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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentado a: YENIFER ELIZABETH GALINDO Tutor(a)

Entregado por: Angie Alejandra Campos Perdomo Código: 1.109.494.101 Jairo Aníbal Márquez Martínez Código: 79.980.187 Angelica Vanessa Mateus Peña Código: 1.030.690.185 Anex Eugenia Pineda Romero Código: 28.438.020 Javier Velandia Zuluaga Código: 1.014.204.587 Grupo: 78

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES OCTUBRE 17 2019

INTRODUCCIÓN

Las actividades son desarrolladas desde el punto de estrategia de aprendizaje basado en los problemas de ecuaciones diferenciales de orden superior, el siguiente trabajo los vemos repartido en dos partes, una parte colaborativa donde debemos debatir y organizar nuestras ideas y aportes según los problemas planteados y la otra individual donde trabajamos sobre un ítem asignado desde el comienzo de la actividad. Teniendo como fin el trabajo el desarrollo y el uso de los principios de la integración y el teorema fundamental del cálculo, donde en cada ejercicio a partir del reconocimiento, análisis y construcción de cada problema desde las bases del cálculo.

OBJETIVOS   

Reconocer los problemas, analizar, construir y plantear soluciones Responder las interrogantes y preguntas generando debates para buscar la solución final de los problemas Identificar las diferentes formas de resolver ecuaciones diferenciales adquiriendo nuevas habilidades

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante Angelica Vanessa Mateus Peña Angie Alejandra Campos Perdomo Anex Eugenia Pineda Romero Jairo Aníbal Márquez Martínez Javier Velandia Zuluaga

Rol a desarrollar Alertas Revisor Evaluador Compilador Entregas

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 3Tipo de ejercicios

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES TIPO DE EJERCICIOS 1 –ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Angelica Vanessa Mateus Peña

𝒂. 𝟐𝟎𝐲 ´´´ − 𝟖𝟎𝐲 ´´ − 𝟏𝟎𝟎𝐲 ´ = 𝟎

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

20y´´´ − 80y ´´ − 100y ´ = 0

Esta es una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes

any ( n )  ...  a1 y'ao v  0

Se asume la solución con la forma e yt

20((e yt ))' ' '80((e yt ))' '100((e yt ))  0

Se reescribe la ecuacion con la y= e yt

20((e yt ))' ' '80((e yt ))' '100((e yt ))  0

Se simplifica

e yt (20 y 3  80 y 2  100 y)  0 Y=0 y=-1 y=5

Se resuelve

Y= c1e y1t  c 2 e y 2t  c n e ynt

Para las raíces no repetidas y1,y2,yn la solución general es esta

c1e 0  c 2 e t  c3 e 5t

y  c1  c 2 e  t  c3 e 5t

Simplifico y nos da este resultado

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Angie Alejandra Campos Perdomo

𝒃.

𝟏𝟓 𝟔

𝒚´´ − 𝟏𝟎𝒚´ +

𝟐𝟓 𝟔

𝒚=𝟎

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝟏𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝒎 − 𝟏𝟎𝒎 + =𝟎 𝟔 𝟔

Identificamos la ecuación característica, la cual es una ecuación cuadrática

𝟔 𝟏𝟓

( 𝒎𝟐 − 𝟏𝟎𝒎 + 𝟓 𝟔

𝟐𝟓

𝟔

) = 𝟓 (𝟎) 𝟔

Multiplicamos ambos lados de la igualdad por 𝟔 𝟓

3𝒎𝟐 − 𝟏𝟐𝒎 + 𝟓 = 𝟎

𝒎=

Propiedad distributiva

−(−𝟏𝟐) ± √(−𝟏𝟐)𝟐 − 𝟒(𝟑)(𝟓) 𝟐(𝟑)

𝒎= 𝒎=

𝟔

𝟔 ± √𝟐𝟏) √𝟐𝟏 =𝟐± 𝟑 𝟑

𝟔 + √𝟐𝟏) 𝟑

𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆

(𝟐+

√𝟐𝟏 )𝒙 𝟑

𝒎𝟐 =

+ 𝑪𝟐 𝒆

Solucionamos por la formula cuadrática 𝒎=

−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂

Resolvemos la expresión

𝟔

𝟏𝟐 ± √(𝟒)(𝟐𝟏) 𝟏𝟐 ± 𝟐√𝟐𝟏 = 𝟔 𝟔 𝟐(𝟔 ± √𝟐𝟏) = 𝟔

𝒎= 𝒎𝟏 =

𝟏𝟐±√𝟏𝟒𝟒−𝟔𝟎) 𝟏𝟐±√𝟖𝟒

=

para simplificar y eliminar fraccionarios

𝟔 − √𝟐𝟏) 𝟑

(𝟐−

√𝟐𝟏 )𝒙 𝟑

Aplicamos propiedades de radicales.

Factorizamos Simplificamos

Son las dos respuestas a la ecuación cuadrática (característica), “al ser raíces reales distintas, la solución general es del Caso 1” Por lo tanto ésta es la solución general de la ecuación

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Anex Eugenia Pineda Romero

𝒄. 𝟐 𝐲 ´´ + 𝟔𝐲 ´ − 𝟏𝟕𝟔𝐲 = 𝟎

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA 2 y ´´ + 6y ´ − 176y = 0

Ecuación Diferencial, Homogénea lineal segundo orden con coeficientes constantes.

