios esfuerzos de manera

simultánea, es por ello que con la finalidad de localizar el punto en donde la estructura llegaría a fallar (punto crítico en la estructura), se analiza la interacción de todos los esfuerzos a los que está sometido el elemento. También es un método para dimensionar y seleccionar el material adecuado para el elemento. En los esfuerzos combinados existen cuatro combinaciones posibles de carga:

ESFUERZOS COMBINADOS

Carga axial y flexión

Carga axial, torsión y flexión

Carga axial y por torsión

Carga axial y flexión

ESFUERZOS EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA

Los recipientes a presión son estructuras cerradas que contienen líquidos o gases a presión, ejemplo de ello son los tanques esféricos para almacenamiento de agua, los tanques cilíndricos para aire comprimido, tubos a presión y globos inflados, las calderas

de

vapor,

los

tanques

de

almacenamiento de líquidos o gases a presión, los tanques de agua, los tanques de almacenamiento de gramos y las tuberías entre otros. Se

consideraran

recipientes

de

pared

delgada los contenedores de forma cilíndrica o esférica en los que el espesor de la pared es pequeño comparado con el radio y su longitud, y en tales casos se encuentran en la clase general de estructuras conocidas como “cascarones”. (Figura 1.0). Figura 1.0

Recipientes

esféricos

sometidos

a

presión. Un tanque de forma esférica es el recipiente ideal para resistir presión interna. Algunos ejemplos conocidos son tanques, tubos y cabinas de

presión en aeronaves y vehículos espaciales. Cuando los recipientes a presión tienen pared delgada en comparación a sus dimensiones generales, se les incluye dentro de la categoría más

general de

cascarones. (Figura 1.0c). El término de pared delgada no es preciso, pero una regla general es que la relación de radio r al espesor de la pared t debe de ser mayor que 10 a fin que podamos determinar los esfuerzos en las paredes con exactitud razonable mediante únicamente estática. Una segunda limitación es que la presión interna debe de ser mayor que la externa; de lo contrario, el cascaron puede fallar por colapso debido al pandeo de las paredes. A fin de hallar los esfuerzos en un recipiente esférico, cortamos a través de la esfera según un plano diametral vertical y aislamos la mitad del cascaron junto con su contenido de fluido como un solo cuerpo libre (figura 1.1-a). Sobre este cuerpo libre actúan los esfuerzos de tensión σ en la pared y la presión p del fluido que permanece dentro del hemisferio. El peso del tanque y su contenido se omiten en este análisis. La presión actúa horizontalmente sobre el área circular plana formada por el corte y dado que la presión en uniforme, la fuerza resultante

de

la

presión

P = p(πr )

es:

Figura 1.1

Donde r es el radio interior de la esfera. Obsérvese que la presión p es la presión interna neta, o presión manométrica (esto es, la presión por encima de la presión atmosférica, o presión externa). Debido a la simetría del recipiente y su carga (figura 1.1-b), el esfuerzo de tensión σ es uniforme alrededor de la circunferencia, además como la pared es delgada podemos suponer con buena precisión que el esfuerzo está distribuido uniformemente a través del espesor t. La exactitud de esta aproximación se incrementa según se vuelve más delgado el cascaron, y se reduce según se vuelve más grueso. La fuerza obtenida a partir del esfuerzo normal es σ(2πr t), donde t es el espesor y r

es el radio medio del cascaron (r = r + t⁄2). Por

supuesto, dado que nuestro análisis únicamente es válido para

cascarones muy delgados, podemos considerar que r ≈ r; entonces, la fuerza resultante se convierte en σ(2πr t). =

