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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD TRES ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

Entregado por: Estudiante Karen Paola Sosa Narda Farías Castro Hugo Alexander Noguera Albeiro Sánchez Guarnizo

Código 1016042761 5594065 102232983

Grupo de ejercicios a desarrollar A B C D E

Grupo: 100412_14

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES 27 DE JULIO DEL 2020

INTRODUCCIÓN El curso de Ecuaciones diferenciales ofrecido por la Universidad Nacional Abierta y a Distancia-UNAD diseño una guía de actividades a desarrollar para la tarea cuatro con el fin de que el estudiante se contextualice con su interpretación en problemas teóricos y prácticos en ecuaciones diferenciales de orden superior que requieren un tipo especial de solución. Primero, pide al estudiante que investigue sobre soluciones de Ecuaciones Diferenciales por series de potencia, transformada de Laplace y Solución de Ecuaciones Diferenciales con transformada de Laplace por medio de lecturas y herramientas audiovisual tipo OVA. Una vez ocurrida la aprehensión del conocimiento y con ayuda de las clases virtuales, el curso dispone 5 ejercicios por estudiante, tres individuales y dos grupales con el fin de reforzar el aprendizaje por medio de tareas los cuales fueron compartidos en el foro colaborativo de la tarea cuatro. Después, de los realizados cada estudiante escoge un ejercicio para grabar un video evidencia el cual explique el método usado para resolver los ejercicios. Una vez realizadas las actividades de la guía se pide construir un documento consolidado según los roles asignados entre el grupo del curso. Al final, de manera colaborativa al trabajar en equipo y con las correcciones pertinentes se redacta este documento como evidencia de aprehensión del conocimiento.

OBJETIVOS

 Objetivo general Evidenciar de manera verídica el desarrollo individual y grupal de la tercera guía de actividades y rubrica de evaluación del curso Ecuaciones diferenciales.

 Objetivos específicos o Descargar la guía de actividades y rubrica de evaluación disponible en el entorno de Aprendizaje colaborativo del curso ecuaciones diferenciales o Comprender las lecturas propuestas en el syllabus para la unidad de trabajo. o Resolver las actividades propuestas en la guía y compartir las respuestas a las actividades en el foro de discusión. o Realizar una asignación de roles que permita la rápida gestión de la información disponible. o Copilar la información y organizarla para construir un documento evidencia.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante

Rol a desarrollar

Karen Paola Sosa Narda Farias Castro

Compilación

Hugo Alexander Noguera

Entregas

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 3Tipo de ejercicios

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

y , , + p ( x ) y , + q ( x ) y=0

se representa primero p ( x ) y q ( x ) por series de potencias en potencias de x (o de ( x−x 0 ) si se desea obtener soluciones de potencias de x−x 0 ¿. En muchas ocasiones p ( x ) y q ( x )son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.

∞

y= ∑ am x m=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ … m=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

∞

y , = ∑ m am x m−1=a1 +2 a2 x+ 3 a3 x 2 +… m=1

∞

y , ,= ∑ m ( m−1 ) am x m−2=2 a2 +3∗2 a3 x+ 4∗3 a4 x 2 +… m=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de x y la suma de los coeficientes de cada potencia de x que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a x, los términos que incluyen a x 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en y.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA  

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Narda Constanza Farías Castro

RAZÓN O EXPLICACIÓN

b. 2 y ´ ´ + xy ´ + y=0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Para poder resolver por Ecuaciones Diferenciales por series de potencia suponemos que: ∞

y=∑ c n (x−x 0)n n=0

∞

∞

n=2

n=1

n−1

2 ∑ n ( n−1 ) c n ( x−x 0 )n−2+ x ∑ n c n ( x−x 0 )

∞

n Entonces, buscamos la primera y segunda + ¿ ∑ c n (x−x 0) =0 ¿ n=0 derivada de y: ∞

y ´=∑ n c n (x−x 0)n−1 n=1

∞

y ´ ´=∑ n ( n−1 ) c n ( x−x 0)n−2 n =2

Reemplazamos:

∞

∞

n−2

∞

n−1

∑ 2 ( n ( n−1 ) c n ( x−x 0) )+∑ x ( n c n ( x−x 0 ) )+ ¿ ∑ c n (x−x 0)n =0 ¿ n =2

n=1

n=0

Integramos el 2 y el x respectivamente a cada ecuación

∞

∞

∞

n =2

n=1

n=0

∞

∞

∑ 2 n ( n−1 ) cn ( x −x0 )n−2 +∑ n c n x n +¿ ∑ cn x n=0 ¿ ∞

∑ 2(n+2)( n+1 ) c n+ 2 x n+∑ n c n x n +¿ ∑ cn x n=0 ¿ n=0

n=0

n=0

Operamos

∞

∞

Según la propiedad: ∑ f ( n)=∑ f (n+k ) n=k

n=0

Podemos reemplazar para que todos queden en n=0 ∞

∑ [ 2(n+2)( n+1 ) c n +2+ n c n+ c n ] x n=0 n=0

Agrupamos y factorizamos:

2(n+ 2) ( n+1 ) c n+2 +n c n +c n=0

Igualamos a cero

2(n+ 2) ( n+1 ) c n+2 +(n+1)c n=0 c n+ 2=

(n+1) c 2( n+2) ( n+1 ) n

c 0+ 2=

(0+1) c 2( 0+2) ( 0+1 ) 0

Se despeja c n+ 2

Reemplazamos n=0

1 1 c 2= c0 = c 0 4 2(2) ( 1 ) c 1+2 =

(1+ 1) c 2(1+2) (1+1 ) 1

Reemplazamos n=1

2 2 1 c 3= c 1= c 1 = c 1 12 6 2(3) ( 2 ) c 2+2 =

(2+1) c 2(2+2) ( 2+ 1 ) 2

Reemplazamos n=2

3 3 1 1 1 1 c4 = c 2 = c 2 = c2 = c0 = c0 24 8 8 4 32 2(4) ( 3 )

( )

c 3+ 2=

(3+1) c 2(3+ 2) ( 3+1 ) 3

Reemplazamos n=3

4 4 1 1 1 1 c 5= c 3= c3 = c 3= c1 = c1 40 10 10 6 60 2(5) ( 4 )

( )

c 4 +2=

(4 +1) c 2(4 +2) ( 4+1 ) 4

Reemplazamos n=4

5 5 1 1 1 1 c 6= c 4 = c 4 = c 4= c0 = c0 60 12 12 32 384 2(6) ( 5 )

( )

1 1 1 1 1 y=c 0+ c1 x+ c 0 x 2+ c 1 x 3 + c 0 x 4 + c 1 x 5+ c x 6 ⋯ Reescribimos dando forma a la solución 4 6 32 60 384 0 1 1 1 1 1 y=c 0 1+ x 2 + x 4 + c0 x 6 ⋯ + c 1 x+ c 1 x 3+ c 1 x 5 ⋯ 4 32 384 6 60

(

) (

)

Agrupamos dando el resultado

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HUGO ALEXANDER NOGUERA

c. x y ' ' +2 y ' + xy=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA ∞

y= ∑ am x m=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ … m=0 ∞

y , = ∑ m am x m−1=a1 +2 a2 x+ 3 a3 x 2 +…

RAZÓN O EXPLICACIÓN Planteamos la función solución de la ED como serie de potencias, asimismo, se calcula hasta la tercera derivada de la función como serie de potencia

m=1 ∞

,,

y = ∑ m ( m−1 ) am x m−2=2 a2 +3∗2 a3 x+ 4∗3 a4 x 2 +… m=1

x y ' ' +2 y ' + xy=0

Realizamos el reemplazo de las expresiones obtenidas en la ED x ( 2 a2 +3∗2 a 3 x +4∗3 a 4 x2 +… ) +2 ( a1 +2 a2 x+ 3 a3 x 2 +… ) + x ( a0 +a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ … ) =0

