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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE PANUCO

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD 4

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

JOSE ALFONSO VIZCAINO NUÑEZ

ME. JOSE SAHID NAVARRO MEZA

S401

16 JUNIO 2016

4.1 TEORÍA PRELIMINAR Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

4.1.1 SISTEMAS DE EDL Los problemas de la vida real se pueden representar de mejor manera con la ayuda de múltiples variables. Por ejemplo, el conteo de una población representado con la ayuda de una sola variable. Pero, esta depende del conteo de la población de depredadores así como también de las condiciones climáticas y la disponibilidad de alimentos. Todas estas condiciones en sí mismas forman una ecuación diferente definida en una variable separada. Por lo tanto, para estudiar las relaciones complejas, requerimos de varias ecuaciones diferentes para definir diferentes variables. Tal sistema es el sistema de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como:

Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos constantes, como [ai,j]. Dado que los coeficientes de la matriz A no están definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es llamado en ocasiones autónomo. La notación convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es, 2

dx/ dt = f(t, x, y) dy/ dt = g(t, x, y)

4.1.2 SISTEMAS DE EDL HOMOGÉNEOS Sabemos que una ecuación diferencial lineal es de la forma,

Si esta misma ecuación se transforma en la forma,

Conseguimos una ecuación diferencial lineal homogénea. Esta se da cuando la función conocida no se encuentra presente en la ecuación diferencial lineal, entonces se le llama una ecuación diferencial homogénea. Y si tenemos una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema común, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales lineal es homogéneo. Dichos sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2 … X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogéneas, entonces puede representarse de manera condensada como: X´ = AX En la ecuación anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales están definidas en algún intervalo, digamos I y la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales seria este

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Los términos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j] …Xn = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas para el intervalo dado I. Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como 1 es:

Pasos para resolver un Sistema Homogéneo de Ecuaciones Diferenciales: 1. Construir la matriz de coeficientes para las ecuaciones del sistema dado. 2. Determinar los valores propios de dicha matriz de coeficientes del sistema dado de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. 3. Buscar el vector propio inicial de este conjunto de valores propios y nómbralo como EV1. 4. Determinar la primera ecuación de este vector en términos de constantes k1, k2. 5.

Determinar

el

siguiente

conjunto

de

valores

propios,

sus

vectores

propios

correspondientes y su ecuación. 6. Anotar la solución general para las ecuaciones en términos de constantes k1, k2. 7. Por último, derivar la solución general para el sistema de ecuaciones.

4.1.3 Solución general y solución particular de sistemas de EDL En general podemos decir que la solución de un sistema de ecuación diferencial es llamada solución general si los valores de las constantes no se obtienen en la solución final. La 4

misma solución puede convertirse en una solución particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de entrada de la ecuación diferencial sea un problema de valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los términos constantes. EJEMPLO DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. Determinar el conjunto de ecuaciones como xT(t) = [(x1(t), x2(t)] para el sistema de ecuaciones dx/ dt = A * x con las condiciones iniciales establecidas como x(0) = x0 = (x01, x02). El valor de la matriz A está dada como:

Entonces, el vector propio de la matriz es dado de la forma,

La matriz tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son los mismos. Por lo tanto, la solución general del problema se da como,

Por consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como, v = vp +s1* vh1 v1 v2 −1 0 +s1* 1 1 La solución particular de este problema sería vT(p) = (−1, 0) = v2, el cual es el valor propio generalizado de esta matriz, junto con los valores propios repetidos y vh es la solución homogénea dando el vector propiov1.

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Y la solución general del problema es,

4.2 MÉTODOS DE SOLUCION PARA SISTEMAS DE EDL. Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como,

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales será,

4.2.1 METODO DE LOS OPERADORES

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Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una función diferente llamada la función derivada. Podemos definir el operador derivada D que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada de esta, esto es: D0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x) = f(n)(x) Es posible construir la siguiente combinación lineal con los operadores diferenciales: P(D) = a0 + a1D + a2D2 + …. + anDn ; an 6= 0 : (1) donde a2; a1; a2; : : : an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial de orden n.

4.2.2 UTILIZANDO TRANSFORMADAS DE LAPLACE La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición seria:

es llamado el operador de la transformada de Laplace. El siguiente ejemplo muestra el uso de la transformada de Laplace en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

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con las condiciones ,

Si

y

.

, entonces

o agrupando

Ahora se usa la regla de Cramer para resolver el sistema anterior

De donde obtenemos que:

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4.3 APLICACIONES Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales encuentran sus aplicaciones en varios problemas que surgen en el sistema del mundo real. Uno de estos problemas puede ser como el que se muestra a continuación: Problemas eléctricos: Muchos de los circuitos eléctricos pueden ser reducidos para solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales. Sea un circuito eléctrico dado como,

Ahora, mediante la aplicación de Kirchhoff se tiene la ecuación del flujo de corriente en un nodo como,

Esta ecuación puede ser reducida como,

De manera similar, la ecuación del flujo de corriente del nodo dos se da como,

Esta ecuación puede ser reducida como,

Ahora, aplicando la ley de Kirchoff a la parte izquierda del circuito dado. Por lo tanto

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Del mismo modo, mediante la aplicación de la ley de Kirchoff a la parte derecha del circuito dado obtenemos,

Ahora, diferencia las dos últimas ecuaciones para obtener el sistema de ecuaciones como, -

Las ecuaciones anteriores pueden ser resueltas para las variables i1, i2y el valor de la variable i puede determinarse con la ayuda de estas dos variables.

CONCLUSION En esta investigación vimos los Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, el cual nos ayuda a comprender mejor la aplicación a problemas que involucran más de una variable que 10

depende de procesos simultáneos. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es un conjunto de varias ecuaciones diferentes con varias incógnitas. También existen los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, estos sistemas se dan cuando las funciones conocidas de las ecuaciones del sistema no se encuentran en ellas. Hay dos soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, una de ellas es la solución general la cual se aplica si los valores de las constantes no se obtienen en la solución final y la otra solución es la particular que es cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Estas soluciones se hacen en el caso que el sistema de entrada de la ecuación diferencial presente un valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para que se determinen los términos constantes. Existen varios métodos de solución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, como lo son el método de eliminación de Gauss, el método separable y reducible entre otros. En esta investigación nos enfocamos en el método de los operadores, que consiste en convertir una función en otra función. Otra de las maneras de solucionar los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales es utilizando transformadas de Laplace, que en mi punto de vista es el más complejo para la solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ya que para ello tenemos que utilizar en algunos casos la regla de Cramer. Gracias a esta investigación conocimos como se pueden utilizar los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, así como también como se pueden solucionar y en que se pueden aplicar, como por ejemplo en problemas mecánicos de acoplamiento de resortes y en problemas eléctricos entre otros.

REFERENCIAS Zill, Dennis & Cullen, Michael (2008). Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería I Ecuaciones Diferenciales. Tercera Edición. Ed. McGraw-Hill. 11

Rainville, Earl (2006). Ecuaciones Diferenciales Elementales. Segunda Edición. Ed. Trillas.

Ramiro Garcia Torres. (2015). Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. 16 Junio 2016, de

Instituto

Politecnico

Nacional

Sitio

web:

http://itpn.mx/recursosisc/4semestre/ecuacioneslineales/Unidad%20IV.pdf

Tania Del Angel Delgado. (2012). UNIDAD 4 ECUACIONES DIFERENCIALES 4.1 TEORIA PRELIMINAR.

16

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2016,

de

Blogspot

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web:

http://tanniadelgadogonzalez.blogspot.mx/2012/06/unidad-4-ecuaciones-diferenciales41.html

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