Ec. 1.0

Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron esférico, esta misma ecuación para el esfuerzo σ se obtendrá si se pasa un plano a través de la esfera en cualquier dirección. Por lo tanto, concluimos que una esfera “presurizada” está sometida a esfuerzos uniformes a tensión σ en todas las direcciones. Esta condición de esfuerzo se representa en la (Fig. 1.2b) por el pequeño elemento con esfuerzos σ que actúan en direcciones mutuamente perpendiculares. En la superficie exterior de un recipiente esférico a presión, no actúan esfuerzos normales a la superficie, por lo que la condición de esfuerzos es un caso especial de esfuerzo biaxial es el que σ y σ son iguales FIGURA 1.2

(Fig. 1.2-a). Así, el círculo de Mohr para esta condición de esfuerzo se reduce a un punto, y cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos principales son: =

=

Ec. 1.1

También, el esfuerzo cortante máximo en el plano es cero. Sin embargo, se debe advertir el elemento es tridimensional y que el tercer esfuerzo principal (en la dirección z) es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto,

originado mediante una rotación de 45° del elemento respecto a cualquiera de los x o y, es

= =

Ec. 1.2

Figura 1.2

En la superficie interior de la pared del recipiente esférico, el elemento esforzado tiene los mismos esfuerzos de membrana (Ec. 1.0), pero, adicionalmente, actúa un esfuerzo de Compresión en la dirección z, p (Fig. 1.2-b). Estos tres esfuerzos normales son los esfuerzos principales: =

=

=−

Ec .1.3

El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo cortante fuera del plano (producido mediante una rotación de 45° alrededor de cualquiera de los ejes x y y) es: =

=

+

Ec. 1.4

Si la relación de r⁄t es suficientemente grande, el último término de esta

ecuación puede omitirse. Entonces la ecuación se convierte en la misma Ec.1.3, y se puede suponer que el esfuerzo cortante máximo es constante a través del espesor del cascaron. Todo tanque esférico utilizado como recipiente a presión tendrá al menos una abertura en la pared, así como varios accesorios y soportes. Esta característica origina distribuciones no uniformes de esfuerzos que no pueden analizarse mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades se generan grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que reforzarse tales regiones.

RECIPIENTES CILÍNDRICOS SOMETIDOS A PRESIÓN. Los recipientes cilíndricos con sección transversal circular se encuentran en instalaciones industriales (tanques de aire comprimidos y motores de cohete, en casas de habitación (extinguidores de incendios y latas de rociadores) y en granjas (tanques de propanos y silos de granos). Los tubos a presión, los utilizados para el abastecimiento de agua y las tuberías de carga, también se clasifican como recipientes cilíndricos a presión. Considérese ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con extremos cerrados y presión interna p (Fig. 1.3). En la figura se muestra un elemento esforzado cuyas caras son paralelas y perpendiculares al eje del tanque. Analizaremos los esfuerzos en un tanque circular de pared delgada sometido a presión interna. Los esfuerzos normales en un tanque σ y σ que actúan sobre las caras laterales de este elemento son esfuerzos de membrana en la pared. Por lo tanto, los esfuerzos σ y σ son

Esfuerzos principales. Debido a su dirección, el esfuerzo σ se denomina esfuerzo circunferencial o esfuerzo tangencial; en forma similar, σ es el esfuerzo longitudinal o esfuerzo axial. Cada uno de estos esfuerzos puede calcularse a partir del equilibrio mediante el empleo de diagramas de cuerpo libre apropiados. Para

determinar

cincunferencial

el

esfuerzo

, aplicamos dos cortes

(mn y pq) perpendiculares al eje longitudinal y separamos una distancia b (Figura 1.3-a). Luego efectuamos un tercer corte en un plano vertical a traves del eje longitudinal del tanque con lo cual resulta el diagrama de cuerpo libre expuesto en la figura 1.3-b. Este cuerpo libre no consiste solamente en la pieza longitudinal del tanque, sino tambien el el fluido contenido dentro de los cortes. Los esfuerzos circunferenciales σ

y la presion

interna p actuan sobre el corte longitudinal (mnpq). Los esfuerzos circunferenciales σ

que

actuan en la pared del recipiente tiene una resultante igual a σ (2bt), donde t es el

espesor de la pared. Además, la fuerza resultante P de la presión interna es igual a PdA=2pbr , donde r es el radio interior del cilindro.