( 12 a4 + a2 ) x3 +( 6 a3 +a1 ) x 2+ ( 2 a2+ a0 ) x+ ( 2 a1 ) …=0

Agrupamos los términos semejantes

12 a4 + a2=0

Por medio de comparación en la igualdad de la ED, se puede determinar el valor de las constantes

( 6 a 3+ a1 )=0 ( 2 a2 +a 0 )=0 2 a1=0 a 3=0 a 2=

−1 a 2 0

a 4=

1 a 24 0

y=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a 3 x 3+ … 1 1 y=a0− a 0 x 2 + a 0 x 4 + … 2 24

Reemplazando las constantes, se obtiene la solución de la ecuación diferencial como serie de potencia

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ALBEIRO SÁNCHEZ GUARNIZO

d. 𝟑𝒙𝒚 ′′ + 𝒚 ′ − 𝒚 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  P ( x) =

RAZÓN O EXPLICACIÓN

1 −1 , Q ( x) = 3x 3x

X=0 es un punto singular y es regular porque

∞

∞

n=0

n=0

Damos solución de la siguiente forma

y=∑ Cn X n +r ⇒ y ´ =¿ ∑ (n+r )C n X n +r−1 ¿ ∞

y ´ ´=∑ (n+r )(n+ r−1)C n X n+r −2 n=0

∞

Sustituimos en la E.D.

3 xy ´ ´ + y ´ − y=∑ 3 ( n+r ) ( n+r−1 ) C n X n+r −1 n=0

∞

∞

n=0

n=0

+ ∑ (n+r ) Cn X n +r−1−∑ C n X n+ r=0 ∞

∑ (n+r )(3 n+3 r −2) C n X n=0

xr

r

[ [ [ [

∞

= y ´ ´ =∑ C n X n+r =0 n=0

∞

∞

n=0

n=0

]

∑ (n+r )(3 n+3 r−2)Cn X n−1−∑ Cn X n =0 ∞ −1

x r ( 3 r−2 ) C0 x r

n+r −1

∑ ( n+r ) ( 3 n+3 r−2 ) Cn X n=1 ∞

−1

x r ( 3 r−2 ) C0 x

n −1

∞

]

−∑ Cn X n =0 n=0

k

∞

Sacamos la potencia más baja

]

∑ (k + r +1)(3 k+ 3 r+ 1)C k+1 X −∑ C n X n =0 k=0

∞

k=0

]

x r r ( 3 r−2 ) C0 x−1 +∑ [ ( k + r+ 1 )( 3 k +3 r +1 ) C k+1−C k ] x k =0 k=0

En potencia de:

C k+1=

Ck , k=0,1,2,3 …. ( k +r +1)(3 k +3 r +1)

x−1 : r ( 3 r −2 ) C 0=0

Y: x k : ( k +r +1 ) ( 3 k +3 r +1 ) C k+ 1−C k =0 , con K=1,2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa m sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

m

d2 x dx + β + kx=f (t) 2 dt dt

L

d2 q dq + β + kq=E (t) 2 dt dt

Es una función que representa una fuerza externa f (t) o un voltaje E ( t ) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones f (t) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo

La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función y (t) está definida para t ≥ 0 y la integral impropia converge para s> s0 . Entonces la transformada de Laplace y (t) existe s> s0 y está dada por:

∞

L { y ( t ) }=∫ e−st y ( t ) dt 0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. Escriba aquí la ecuación .