𝑎𝑦" + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0

De la forma se asume solución

de

𝑒 𝑟𝑡 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑡

Reescribimos la ecuación

2((𝑒 𝑟𝑡 ))" + 6((𝑒 𝑟𝑡 ))′ − 176𝑒 𝑟𝑡 = 0 𝑒 𝑟𝑡 (2𝑟 2 + 6𝑦 − 176) = 0

simplificamos

𝑒 𝑟𝑡 (2𝑟 2 + 6𝑦 − 176) = 0

Resolver

𝑟 = 8, 𝑟 = −11 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑟1𝑡 + 𝑐2 𝑒 𝑟2𝑡

Para dos raíces

la solución general toma la forma

𝑦 = 𝑐1 𝑒 8𝑡 + 𝑐2 𝑒 −11𝑡

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Jairo Aníbal Márquez Martínez

𝒅.

𝟐 ´´´ 𝟏𝟎 ´´ 𝐲 − 𝐲 + 𝟐𝐲 ´ + 𝟔𝐲 = 𝟎 𝟑 𝟑

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 2 y ´´´ − 10y ´´ + 6y ´ + 18y = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN Multiplicando todo por 3

y ´´´ − 5y ´´ + 3y ´ + 9y = 0

Ahora dividiendo todo en 2

m3 − 5m2 + 3𝑚 + 9 = 0

La ecuación característica quedaría

1, -1, 3, -3, 9 y -9 1−5+3+9 →1

Buscando factor con los números El 1 no es una raíz solución

1−4−1 1−4−1+8 1 − 5 + 3 + 9 → −1

El -1 SI es una raíz solución

−1 + 6 − 9 1−6+9+0 𝑚1 = −1 1−5+3+9 →3

El 3 SI es una raíz solución

3−6−9 1−2−3+0 𝑚2 = 3 1 − 5 + 3 + 9 → −3

El -3 no es una raíz solución

−3 + 24 − 81 1 − 8 + 27 − 72 1−5+3+9 →9

El 9 no es una raíz solución

9 + 36 + 351 1 + 4 + 39 + 360 1 − 5 + 3 + 9 → −9

El 9 no es una raíz solución

−9 + 126 + 1161 1 − 14 + 129 + 1170 𝑚2 − 6𝑚 + 9 = 0 (𝑚 − 3)(𝑚 − 3) = 0

Comprobando el tercer resultado Factorizando

𝑚3 = 3

El 3 es la otra raíz solución

𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥

Usando la regla

𝑦1 = 𝑒 (−1)𝑥

Solución 1: Sustituyendo -1

𝑦1 = 𝑒 −𝑥 𝑦1 = 𝑒 (3)𝑥

Solución 2: Sustituyendo 3

𝑦1 = 𝑒 3𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚3 𝑥

Usando la ecuación

𝑦 = 𝐶1 𝑒 (−1)𝑥 + 𝐶2 𝑒 (3)𝑥 + 𝐶2 𝑒 (3)𝑥

Reemplazando

𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥

Resolviendo, la solución general es

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Javier Velandia Zuluaga 𝟐 𝒆. 𝒚´´ − 𝟒𝒚´ + 𝟏𝟎𝒚 = 𝟎; 𝒔𝒊 𝒚(𝟎) = 𝟏, 𝒚(𝟏) = 𝟎 𝟓 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

2 𝑦´´ − 4𝑦´ + 10𝑦 = 0 5

Como ecuación homogénea

𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥

Lo primero que haremos será reemplazar los datos por:

𝑦′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 𝑦′′ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 2 2 𝑟𝑥 𝑟 𝑒 − 4𝑟𝑒 𝑟𝑥 + 10𝑒 𝑟𝑥 = 0 5 2 𝑒 𝑟𝑥 ( 𝑟 2 − 4𝑟 + 10) = 0 5 2 2 𝑟 − 4𝑟 + 10 = 0 5

Reemplazamos en la función y nos queda como: Sacamos factor común de 𝑒 𝑟𝑥 : Ahora tenemos una multiplicación de dos valores que multiplicados y esto da cero, pero sabemos

que una función exponencial Euler nunca toma el valor de cero, por ello nos queda como: 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 2

𝑥=

4 ± √16 − 4(5)10

Utilizaremos la formula cuadrática:

Reemplazamos los valores:

4 5

𝑥=

4 ± √16 − 16 4 5

𝑥=

4 ± √0 4 5

𝑥=

20 4

𝑥=5 𝑦 = 𝐶1𝑒 5𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒 5𝑥

Nuestro resultado es x=5 con multiplicidad 2, nuestra ecuación general queda como:

𝑦(0) = 1

Ahora reemplazamos por nuestro primer valor inicial:

1 = 𝐶1𝑒 0 + 𝑐20𝑒 0

Entonces nuestra ecuación queda como:

1 = 𝐶1

𝑦=𝑒

5𝑥

+ 𝑐2𝑥𝑒

5𝑥

Y este valor lo reemplazamos en la ecuación general:

𝑦(1) = 0

Y ahora en nuestro segundo valor inicial:

0 = 𝑒 5 + 𝑐2𝑒 5

Entonces nuestra ecuación queda como:

