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• Jairo Márquez

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Fundamentos de la Mecánica de los Medios Continuos

5.1Ecuación generalizada de esfuerzo de Hooke Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton, y contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza") En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada :

Siendo: El alargamiento, La longitud original,

:

Módulo de Young, La sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Ley de Hooke para los resortes: La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida en el resorte con la elongación o alargamiento producido:

Donde se llama constante elástica del resorte y variación que experimenta su longitud.

es su elongación o

La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

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POTENCIAL ELÁSTICO

INVERSIÓN DE LA LEY DE HOOKE. MÓDULO DE YOUNG. COEFICIENTE DE POISSON

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL

ECUACIONES DE GOBIERNO

CONDICIONES DE CONTORNO

Es importante notar que la antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando por la longitud total, y

llamando al producto

o

intrínseca, se tiene:

Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, longitud

a la constante de un pequeño trozo de muelle de a la misma distancia y

al alargamiento de

ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza del muelle completo:

. Por la ley

Tomando el límite:

Que por el principio de superposición resulta:

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo , se obtiene como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

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Ley de Hooke en sólidos elásticos: En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

“Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas, se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación”. De tal forma que la deformación es una cantidad adimensional, el módulo se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo (unidades ). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo para el que la similitud entre y deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manufactura.

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5.2Aplicaciones a problemas de elasticidad lineal

A partir del modulo de Young y el coeficiente de Poisson se puede obtener la relación Tension-deformacion en un punto sometido a un estado tensional arbitrario, encontrando la llamada ley de Hooke generalizada, pues extiende al continuo la relación elástica de los resortes. Para obtener dicha relación partimos primero de la siguiente observación: el estado tensional más complejo que puede ejercerse sobre un diferencial de volumen es un estado triaxial de tracción/compresión. Efectivamente cualquier estado tensional puede expresarse, en la base principal de tensión, como un estado triaxial de tracción/compresión. En dicho estado las tres tensiones normales se denominan y coinciden con las tensiones principales. Debido a la hipótesis de linealidad, se puede aplicar el principio de superposición y se puede obtener la respuesta al estado triaxial de tensión superponiendo tres estados de tracción/compresión uniaxial. Comenzando por la tracción/compresión sobre un plano perpendicular a la dirección principal primera, el estado de tensión y deformación correspondiente es

Estudiando a continuación un estado de tracción/compresión uniaxial en la dirección principal de tensión segunda obtenemos un nuevo estado de deformación

Finalmente, considerando el tercer estado de tensión posible se obtiene que la tensión y deformación sean

Por el principio de superposición, la deformación debida a un estado tensional ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) es la suma o en forma de matriz:

La primera conclusión que se obtiene de lo anterior es que, en un material elástico isótropo, las bases principales de tensión y deformación coinciden. Sobre todo, esta expresión indica la relación más general posible entre tensión y deformación de un material de estas características cuando estas dos cantidades se expresan en componentes de la base principal. Para hallar la expresión intrínseca, válida para cualquier sistema de coordenadas,

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no necesariamente cartesiano reformulamos la anterior expresión de la siguiente manera:

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Esta última expresión depende solo de operadores intrínsecos, pues en ningún lugar se hace referencia a componentes o sistemas de coordenadas, así que se puede formular de manera completamente general la siguiente ley de Hooke generalizada:

Para la resolución de problemas resulta útil recoger la expresión en componentes cartesianas. Definimos para ello el modulo de cortante o cizalla

(

y escribimos: )

En estas expresiones se puede leer un resultado adicional importante: en los materiales elásticos isótropos las tensiones normales solo producen deformaciones longitudinales (en las tres direcciones debido al efecto Poisson) y las tensiones cortantes solo produce deformaciones angulares (cada tensión cortante produce una deformación angular desacoplada del resto).