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Narda Farias Castro

b. L {e−(3 t +4 π ) }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

L {e−3 t−4 π }

e−4 π L {e−3 t }

Utilizamos la propiedad de multiplicación constante de la transformada de Laplace, para una función f (t) y una constante a: L { a ∙ f ( t ) } =a ∙ L {f (t )}

}= 1 = 1 s−(−3) s +3

Transformamos L {e−3 t }, utilizando la propiedad de 1 −3 t la transformada de Laplace L { e } = s−a

−3 t

L {e

Operamos

e−4 π

1 s +3

Reemplazamos la transformación en la ecuación

1 e (s +3)

Simplificamos y obtenemos el resultado

4π

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HUGO ALEXANDER NOGUERA

c L { 2t 3 +4 cos 2 πt }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA L { 2t 3 +4 cos 2 πt }=2 L { t 3 } + 4 L { cos 2 πt } 2 L {t 3 }=

n! 3 ! 12 =2 3+1 = 4 n +1 s s s

RAZÓN O EXPLICACIÓN Separamos las expresiones aplicando la propiedad de linealidad de las transformadas de Laplace Usamos las transformadas de Laplace de cada expresión por separado

4 L {cos 2 πt }=

s 4s = 2 2 s +k s +4π2

L { t 2 −sin πt }=

12 4s + 2 4 s s +4π2

2

Sumamos las expresiones obtenidas y hallamos la solución

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ALBEIRO SÁNCHEZ GUARNIZO

d. 𝓛{𝒕 𝟑 − 𝒆 −𝟒𝒕}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA a=−4 ¿

RAZÓN O EXPLICACIÓN X=0 es un punto singular y es regular porque

1 1 =¿ = S−(−4) s +4

−d 3 ¿ ds n 3

Damos solución de la siguiente forma

d2 =2 ¿ ds2

¿

6 ¿¿

Sustituimos en la E.D.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  

RAZÓN O EXPLICACIÓN

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

{

y , −3 y=e 2 t y ( 0 )=1

}

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial L { y , −3 y }=¿❑ L { e 2t } ¿ L { y , } −3 L { y }=

1 s−2

sY ( s )− y ( 0 )−3 Y ( s )= sY ( s )−1−3 Y ( s )=

1 s−2

Y ( s )=

s−1 ( s−2 ) (s−3)

Y ( s )=

−1 2 + s−2 (s−3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: y ( t )

L−1 { Y ( s) }=−L−1

1 ( s−2 )+2 L ( s−31 ) −1

1 s−2

2t

y ( t ) =−e +e

3t

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

b.

d4 y − y=0 , y ( 0)=1 , y '( 0)=0 , y ' ' (0)=−1 , y ' ' ' (0)=0 dx 4

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

y ´ ´ ´´ − y=0 → y(4 )− y=0

Para facilitar el manejo realizamos un cambio de la notación de Leibniz a Prima

L [ y 4 ] −L [ y ] =0

Calculamos la transformada de Laplace

L [ y 4 ] =s 4 L [ y ] − y 0 s 3− y ´ 0 s 2− y ´ ´ 0 s− y ´ ´ ´0

Aplicamos la formula de transformada de Laplace L [ x n ]=s n L [ x ]− x0 s n−1−x ´ s n−2−⋯−x(n−1)0

s4 L [ y ] − y 0 s3 − y ´ 0 s2 − y ´ ´ 0 s− y ´´ ´ 0−L [ y ] =0

Trascribimos la ecuación

s4 L− y 0 s3− y ´ 0 s2− y ´ ´ 0 s− y ´´ ´ 0−L=0

Para facilitar el manejo de la ecuación reemplazamos

L [ y ]= L s4 L−1 s3−0 s 2−(−1) s−0−L=0 4

3

s L−s + s−L=0 s4 L−L=s 3−s

Reemplazamos los condicionales iniciales en la ecuación anterior y operamos Colocamos los componentes que sólo tienen s al otro lado de la ecuación