0 = 𝑒 5 (1 + 𝑐2)

−1 = 𝐶2 𝑦 = 𝑒 5𝑥 − 𝑥𝑒 5𝑥

Y este valor lo reemplazamos en la ecuación general y nos da la solución final:

EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Angelica Vanessa Mateus Peña 𝒂. 𝒚´´ + 𝟗𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑦 ´´ + 9𝑦 = sec 𝑥

Es una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden lineal con coeficientes constantes

a( x) y ' 'b( x) y 'c( x) y  g ( x) y  yh  yp

Yh es la solución para una ecuación homogénea Yp es la solución que no satisface cualquier ecuación homogénea

Y  C1 cos(3x)  C2 sin( 3x) Yp  cos(3x) *  

sin( 3x) sec( x) cos(3x) sec( x) dx  SIN (3) *  dx + 3 3

Yp satisface Y ' '9Y  SEC ( X ) Obteniendo como resultado

y  C1 cos(3x)  C 2 sin( 3x)  cos(3x)  

sen(3x) sec( x) cos(3x) sec( x)  sen(3x) *  dx 3 3

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Angie Alejandra Campos Perdomo 𝟑 𝟗 𝒃. 𝒚´´ + 𝒚´ + 𝟑𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒆𝒙 𝟐 𝟐 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝟐 𝟑

𝟗

𝟑 𝟐

𝟐

( 𝒚´´ + 𝒚´ + 𝟑𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒆𝒙 ) 𝒚´´ + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒚 =

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒆𝒙 𝟑

𝒎𝟐 + 𝟑𝒎 + 𝟐 = 𝟎

RAZÓN O EXPLICACIÓN 2

Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar el coeficiente de y´´

Hallamos la solución para la ecuación homogénea asociada

(𝒎 + 𝟐)(𝒎 + 𝟏) = 𝟎

Factorizamos la expresión 𝒎𝟏 = −𝟐

𝑈1 = − ∫ 𝑦1 𝑊 = |𝑦´ 1

𝒎𝟐 = −𝟏

Raíces de la ecuación cuadrática

𝒚𝒉 = 𝑪𝟏 𝒆−𝟐𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝒙

Solución general de ecuación homogénea

𝑦𝑝 = 𝑈1 𝑒 −2𝑥 + 𝑈2 𝑒 −𝑥

Procedemos a hallar la ecuación particular

𝑦2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑊

𝑈2 = ∫

𝑦1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑊

𝑦2 𝑦´2 | = (𝑒 −2𝑥 )(−𝑒 −𝑥 ) − (𝑒 −𝑥 )(−2−2𝑥 ) = −𝑒 −3𝑥 + 2𝑒 −3𝑥

Ecuaciones para hallar las funciones (𝑈1 , 𝑈2 ) de la solución particular Hallamos el wronskiano

𝑊 = 𝑒 −3𝑥 𝑈1 = − ∫

𝑦2 𝑓(𝑥) 𝑊

𝑑𝑥=− ∫

2 3 𝑒 −3𝑥

𝑒 −𝑥( sin 𝑒 𝑥 )

𝑑𝑥

2 = − ∫ 𝑒 2𝑥 sin 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 3

Hallamos las integrales para hallar las funciones (𝑈1 , 𝑈2 ) de la solución particular. Después de hallado el wronskiano. Para resolver estas integrales utilizamos los métodos de sustitución e integración por partes

= 𝑈2 = ∫

𝑦1 𝑓(𝑥) 𝑊

2 𝑥 2 𝑒 cos 𝑒 𝑥 − sin 𝑒 𝑥 3 3

𝑑𝑥=∫ =∫

2 3 𝑒 −3𝑥

𝑑𝑥

2 3 𝑒 −3𝑥

𝑑𝑥

𝑒 −2𝑥( sin 𝑒 𝑥 )

𝑒 −2𝑥( sin 𝑒 𝑥 )

Hallamos las integrales para hallar las funciones (𝑈1 , 𝑈2 ) de la solución particular. Después de hallado el wronskiano. Para resolver estas integrales utilizamos los métodos de sustitución e integración por partes

2 = ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 3 2 = − cos 𝑒 𝑥 3 𝑦𝑝=(2𝑒 𝑥 cos 𝑒 𝑥 −2 sin 𝑒 𝑥 )𝑒 −2𝑥 +(−2 cos 𝑒 𝑥 )𝑒 −𝑥

Reemplazamos en expresión de la solución particular

𝑦𝑝=(2𝑒 𝑥 cos 𝑒 𝑥 −2 sin 𝑒 𝑥 )𝑒 −2𝑥 −(2 cos 𝑒 𝑥 )𝑒 −𝑥

Cambiamos de signo “+ por –“

𝑦𝑝=2𝑒 𝑥 𝑒 −2𝑥 cos 𝑒 𝑥 −2 𝑒 −2𝑥 sin 𝑒 𝑥 −2 𝑒 −𝑥 cos 𝑒 𝑥

Aplicamos propiedad multiplicación.