Haciendo

equilibrio

de

las

ecuaciones antes mencionadas se obtiene lo siguiente (El esfuerzo circunferencial para un cilindro a presión):

=

Ec. 1.5

El esfuerzo longitudinal se obtiene del equilibrio de un cuerpo libre de la parte del recipiente a la izquierda de la sección transversal mn (fig. 1.3-c), donde al igual que en el análisis anterior no solo la parte del tanque, sino también su contenido. Los esfuerzos σ actúan en sentido longitudinal y tiene la fuerza resultante igual a σ dA = σ (2πr t). La fuerza resultante P la presión interna es

igual a PdA = pπr . Realizando el equilibrio de fuerzas de la fig. 1.3-c y despejando para p se obtiene: =

Ec.1.6

La deducción de las ecuaciones (1.6, 7) se supuso que los esfuerzos de membrana a través de las paredes del recipiente eran uniformes.

1. TRANSFORMACION DE ESFUERZOS EN UN PUNTO La transformación del esfuerzo significa la variación, con la dirección de las componentes de esfuerzo en un punto. EL estudio de este tema se refiere principalmente a casos bidimensionales, pero también se dan algunos

resultados

importantes

para

estados

de

esfuerzos

tridimensionales. Este tema es importante en la determinación de los esfuerzos máximos en un punto de un elemento y en las determinaciones de esfuerzos que producen la falla de un elemento. Hasta ahora hemos visto los esfuerzos únicamente en ciertos planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo. Por ejemplo, la formula σ = P/A para varillas cargadas axialmente da el esfuerzo normal en una varilla únicamente en los planos cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la varilla como se muestra en la figura 2.1a: Los esfuerzos en planos cortantes orientados de distinta manera fig 2.1b son diferentes.

En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los esfuerzos en un punto de un cuerpo son diferentes. En algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos significativamente mayores que otros. El siguiente estudio se refiere a esta variación del esfuerzo en un punto y trata principalmente el caso de esfuerzo biaxial, en dos dimensiones. En primer lugar se consideran diferentes representaciones de los esfuerzos

en el mismo punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a representa un elemento aislado por dos planos cortantes infinitamente cercanos y mutuamente perpendiculares que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la figura 2.2b muestra un elemento aislado de manera semejante por planos cortantes normales a los ejes orientados de manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en las caras opuestas de cada uno de estos elementos son iguales y opuestos, y son los mismos que actúan sobre los lados opuestos de un plano cortante único. Cada uno de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido a la acción de esfuerzos diferentes en el mismo punto. Cada elemento tiene asociados tres elementos de esfuerzos. En la figura 2.2a, las componentes se designan σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura 2.2b se designan σx´,σy´ Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´. Estos dos conjuntos de componentes de esfuerzo no son los únicos que existen en ese punto.

Figura 2.2

El infinito número de conjuntos de componentes de esfuerzos que se describió, no son independientes. Las componentes en un sistema arbitrario de coordenadas X/ - Y/están relacionadas con las del sistema x-y. Las ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos en diferentes sistemas de coordenadas o, lo que es lo mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un punto, se llaman ecuaciones de transformación del esfuerzo. Las ecuaciones de transformación del esfuerzo se obtienen de las condiciones de equilibrio de un elemento de tamaño infinitesimal como el que se muestra en la siguiente figura. (fig.2.3) esta formada por planos cortantes normales a los ejes de referencia X,Y y por un tercer plano cortante normal a un eje inclinado X´

que forma un ángulo

arbitrario θ con el eje x. Los esfuerzos en la cara inclinada son las dos componentes σx´ y τx´τy´asociados a las coordenadas x´,y´. Se consideran cantidades positivas si tienen los sentidos indicados y negativas si tienen los sentidos opuestos.

Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan más adelante. A partir de estas ecuaciones de equilibrio se obtienen las fuerzas en elemento efectuando los productos de cada esfuerzo por el área de la cara sobre la cual actúa. Se supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor unitario normal al plano X,Y el área de la cara inclinada se designa por dA. Entonces, la cara opuesta y la cara adyacente

al

ángulo

respectivamente.

θ

tienen

También

se

áreas hace

dAsenθ

uso

de

y las

dAcosθ,

identidades

trigonométricas. Y finalmente tenemos: ´

=

+

(

(Ec.2-1)

)+

O, finalmente: ´

´

=(

(

)(

)

)(

)

(Ec.2-2)

Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de transformación de esfuerzos para el caso bidimensional y dan valores de σ x´, τx´y´para cualquier ángulo θ en función de σx,σy,τxy. La componente de esfuerzo, σy´ está dada por la ecuación 2-1, aumentando el ángulo θ en 90º. Estas ecuaciones dan el esfuerzo en cualquiera del infinito número de planos cortantes que pueden pasar por un punto de un cuerpo, en función de un conjunto arbitrario de componentes de esfuerzos x-y. Así,

uno solo del infinito número de conjunto de componentes de esfuerzos en un punto, utilizado como conjunto de referencia junto con las ecuaciones de transformación de esfuerzo, es suficiente para describir completamente los esfuerzos en u punto. Se puede demostrar que las ecuaciones 2-1 y 2-2 también son aplicables si el elemento de la figura 2.3 tiene aceleración. De modo que las ecuaciones 2-1 y 2-2 son aplicables bajo las condiciones estáticas y dinámicas de un cuerpo.

ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS.

Las ecuaciones de transformación para esfuerzos planos muestran que el esfuerzo normal

, y el esfuerzo cortante y

varían en forma

continua según se gira el elemento en un ángulo . Con fines de diseño, usualmente son necesarios lo valores máximos tanto positivos como negativos. Para determinar los esfuerzos normales máximos y mínimos, que se conocen como esfuerzos principales, empezamos con la expresión =

: +

Al tomar la derivada

con respecto a

una ecuación para los valores de mínimo:

(Ec.2-3)

+

e igualar a cero, se obtiene

para los cuales

es máximo o e

=−

−

sin 2 + 2

cos 2 = 0

De la cual obtenemos: tan 2

(Ec.2-4)

=

De la ecuación (2-4) pueden obtenerse dos valores de 2 intervalo entre 0°

en el

360°. Estos valores difieren en 180°, estando el valor

mas pequeños entre 0° y 180° y el valor mas grane entre 180° y 360°. Por lo tanto, el ángulo

tiene dos valores que difieren en 90°, uno

entre 0° y 90°, y el otro entre 90° y 180°. Para uno de estos ángulos el esfuerzo

es un esfuerzo principal máximo; para el otro,

esfuerzo principal mínimo. Como los dos valores de concluimos

que los

esfuerzos

principales

es un

difiere en 90°,

ocurren en

planos

mutuamente perpendiculares. Los valores de los esfuerzos principales pueden calcularse fácilmente al sustituir cada uno de los dos valores de

en la ecuación de la

transformación de esfuerzos(ec.2-3) y despejar

. Mediante este

procedimiento podemos conocer también cuales de los dos esfuerzos principales se asocia a cada uno de los dos ángulos principales

.

cos 2 =

sin 2 =

En donde : =

(Ec.2-5)

+

Se sustituyen las expresiones para cos 2 ysin 2 en la ecuación 2-3 se obtienen el valor algebraico mayor de los dos esfuerzos principales, denotado por

:

=

+ 2

− 2

+

+

El más pequeño de los esfuerzos se denota por

determina por la la

condición

Puesto que

+

=

+

y actúan sobre planos perpendiculares. =

+ 2

−

− 2

+

Luego, las formulas anteriores pueden combinarse en una sola fórmula para los esfuerzos principales: =

,

=

±

(Ec.2-6)