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5.3Ecuación de Navier-Cauchy

SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY

5.4Ecuación de Navier-Stokes Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica;

por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante métodos numéricos se la denomina dinámica de fluidos computacional En particular, para un fluido newtoniano, e isótropo (las propiedades del fluido no cambian con la dirección), el conjunto de leyes anteriores se concreta en las ecuaciones de Navier-

Stokes, que se obtienen directamente de las ecuaciones de continuidad y del movimiento. La ecuación de continuidad será directamente la expresión de la ley de conservación de la masa. La ecuación del movimiento, se obtiene de analizar la naturaleza de las fuerzas que actúan sobre el fluido por unidad de volumen. Estas fuerzas son las que ejerce el propio fluido más las fuerzas exteriores que puedan existir. En la deducción de las ecuaciones se plantea el equilibrio de fuerzas sobre un volumen de control. Las fuerzas que se ejercen sobre el contorno de este volumen de control, por parte del propio fluido o de un contorno material, son unas tensiones sobre la superficie del mismo que se pueden representar con un tensor de tensiones , de manera que los elementos de la diagonal de este tensor son las fuerzas normales por unidad de superficie en el contorno del volumen y el resto de componentes serían las componentes tangenciales de dichas fuerzas. Por equilibrio de momentos se demuestra que el tensor de tensiones es simétrico. El resto de fuerzas exteriores las agrupamos bajo el término b (fuerzas por unidad de masa), aunque en general sólo consideraremos la gravedad y la fuerza de Coriolis debido a la rotación de la tierra. Aplicando directamente la ley de conservación de la cantidad de movimiento con las consideraciones anteriores sobre el volumen de control, y utilizando el teorema de Gauss o de la divergencia en la superficie cerrada que es su contorno, se obtiene:

El tensor de tensiones se puede descomponer a su vez, para el caso de fluido incompresible, en la suma de dos. El primero representa su parte isótropa, que es una matriz diagonal de componentes iguales, mientras que el resto se podría llamar tensor de tensiones viscosas , es decir: donde representa la matriz identidad y por: ( )

es un escalar que viene dado

es la traza (suma de los elementos de la diagonal) del tensor de tensiones, que para un fluido en movimiento se conoce por presión dinámica. Para el caso de fluidos compresibles (excepto en el caso de gases monoatómicos) esto no es exactamente cierto ya que habría que considerar la influencia de una viscosidad adicional debida a la dilatación volumétrica del fluido. Stokes formuló la hipótesis de que esta influencia se podría despreciar siempre; en este caso, de las dos ecuaciones anteriores se desprende que la traza de es igual a cero. El tensor de tensiones viscosas representa la parte no isótropa del tensor de tensiones. Sus elementos de la diagonal son las tensiones viscosas normales, mientras que

el resto son las tensiones viscosas tangenciales, por lo que la hipótesis de Stokes implica que la suma de las tensiones viscosas normales es cero. Un fluido newtoniano es aquel que cumple la ley de Newton, según la cual la tensión tangencial entre dos capas de fluido en movimiento es proporcional a la velocidad relativa entre dichas capas. Matemáticamente esto se traduce en que el tensor de tensiones totales es proporcional a la parte simétrica del tensor velocidad de deformación, y se escribe como: Donde es la parte simétrica del tensor velocidad de deformación que, en componentes, responde a la expresión: (

)

donde sería la componente de la velocidad en la dirección del espacio dada por . es el coeficiente de viscosidad dinámica que relaciona el tensor de tensiones con el tensor velocidad de deformación Sustituyendo la ley de Newton, y teniéndola en cuenta a su vez en la expresión de la presión se obtiene que: (

)

Esta expresión, juntamente con la ecuación del movimiento y algunas operaciones matemáticas nos permite obtener la ecuación del movimiento para un fluido isótropo, newtoniano, que, juntamente con la ecuación de continuidad, teniendo en cuenta que la densidad del fluido es precisamente la masa por unidad de volumen, constituyen las ecuaciones de NavierStokes (

)

5.5Aplicaciones a problemas de mecánica de fluidos FLUIDOS INCOMPRESIBLES

FLUIDOS CON VISCOSIDAD VOLUMÉTRICA NULA (FLUIDOS DE STOKES)

FLUIDOS PERFECTOS

HIDROSTÁTICA

Fuentes de información: http://bigmac.mecaest.etsii.upm.es/Site/MSD_files/cap4.pdf http://www.slideshare.net/krinashavz/ley-de-hooke-15014251 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes http://www.dmae.upct.es/~jlguirao/panel/archivos/docencia1422.pdf https://sites.google.com/site/alejandrocastillonmedios/unidad-5ecuaciones-constitutivas

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