3

3

3

3

3

3

3

3

3

𝑦𝑝=2𝑒 −𝑥 cos 𝑒 𝑥 −2 𝑒 −2𝑥 sin 𝑒 𝑥 −2 𝑒 −𝑥 cos 𝑒 𝑥 3

3

3

distributiva

de

la

Eliminamos términos semejantes

𝑦𝑝=−2 𝑒 −2𝑥 sin 𝑒 𝑥 3

𝟐 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆−𝟐𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝒙 − 𝒆−𝟐𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒆𝒙 𝟑

Solución general de la ecuación diferencial no homogénea

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Anex Eugenia Pineda Romero 𝟓 𝟓 𝟓 𝒄. 𝒚´´ + 𝒚´ − 𝒚 = 𝟏𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 5 3

5

5

𝑦 ´´ + 2 𝑦 ´ − 3 𝑦 = 14𝑥 2 − 4𝑥 − 11 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ecuación diferencial de segundo orden lineal coeficientes constantes, no homogénea Lineal no homogénea de segundo orden tiene la siguiente forma: Yh es la solución para la Ecuación homogénea

Yp la solución particular, es cualquier función que satisface la ecuación no homogénea 𝑥 5 ′′ 5 ′ 5 𝑦 + 𝑦 − 𝑦 = 0 , 𝑦 = 𝑐1 𝑒 2 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 3 2 3

5 ′′ 5 ′ 5 𝑦 + 𝑦 − 𝑦 = 4𝑥 2 − 4𝑥 − 11 3 2 3 𝑦= 𝑥

Resoviendo,hallar yh Encontrar yp, que satisfaga

42𝑥 2 114𝑥 222 − − 5 5 5

𝑦 = 𝑐1 𝑒 2 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 −

42𝑥 2 114𝑥 222 − − 5 5 5

Solución general

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Jairo Aníbal Márquez Martínez 𝟐 𝟐𝟎 ´ 𝟓𝟎 𝒅. 𝒚´´ − 𝒚 + 𝒚 = 𝟐𝟎𝒙 + 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

2𝑦 ´´ − 20𝑦 ´ + 50𝑦 = 60𝑥 + 6

Multiplicando todo por 3

𝑦 ´´ − 10𝑦 ´ + 25𝑦 = 30𝑥 + 3

Dividiendo todo por 2

𝑦 ´´ − 10𝑦 ´ + 25𝑦 = 0

Solución por coeficientes indeterminados Escribiendo la ecuación homogénea relacionada (EHR)

𝑚2 − 10𝑚 + 25 = 0

La ecuación característica representada

(𝑚 − 5)(𝑚 − 5) = 0

Factorizando

𝑚1 = 5

Por lo tanto

𝑚2 = 5 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥

Usando la ecuación

𝑦 = 𝑒 5𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑥

Reemplazando valores Usando la ecuación

𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶2 𝑒 5𝑥

Reemplazando, la solución general de la EHR (yh) es

𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶

Solución particular de la ecuación diferencial no homogenena (yp) Usando la ecuación de grado dos

𝑦 ′ 𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵

La primera derivada

𝑦 ′′ 𝑝 = 2𝐴

La segunda derivada

𝑦 ´´ − 10𝑦 ´ + 25𝑦 = 30𝑥 + 3 2𝐴 − 10(2𝐴𝑥 + 𝐵) + 25(𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) = 30𝑥 + 3 2𝐴 − 20𝐴𝑥 − 20𝐵 + 25𝐴𝑥 2 + 25𝐵𝑥 + 25𝐶 = 30𝑥 + 3

En la ecuación diferencial Sustituyendo Realizando productos

25𝐴𝑥 2 + (−20𝐴 + 25𝐵)𝑥 + (2𝐴 − 20𝐵 + 25𝐶) = 30𝑥 + 3

Por orden de exponente y factorizando x

25𝐴𝑥 2 + (−20𝐴 + 25𝐵)𝑥 + (2𝐴 − 20𝐵 + 25𝐶) = 30𝑥 + 3

Hallando valores independientes

25𝐴 = 0 −20𝐴 + 25𝐵 = 30 2𝐴 − 20𝐵 + 25𝐶 = 3 𝐴=0

Primer término Segundo término Tercer término Resolviendo las tres ecuaciones con los métodos de algebra Primera ecuación

−20(0) + 25𝐵 = 30 25𝐵 = 30

Segunda ecuación

𝐵=

30 6 = 25 5

6 2(0) − 20 ( ) + 25𝐶 = 3 5

Tercera ecuación

−24 + 25𝐶 = 3 25𝐶 = 3 + 24 𝐶=

27 25

𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶

En la ecuación particular

6 27 𝑦𝑝 = (0)𝑥 2 + ( ) 𝑥 + 5 25

Sustituyendo

6 27 𝑦𝑝 = 𝑥 + 5 25

Resolviendo la solución particular

𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

La solución general

6 27 𝑦 = 𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶2 𝑒 5𝑥 + 𝑥 + 5 25

Reemplazando, la solución es

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Javier Velandia Zuluaga

𝒆. 𝒚´´ − 𝒚´ + 𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥

Lo primero que haremos será reemplazar los datos por:

𝑦′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 𝑦′′ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥

𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 − 𝑟𝑒 𝑟𝑥 + 𝑒 𝑟𝑥 = 0

Reemplazamos en la función, igualamos a cero y nos queda como:

𝑒 𝑟𝑥 (𝑟 2 − 𝑟 + 1) = 0

𝑟2 − 𝑟 + 1 = 0

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

𝑥=

1 ± √1 − 4 2

𝑥=

1 ± √−3 2

𝑥=

1 ± √3𝑖 2

𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑟=

1 √3𝑖 ± 2 2

Sacamos factor común de 𝑒 𝑟𝑥 :

Ahora tenemos una multiplicación de dos valores que multiplicados y esto da cero, pero sabemos que una función exponencial Euler nunca toma el valor de cero, por ello nos queda como: Utilizaremos la formula cuadrática:

Reemplazamos los valores:

Nos queda una respuesta compleja, entonces nuestra ecuación general como:

√3𝑥 √3𝑥 1𝑥 𝑦𝑔 = (𝑐1𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝑐2𝑐𝑜𝑠( ))𝑒 2 2 2

𝑦𝑝 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(3𝑥) 𝑦′𝑝 = 3𝑎𝑐𝑜𝑠(3𝑥) − 3𝑏𝑠𝑒𝑛(3𝑥)

Ahora para hallar nuestra solución particular usamos coeficientes indeterminados de la siguiente manera:

𝑦′′𝑝 = −9𝑎𝑠𝑒𝑛(3𝑥) − 9𝑏𝑐𝑜𝑠(3𝑥)

(−9𝑎𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 3𝑏𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑎𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) + (−9𝑏𝑐𝑜𝑠(3𝑥) − 3𝑎𝑐𝑜𝑠(3𝑥) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(3𝑥)) = 2𝑠𝑖𝑛3𝑥

Agrupamos:

(−8𝑎𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 3𝑏𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) + (−8𝑏𝑐𝑜𝑠(3𝑥) − 3𝑎𝑐𝑜𝑠(3𝑥)) = 2𝑠𝑖𝑛3𝑥

(−8𝑎𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 3𝑏𝑠𝑒𝑛(3𝑥)) = 2𝑠𝑖𝑛3𝑥

Igualamos terminamos:

(−8𝑏𝑐𝑜𝑠(3𝑥) − 3𝑎𝑐𝑜𝑠(3𝑥)) = 0

(−8𝑎 + 3𝑏) = 2

Nos queda como:

(−8𝑏 − 3𝑎) = 0

𝑏=

(−8𝑎 + 3( (−

3 𝑎 −8

Tomamos:

3 )𝑎 ) = 2 −8

Reemplazamos en la primera ecuación:

73 𝑎)=2 8

(𝑎 ) = − 𝑏=(

3 −16 )( ) −8 73

𝑏=(

𝑦𝑝 =

16 73 Hallamos el valor de b:

6 ) 73

−16 6 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) 73 73

Nuestra solución particular queda como:

√3𝑥 √3𝑥 1𝑥 𝑦 = (𝑐1𝑠𝑒𝑛 ( ) + 𝑐2𝑐𝑜𝑠( ))𝑒 2 2 2 −16 6 + 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) 73 73

La solución final es igual a la solución particular más la ecuación general, de ese modo la respuesta al problema es:

EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Angelica Vanessa Mateus Peña 𝟐 𝟖 𝟒 𝒂. 𝒙𝟑 𝒚´´´ + 𝒙𝟐 𝒚´´ − 𝒚 = 𝟎 𝟕 𝟕 𝟕 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

2 3 8 4 x y ' ' ' x 2 y ' ' y  0 7 7 7

Es una ecuación homogénea

2 3 y 8 4 x (( x ))' ' ' x 2 (( x y ))' ' xy  0 7 7 7

Se simplifica

2 3 y 8 4 x (( x ))' ' ' x 2 (( x y ))' ' xy  0 7 7 7 3 2 2(r  r  2r  2 xy( )0 7 2(r 3  r 2  2r  2 xr ( )0 7

Se resuelve

x' (

2(r 3  r 2  2r  2 )0 7 r  1 r 2 r 2

Para raíces reales no repetidas la solución será la siguiente

Y  C1 X R1  C 2 x r 2  C n x rn

C1 X 1  C2 x Y

2

C1  C2 x x

 Cn x  2



Por último, se simplifica

2

C3 x

2

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Angie Alejandra Campos Perdomo 𝟏 𝟑 𝒃. 𝒙𝟑 𝒚´´´ − 𝒙𝟐 𝒚´´ + 𝟑𝒙𝒚´ − 𝟑𝒚 = 𝟎 𝟐 𝟐 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑥 3 𝑦´´´ − 3𝑥 2 y´´ + 6xy´ − 6y = 0

Multiplicamos por 2 Utilizamos la solución de tipo 𝑦 = 𝑥 𝑟 para la ecuación de Cauchy Euler con la restricción 𝑥𝑟 > 0

𝑦 = 𝑥𝑟 𝑦´ = 𝑟𝑥 𝑟−1 𝑦´´ = 𝑟(𝑟 − 1)𝑥 𝑟−2 𝑦´´´ = 𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)𝑥

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Hallamos las respectivas derivadas 𝑟−3

𝑥 3 𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)𝑥 𝑟−3 − 3𝑥 2 𝑟(𝑟 − 1)𝑥 𝑟−2 + 6x𝑟𝑥 𝑟−1 − 6𝑥 𝑟 = 0