L(s¿¿ 4−1)=s 3−s ¿ L= L=s

Factorizamos la L y operamos para despejar la L

s 3−s s4 −1

( s¿ ¿2−1) s = 2 ¿ 2 2 (s +1)(s −1) s +1 L [ y ]= y=L

−1

s s +1

Factorizamos y simplificamos

2

s 2 s +1

Devolvemos L [ y ]= L y despejamos y

Para resolver la transformada inversa de Laplace aplicamos la propiedad: y=cos t

L−1

s =cos at s +a 2 2

a=1

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: HUGO ALEXANDER NOGUERA

c. t y ' ' + ( 1−2 t ) y ' −2 y=0 ; y ( 0 )=1 , y ' ( 0 )=2 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA t y ' ' + ( 1−2 t ) y ' −2 y=0 L {t y ' ' + ( 1−2t ) y ' −2 y }=0

RAZÓN O EXPLICACIÓN Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados

Aplicamos linealidad

L { t y ' ' }+ L {( 1−2t ) y ' }−L {2 y }=0 L { t y ' ' }=

1 2 ( s F ( s )−s−2 ) s2

L {( 1−2 t ) y ' }=

Determinamos la transformada de cada termino

( 1s − s2 ) ( sF ( s) −1) 2

L { 2 y } =2 F (s )

1 2 1 2 ( s F ( s )−s−2 ) + − 2 ( sF ( s )−1 ) −2 F ( s )=0 2 s s s

Reemplazamos en la ecuación diferencial

1 2 1 2 1 2 F ( s ) − − 2 + − 2 sF ( s )− − 2 −2 F (s)=0 s s s s s s

Operamos

(

)

(

)

(

1 2 1 2 1 2 − 2 s−2 = + 2 + − 2 s s s s s s

( ( ) )

F ( s ) 1+

F ( s) =

)

1 2 1 2 + + − s s2 s s2

(

(

)

Despejamos F(s)

)

1 2 − s−2 s s2

( ( ) ) 1+

L−1 { F ( s ) }=L−1

{(

5 −2 t y=−e + e 6 2t

1 2 1 2 + + − s s2 s s2

(

)

( 1s − s2 ) s−2)

1+

2

}

Aplicamos transformada inversa a ambos lados

Determinamos diferencial

la

solución

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ALBEIRO SANCHEZ GUARNIZO

d. 𝒚 ′′ − 𝟒𝒚 ′ + 𝟒𝒚 = 𝒕 𝟑𝒆 𝟐𝒕

𝒚 (𝟎) = 𝟎

𝒚 ′ (𝟎) = 0

de

la

ecuación

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

  L { y ´ ´ }−4 L { y ´ } +4 L { y }=L { t 3 e2 t }

Operamos

  L { y ´ }=Sy ( s )− y (0)

Aplicamos el teorema de la trasformada de la derivada

L { y ´ ´ }=S 2 Y ( s ) −sy ( 0 ) − y ´ (0) donde Y(s)=   L { y ( t ) } (s)

Aplicamos Laplace a cada termino

  L { y ´ ´ }−4 L { y ´ } +4 L { y }=L { t 3 e2 t } S2 y ( s ) −Sy ( 0 )− y ´ ( 0 )−4 [ Sy ( s )− y ( 0 ) ] +4 y ( s ) = S2 Y ( s ) −4 sY ( s ) +4 Y ( s ) = Y ( s )=

3 ¿¿

Reemplazamos la trasformación en la ecuación y lo simplificamos.

3 ¿¿

3 ¿ ¿¿ Hallamos la solución

y ( t ) =L−1 { y ( s) } =L−1 ¿ =

1 −1 L ¿ 4∗5

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Problema: Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de x y ' ' + y ' + xy =0 con y (1)=0 y en y ' (1)=−1.

a. b. c. d.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ∞

y=∑

n=0

y ( n) (a) n y '(a) y ' ' (a) 2 y ' ' ' (a) Se3 establece la serie de Taylor para cualquier x = y ( a )+ x+ x + x +… n! 1! 2! 3 ! función. Para nuestro caso, a=1

x y ' ' + y ' + xy =0 ''

y =

RAZÓN O EXPLICACIÓN

De la ecuación diferencial, despejamos y ' '