+

Este resultado de los esfuerzos principales, designados por función de las componentes de referencia, especificó anteriormente

=

y

, =

, y

y

, en

. Donde se

. Los esfuerzos

principales siempre representan los valores mayor y menor de

, en un

punto. Los planos principales para elementos en estados de esfuerzos axial y biaxial son los mismos planos x y y (Fig. 2.5), ya que tan 2 = Ec. 2-4), y por consiguiente, los dos valores de

Figura 2.5

son 0° y 90°

(véase

Mediante un análisis tridimensional más completo, puede demostrarse que los tres planos principales para un elemento en esfuerzo plano son los dos planos principales que se han descrito, más la cara z del elemento. Estos planos principales se muestran en la Fig.2.7b, donde el elemento esforzado de la Fig.2.7a ha sido girado respecto al eje z un ángulo

, que es uno de los dos ángulos determinados por la Ec. (2-4).

Los esfuerzos principales son (2-6) y

es igual a cero.

,

y

, donde

y

resultan de la Ec.

Figura 2.7

ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO EN EL PLANO.

La orientación de un elemento que está sometido a esfuerzo cortante máximo en sus caras se puede determinar sacando la derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e igualando a cero el resultado. Se obtiene

2

/

=

(Ec.2-7)

Las dos raíces de esta ecuación

, se pueden determinar con

los triángulos de la figura 2.8, cada raíz de 2 las raíces de

y

esta a 90° de 2

. Así

forman 45° entre ellas, y el resultado es que los

planos del esfuerzo cortante máximo se pueden determinar orientando a un elemento a 45° con respecto a la posición de un elemento que defina los planos del esfuerzo principal. Usando cualquiera de las raíces

, se puede determinar el

esfuerzo cortante máximo sacando los valores trigonométricos de sen2

y cos2

en la figura 2.8, y sustituyéndola en la ecuación (2-2).

El resultado es =

+

Figura 2.8

(Ec.2-8)

El valor de

calculado con la ecuación (2-8) se llama

“esfuerzo cortante máximo en el plano”, porque actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen los valores de sen2

y cos2

en la

ecuación (2-1),se ve que también hay un esfuerzo normal sobre los planos de esfuerzo cortante máximo en el plano. Se obtiene:

=

(Ec.2-)

3. SUPERPOCICION DE ESFUERZOS En la práctica

de la ingeniería, se usa a menudo el principio de

superposición en la solución de problemas. Cuando tenemos un miembro que está sujeto a un sistema de carga completo que involucra un cierto número de fuerzas de diferentes tipos, podemos determinar el efecto de cada fuerza del sistema sobre el miembro separadamente. Después, los resultados de cada una de ellas se combinan para obtener la solución del problema. El principio de superposición es fácil de entender y aplicar. Solamente se necesita asegurarse que sea válido combinar los resultados. Si los resultados combinados no son lineales, la superposición no es válida. Existen tres tipos de esfuerzos básicos: 1- P/A solamente se consideran cargas axiales aplicadas a través del centroide de la sección.

2- Tc/J solamente carga de torsión sobre ejes de sección circular. 3- c/I solamente cargas aplicadas perpendicularmente al eje transversal Con estos métodos pueden resolverse una amplia clase de problemas. Pero podemos ampliar esta clase combinando adecuadamente estos tipos básicos de carga. En la práctica frecuentemente se encuentran cargas que no concuerdan con las condiciones bajo las cuales las teorías básicas son

Válidas como se muestra en las figuras a la derecha las cuales muestran varios ejemplos de problemas de este tipo. Sin embargo, estos problemas pueden resolverse mediante una combinación adecuada de los métodos ya estudiados. Existen tres combinaciones principales de esfuerzos combinados:  Axial y flexion.  Flexion y torsión.  Axial y torsión.

En

este

trabajo

solamente

se

abordaran

las

dos

primeras

combinaciones de esfuerzos que se analizaran por el método de superposición.

SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS AXIALES Y FLEXIÓN Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a una carga inclinada P, como se muestra en la siguiente figura 3.1(a). Esta carga no produce flexión ni carga axial solamente, sino una combinación de las dos. Si se descompone esta fuerza en sus componentes horizontal y vertical, como en la figura 3.1(b) y 3.1(c), estas componentes actúan en las direcciones que permiten aplicar la teoría de carga axial y flexión respectivamente.

La fuerza axial Px sección (b) de la figura 3.1, produce esfuerzos directos de tensión P/A en todas las fibras. La fuerza Py sección (c) produce esfuerzos de flexión Mc/I. Como ambos esfuerzos actúan para alargar o acortar las fibras, pueden combinarse algebraicamente.

Figura 3.1

El hecho de que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la misma línea de acción confirma que la superposición de esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra pueden calcularse como:  ± ±

(Ec.3-1)

Los esfuerzos de tensión se consideran positivos, mientras que los esfuerzos de compresión son negativos, Esta convención de signos nos ayuda a determinar la naturaleza de los esfuerzos finales. El termino c en el factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un punto diferente al de las fibras externas. Los esfuerzos calculados mediante la ecuación de esfuerzo mostrada anteriormente no son enteramente correctos. La carga Py producen una deflexión (no mostrada) que, cuando se multiplica por la fuerza axial Px, producen un pequeño momento secundario. En estos casos de tensión axial y flexión, este momento secundario tiende a reducir el momento total, y por consiguiente, puede despreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el momento secundario incrementa el momento total, y el despreciar este término no resulta conservativo. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos combinados, el efecto de este término es pequeño y puede despreciarse. En el caso de vigas columnas esbeltas, el efecto puede no ser despreciable.

FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS

A veces se necesita que los miembros estructurales soporten conjuntamente cargas de flexión de torsión, Por ejemplo ejes o arboles circulares que trasmiten un par o momento de rotación suelen estar sometidos tantos a momentos

de flexión, como a torsión. Tales

condiciones es posible realizar el análisis de esfuerzos sin ninguna dificultad esencial siempre que se conozcan las resultantes de los esfuerzos estas pueden comprender momentos Flexionarte pares de torsión y fuerzas cortantes. Los esfuerzos debidos a cada resultante de esfuerzo se pueden determinar en cualquier punto de la sección recta por

medio de las formulas apropiadas. Entonces el estado completo

de esfuerzos en el punto elegido se investiga utilizando las relaciones deducidas anteriormente o por medio del CIRCULO DE MOHR. En particular, pueden calcularse los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos. De este modo se efectúan el análisis en cualquier número de situaciones críticas en el elemento y, con todos los resultados, puede establecerse si el diseño es adecuado o bien, realizar uno nuevo Como una ilustración simplificada de la flexión y torsión combinadas, considere la barra circular de la figura en esta viga Cantiléver actúa un momento de torsión, T, con respecto al eje longitudinal y una fuerza transversal o lateral, Q. En una sección recta de la barra a la distancia X del empotramiento la resultante de esfuerzos se pueden encontrar por Estática. Tales resultantes son:

1) Un momento Flexionante , M , esto igual a Q( L – x ), donde L es la longitud de la viga; 2) Una fuerza cortante, V igual a Q, y. 3) Un momento torsionante T. Observe que en este caso el momento flector se considera positivo cuando produce tracción en la parte superior de la viga si ahora examinamos un elemento localizado en la superficie superior de la barra (Elementos A en la Figura 3.2), Vemos que este elemento estará sometido a los esfuerzos de flexión,

X Debido

a M y a los esfuerzos cortantes,

Debidos a T

(Figura). Estos esfuerzos se obtienen con las ecuaciones y

=

X=

Respectivamente, en el caso de un árbol circular de

diámetro d, esta ecuaciones se convierte en

. x=

(Ec.3-2) ;

Figura 3.2

=

(Ec.3-3)

Conociendo

x

y Se pueden determinar los esfuerzos en un elemento

girado cualquier ángulo que se desee en el punto A. Los esfuerzos principales en A se hayan por la ecuación. 1,2=

±

(

(Ec.3-4)

)+

Así mismo, el esfuerzo cortante máximo encontrado por la ecuación anterior es: =

=

(

)+

(Ec.3-5)

.