Reemplazamos en la ecuación diferencial

𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)𝑥 𝑟 − 3𝑟(𝑟 − 1)𝑥 𝑟 + 6𝑟𝑥 𝑟 − 6𝑥 𝑟 =0

Aplicamos propiedades de potencias

[𝑟(𝑟 − 1)(𝑟 − 2) − 3𝑟(𝑟 − 1) + 6𝑟 − 6]𝑥 𝑟 = 0

Factorizamos el termino 𝑥 𝑟

(𝑟 3 − 3𝑟 2 + 2𝑟 − 3𝑟 2 + 3𝑟 + 6𝑟 − 6)𝑥 𝑟 = 0 𝑟 3 − 6𝑟 2 + 11𝑟 − 6 = 0

Aplicamos propiedad distributiva Sumamos términos semejantes

𝑥𝑟 = 0 𝑟 3 − 6𝑟 2 + 11𝑟 − 6 = 0

Esta ecuación polinomial de orden 3 la podemos resolver por medio de división sintética.

+1 −6 +11 0 +1 −5 +1 −5 +6

−6 +6 1 0

(𝑟 − 1)(𝑟 2 − 5𝑟 + 6) = 0

Factorizamos la expresión cuadrática y luego factorizamos para hallar las raices

(𝑟 − 1)(𝑟 − 3)(3 − 2) = 0 𝑟 = 1,

𝑟 = 2,

𝑟=3

𝒚 = 𝑪𝟏 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒙𝟐 + 𝑪𝟑 𝒙𝟑

Solución

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Anex Eugenia Pineda Romero

𝒄.

𝟑 𝟐 ´´ 𝟏𝟓 ´ 𝒙 𝒚 + 𝒙𝒚 + 𝟔𝒚 = 𝟎 𝟐 𝟐

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 3

𝑥 2 𝑦 ´´ + 2

15 2

𝑥𝑦 ´ + 6𝑦 = 0

𝑎𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑏𝑥𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ecuación diferencial de segundo orden de Euler, homogénea. De la forma Asumir una solución xr

3 2 𝑟 ′′ 15 ′ 𝑥 ((𝑥 ) + 𝑥((𝑥 𝑟 )) + 6𝑥 𝑟 = 0 2 2

𝑥𝑟 (

Reescribir la ecuación

3𝑟(𝑟 + 4) 𝑥𝑟 ( + 6) = 0 2

simplificar

3𝑟(𝑟 + 4) + 6) = 0 , 𝑟 = −2 2

Resolver con multiplicidad de 2

𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑟 + 𝑐2 ln(𝑥)𝑥 𝑟

𝑦=

𝑐1 𝑐2 𝐿𝑛(𝑥) + 𝑥2 𝑥2

Para una raíz real r, la solución general toma la forma: simplificado

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Jairo Aníbal Márquez Martínez

𝒅. 𝒙𝟐 𝒚´´ + 𝒙𝒚´ − 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒙

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑥 = 𝑒𝑡

Es una ecuación de segundo orden no homogénea. ECUACIÓN DE CAUCHY EULER MEDIANTE CAMBIO DE VARIABLE Transformando la ecuación en una de coeficientes constantes Utilizando la ecuación

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 𝑥 + 𝑥 − 𝑦 = ln 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

Transcribiendo la ecuación original

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑡 = ∙ = 𝑒 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥

Hallando la derivada respecto de t

2

𝑑𝑦 𝑑𝑦 =𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑥2

𝑥2 𝑥2

𝑑2𝑦 𝑑 𝑑𝑦 = ( ) 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑2𝑦 𝑑 𝑑𝑦 = ( ∙ 𝑒𝑡) 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥

𝑑2 𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑 𝑡 𝑡 = [ ( )] 𝑒 + ∙( 𝑒 ) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑥2

Con la regla de cadena

Para calcular la segunda derivada respecto de t Aplicando la regla de cadena Reescribiendo con respecto a la exponencial para derivar después Derivando con la regla del producto

𝑑2𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑡 = [ ( ) ] 𝑒𝑡 + ∙𝑒 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥

Aplicando nuevamente la regla de cadena derivando primero respecto de x y luego respecto de t

𝑑2𝑦 𝑑2 𝑦 𝑡 𝑡 𝑑𝑦 𝑡 𝑥 = [ 2 𝑒 ]𝑒 + ∙𝑒 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Reemplazamos dx/dt por et y multiplicando

2

𝑥2

𝑑2 𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 2 = 𝑥 +𝑥 2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Reemplazando et por x y multiplicando

𝑑2𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 2 𝑥 =𝑥 + 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 2

𝑑 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑2𝑦 2 − = 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2 𝑥 = 𝑒𝑡 ln 𝑥 = 𝑡

Reemplazando el segundo término respecto a t Organizando la ecuación Sustituyendo en la ecuación original respecto de t y sustituyendo lnx

(𝑦 ′′ − 𝑦 ′ ) + (𝑦 ′ ) − 𝑦 = 𝑡 𝑦 ′′ − 𝑦 = 𝑡

Operando, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden no homogénea y se puede solucionar por coeficientes indeterminados