−xy + y' y' =− y − x x

(−1 ) y' '' y ( 1 )=− y − =0− x 1

Hallamos el valor que tiene la segunda derivada de la función

y ' ' ( 1 )=1 y' ''=

d y' − y− dx x

(

)

Determinamos la tercera derivada de la función

y =− y −

x y '' − y ' x2

y ' ' ' ( 1 )=1−

( 1 )( 1 ) −(−1 ) ( 1 )2

' ''

'

Determinamos el valor de la tercera derivada en el punto de análisis

y ' ' ' ( 1 )=−1 y= y ( 1 ) + y=0+

Establecemos la serie de potencia para nuestra y ' ' (1) y ' ' '(1) y' ( 1) ( x−1 ) + ( x −1 )2+ ( x−1 )3 +… ecuación diferencial 1! 2! 3!

−1 1 −1 ( x−1 ) + ( x −1 )2+ ( x−1 )3 +… 1! 2! 3!

y=−( x−1 )+

Al reemplazar los valores de las derivadas, obtenemos la respuesta C.

1 1 ( x −1 )2− ( x−1 )3 +… 2! 3!

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en serie es:

t

di 1 L + Ri + ∫ i ( τ ) dτ =E(t) dt c 0

Utilizando la transformada de Laplace encuentre i ( t ) ,si L=0.05 H ; R=1 Ω ; c=0.02 F y E ( t )=50 [ t 3 e−t ] V e i ( 0 )=0

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Se tomó mal la transformada de Laplace 1 1 RL {q ' } + L { q }=E0 C s+1 Al desarrollarla R ( sQ ( s ) )+

1 1 Q(s)=E 0 C s +k

Al despejar Q(s) 1

Q ( s )=E0

(

1 C

)

1 RC

)

( s+ k ) Rs+ 1 R

Q ( s )=E0

(

( s+ k ) s+

Al aplicar la transformada inversa, se tiene que E0 e−kt e−1 q (t)= R RC

(

)

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante

Ejercicios sustentados

Karen sosa Narda Farías Castro Ejercicio 3B Hugo Alexander Noguera

Enlace video explicativo

https://www.youtube.com/watch?v=oGqWxLpKG9s

CONCLUSIONES 

El desarrollo de la guía de actividades nos permite abordar los temas de ecuaciones diferenciales por medio de la interpretación en problemas teóricos y prácticos en ecuaciones diferenciales de orden superior que requieren un tipo especial de solución como es series de potencia, transformada de Laplace y Solución de Ecuaciones Diferenciales con transformada de Laplace.



Se abordan los contenidos de una forma comprensiva, que va desde lo básico a lo complejo, logrando la aplicación de cada unidad del curso en la resolución de los ejercicios.



En el posterior ejercicio de nuestra profesión es importante la aplicación de las ecuaciones diferenciales en problemas cotidianos, por lo tanto, hace parte de las competencias fundamentales de la ingeniería.

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El trabajo cooperativo permitio crear un área de estudio virtual en el que los estudiantes construyeron conocimiento, corregian falencias de otros estudiantes y se incentivaban a concluir los deberes; utilizando herramientas como el foro de discusión como medio de comunicación con el tutor y el grupo de estudio para comunicarse se demostró las ventajas comunicativas actuales en la eduación virtual y a distancia.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 59-63). Recuperado de https://ebookcentral-proquestcom.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3200738&ppg=1

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Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 71-79). Recuperado de https://ebookcentral-proquestcom.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3200738&ppg=1

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García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 7276). Recuperado de https://ebookcentral-proquestcom.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action?docID=3227903&ppg=1

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Granados, A. (2017). Presentación Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. [OVI]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11507

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Granados, A. (2020). Ecuaciones diferenciales Cauchy Euler. Unad. [OVA]. Disponible en https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33649

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Zill, D. G. (2009). Ecuaciones diferenciales: Con aplicaciones de modelado / Dennis G. Zill (9a. ed). México D.F.: Cengage learning.