Si se conocen los valores admisibles

w

y

de los esfuerzos normal y

cortante sustitúyanse en la dos ecuaciones anteriores en lugar de 2

y

1

y

, y luego despéjese “d” el diámetro requerido de la barra

circular. Desde luego se obtendrán los esfuerzos máximos cuando el elemento A

seleccione al extremo de la barra donde el momento

Flexionante M tiene el valor el máximo la descripción anterior supuso que se selecciona un elemento en la parte superior de la barra. Un procedimiento similar puede seguirse para analizar los esfuerzos en la parte inferior de la misma. Los esfuerzos máximos se producirán por lo general donde los esfuerzo de flexión son mayores, es decir en la parte superior o en l parte inferior de la viga en la sección recta del máximo momento Flexionarte sin embargo a veces es necesario considerar otras posibilidades. Por ejemplo a la fuerza cortante V= Q produce un esfuerzo máximo de cortadura en el eje neutro. Por consiguiente se debe considerar también un elemento seleccionado sobre el lado de la barra, en su eje neutro (Elemento B). Tal elemento se hallará en estado de cortadura pura (figura), constando el esfuerzo cortante de dos partes:

1) El esfuerzo de cortadura debido al momento T, obtenido de la formula y

=

2) El esfuerzo cortante debido a V que se obtiene de la formula y =

. Los esfuerzos principales en tal elemento ocurren en

planos a 450 con el eje. Estos esfuerzos pueden compararse con los obtenidos para elementos en la parte superior y en la inferior de la viga, a fin de determinar el esfuerzo normal máximo a utilizar en el cálculo. Los esfuerzos cortantes máximos en la viga pueden hallarse también

comparándose los valores obtenidos para los

elementos A y B. Si la viga esta empotrada de madera más complicada o si la forma de la sección recta no es circular a un se puede analizar los esfuerzos en diversos puntos de la barra y compararlos. Al hacerlo es natural seleccionar puntos de la barra donde sea máximo el esfuerzo normal o el cortante. Comparando los esfuerzos obtenidos en todos los puntos donde es probable que haya un esfuerzo máximo se podría estar razonablemente seguro de obtener los esfuerzos máximos absoluto.

INTRODUCCION El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar. Los esfuerzos combinados representan la suma o combinación de varios esfuerzos que son aplicados a un elemento siendo estos esfuerzos de carga axial, esfuerzo por carga de flexión o esfuerzo por carga de torsión. Su determinación es de mucha utilidad en todas las ramas de la ingeniería, ya que por lo general los elementos analizados no están sometidos a un solo tipo de esfuerzo, si no, más bien a la interacción de varios esfuerzos de manera simultánea. También es un método para seleccionar y dimensionar el material adecuado en un proceso de construcción. Los esfuerzos combinados son usados frecuentemente sin darnos cuenta ya sea en nuestras casas que están hechas de vigas, que combinado distintos materiales, soportan algunos mejor la flexión y otros mejor la compresión hasta las grandes construcciones en donde las vigas son de hierro y cemento.

OBJETIVOS 

Conocer el procedimiento para encontrar los esfuerzos combinados en superficies de pared delgada, transformación en un punto y superposición de esfuerzo.

CONCLUSIÓN 

.Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en un punto de una estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el diseño de las mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el esfuerzo es máximo para que la estructura se mantenga estable.

BIBLIOGRAFIA   

Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 5ta edición 2010. Editorial McGraw-Hill. Hibbeler, R. C., Mecánica de Materiales, 6ta edición, México, 2006. Editorial PEARSON EDUCACION Nicholas Willems, Resistencia de materiales, 1988. Editorial McGrawHill.