𝑦 ′′ − 𝑦 = 0

La ecuación homogénea relacionada igualando a cero

𝑚2 − 1 = 0

La ecuación característica se representa

(𝑚 − 1)(𝑚 + 1) = 0 𝑚1 = 1

Factorizando Es decir que tenemos las raíces

𝑚2 = −1 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡

Reemplazando raíces, la solución general de la ecuación homogénea es

𝑦𝑝 = 𝐴𝑡 + 𝐵

Hallando la solución particular por el método de coeficientes indeterminados Escribiendo un polinomio general de primer grado

𝑦′𝑝 = 𝐴

Primera derivada

𝑦 ′′ 𝑝 = 0

Segunda derivada

𝑦 ′′ − 𝑦 = 𝑡

Sustituyendo en la ecuación

−(𝐴𝑡 + 𝐵) = 𝑡 𝐴 = −1

Igualando los coeficientes

𝐵=0

Igualando términos independientes

𝑦𝑝 = 𝐴𝑡 + 𝐵

Reemplazando los valores de A y B en la ecuación particular

𝑦𝑝 = −𝑡 𝑦 = −𝑡 + 𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡

𝑦 = − ln 𝑥 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2

1 𝑥

La solución general de la ecuación diferencial respecto a t Sustituyendo toda la ecuación respecto a x

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Javier Velandia Zuluaga 𝟏 𝟏𝟑 𝒆. 𝒙𝟐 𝒚´´ − 𝒙𝒚´ + 𝒚 = 𝟒 + 𝟑𝒙 𝟑 𝟑 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑡

𝑒 =𝑥

1 𝑑 2 𝑦 2 𝑥𝑑𝑦 13 𝑥 − + 𝑦 = 4 + 3𝑥 3 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3

𝑑𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑡 = = 𝑒 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑦 = ( ) = ( 𝑒𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑡 𝑑𝑦 𝑑 𝑡 = { ( }𝑒 + ( 𝑒 ) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑2 𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑡 = { ( ) ( )} 𝑒 𝑡 + 𝑒 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Este ejercicio de Cauchy Euler lo resolveremos mediante un cambio de variante y coeficientes indeterminados, primero haremos el cambio de variable:

Pondremos nuestra ecuación en términos que nos ayuden a realizar el cambio de variable:

Debemos buscar los diferenciales respecto a t, que será nuestra nueva variable de la siguiente manera:

𝑑2 𝑦 𝑑 2 𝑦 2 𝑥𝑑𝑦 = 𝑥 + 𝑑𝑡 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

Nos queda la segunda derivada como:

𝑑 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑 2 𝑦 2 − = 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑥 2 1 13 (𝑦′′ − 𝑦′) − 𝑦´ + 𝑦 = 4 + 3𝑒 𝑡 3 3

Reemplazamos los valores de la primera y segunda derivada en la ecuación:

1 1 13 𝑦′′ − 𝑦′ − 𝑦´ + 𝑦 = 4 + 3𝑒 𝑡 3 3 3 1 4 13 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑦 = 4 + 3𝑒 𝑡 3 3 3

1 (𝑦′′ − 4𝑦′ + 13𝑦) = 0 3

Hallamos nuestra ecuación general igualando a cero:

(𝑦′′ − 4𝑦′ + 13𝑦) = 0 𝑥= 𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2

Usamos la función cuadrática:

4 ± √16 − 4(1)(13) 2

𝑥=

4 ± √16 − 52 2

𝑥=

4 ± √−36 2

𝑥 = 2±

6𝑖 2

𝑥 = 2 ± 3𝑖

𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑟 = 2 ± 3𝑖

De esta forma nuestra forma general queda como:

𝑦1 = 𝑥 𝑎 𝑐1𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑙𝑛𝑥) 𝑦1 = 𝑥 2 𝑐1𝑐𝑜𝑠(3𝑙𝑛𝑥) 𝑦2 = 𝑥 𝑎 𝑐2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑙𝑛𝑥) 𝑦1 = 𝑥 2 𝑐2𝑠𝑒𝑛(3𝑙𝑛𝑥) 𝑦𝑔 = (𝑐1𝑠𝑒𝑛(3𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2𝑐𝑜𝑠(3𝑙𝑛𝑥))𝑥 2

1 4 13 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑦 = 4 + 3𝑒 𝑡 3 3 3

Hallaremos nuestra solución particular con coeficientes indeterminados:

1 ′′ (𝑦 − 4𝑦 ′ + 13𝑦) = 4 + 3𝑒 𝑡 3 (𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 13𝑦) = 12 + 9𝑒 𝑡

𝑦𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑒 𝑡

Reemplazamos nuestra función con los siguientes valores:

𝑦′𝑝 = 𝑏𝑒 𝑡 𝑦′′𝑝 = 𝑏𝑒 𝑡 (𝑏𝑒 𝑡 − 4𝑏𝑒 𝑡 + 13(𝑎 + 𝑏𝑒 𝑡 )) = 12 + 9𝑒 𝑡 (𝑏𝑒 𝑡 − 4𝑏𝑒 𝑡 + 13𝑎 + 13𝑏𝑒 𝑡 ) = 12 + 9𝑒 𝑡

Juntamos los valores iguales: (𝑏𝑒 𝑡 − 4𝑏𝑒 𝑡 + 13𝑏𝑒 𝑡 ) + 13𝑎 = 12 + 9𝑒 𝑡 (10𝑏𝑒 𝑡 ) + 13𝑎 = 12 + 9𝑒 𝑡

Nuestro sistema de ecuaciones queda como: 13𝑎 = 12 (10𝑏𝑒 𝑡 ) = 9𝑒 𝑡 𝑎=

12 13

Procesamos:

(10𝑏) = 9 (𝑏) =

𝑦𝑝 =

9 10

12 9 𝑡 + 𝑒 13 10 Así nuestra solución particular queda como:

𝑒𝑡 = 𝑥 Cambiamos nuestra variable de t a x, sabiendo que:

𝑦𝑝 =

12 9 + 𝑥 13 10 Nos queda como:

𝑦 = (𝑐1𝑠𝑒𝑛(3𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2𝑐𝑜𝑠(3𝑙𝑛𝑥))𝑥 2 + 9 + 𝑥 10

12 13

La solución del problema es la suma de la solución general con la particular, así nuestra respuesta es:

PASO 4 PRESENTACIÓN DE APORTES A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 𝑚 es 0,2 𝑟𝑎𝑑 y la velocidad angular inicial

𝑑𝜃 𝑑𝑡

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

+ 10𝜃 = 0: Si para 𝑡 = 0 , 𝜃 =

, Al determine 𝜃 en función de t para el movimiento se

tiene: a. 𝜃(𝑡) = 0,5 cos √10𝑡 + b. 𝜃(𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 + c. 𝜃(𝑡) = 0,5 cos √10𝑡 − d. 𝜃(𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 −

1 √10 1 √10 1 √10 1

sin √10𝑡 sin √10𝑡 sin √10𝑡

√10

sin √10𝑡

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

d20  100  0 dt r 2  10  0

Con solución

r

t  10i

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Se debe buscar una ecuación característica Se observa que tiene raíces imaginarias , por lo tanto se tiene la siguiente forma Se deriva para tener la velocidad y la aceleración angular

0(t )  C1 sen( 10t )  C2 cos( 10t ) Velocidad angular O' 

dO  10C1 cos( 10t )  10C 2 sen ( 10t ) dt

Aceleración angular

O' ' 

d 2O  10C1 sen( 10t )  10C 2 cos( 10t ) dt 2

Oo  O(0)  C1 sen( 100  C 2 cos( 10 0 O0  C 2 C 2  Oo

O' o  O' (0)  10 * C1 cos( 100)  10C2 sen( 100)

O' o  10C1

C1  (1 10 )O' o Se sustituye

O(t )  (1 10)O' oSen( 10t )  OoCos( 10t ) Con estos parámetros se obtiene Oo  0.2rad O' o  1rad / s C1  (

1

1 ( 10( )) s C 2  0.2rad

) *1

rad  0.31rad s

Donde el resultado será

O(t )  (0.31)sen( 10  t )  (0.2) cos( 10  t )

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación Se conecta en serie un resistor de 12 Ω, un capacitor de 0.1 F, un inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA Solución planteada:

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA Angelica Mateus

5 q(t )  2

(e t )

1  2

( e 5 t )

 2u (t )

Valores dados R=12Ω C=0.1F L=2H V=20V Se forma un ciruito RIC donde el capacitador se encuentra descargado. Aplicamos la segunda lay de Kirchhotf

E (t ) 

Ldi iRi  dt c(q) E (t )  Ld 2

dq Rdq 1   2 dt c(q) df

Se sutituye las variables R, L Y C

20  2d 2

dq 12dq   10(q ) dt dt 2

Resolvemos la ecuación diferencial 2s 2  12s  10  sq (0)  9(0)  10(0) 

20 s

Donde Q(s) se trnasforma en q(t) asumiendo que 9(0)=0 y reduciendo (2s 2  12s  10)Q( s ) 

Q( s) 

20 s

20  (2 s 2  12 s  10) s

Factorizando

(2 s 2  12 s  10)  25( x  1)( x  5) 5 1 2 (5  1)  ( s  5)  2 2 x (t ) (t ) se 1e q (t )    2u (t ) 2 2 dq i (t )  dt  5e t 5e 5t it   2 2 q( s) 

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Solución planteada: Angie Alejandra Campos Solución planteada:

Enunciado:

Enunciado: La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son 𝑚1 y 𝑚2 . Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son 𝑘1 y 𝑘2 . El movimiento horizontal del suelo es 𝑦. Para el caso en que las masas son idénticas (𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚) y las rigideces son idénticas (𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea.

La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son 𝑚1 y 𝑚2 . Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son 𝑘1 y 𝑘2 . El movimiento horizontal del suelo es 𝑦. Para el caso en que las masas son idénticas (𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚) y las rigideces son idénticas (𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea. Se tiene la siguiente situación:

Se tiene la siguiente situación: Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton: 𝑚𝑥1̈ + 2𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 𝑘𝑦 Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton: 𝑚𝑥1̈ + 2𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 𝑘𝑦 𝑚𝑥2̈ − 𝑘𝑥1 + 𝑘𝑥2 = 0 Dividiendo la ecuación entre 𝑚 y asumiendo 𝑘 𝛼 = 𝑚 el resultado es: 𝑥1̈ − 2𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 = 𝛼𝑦 𝑥2̈ + 𝛼𝑥1 − 𝛼𝑥2 = 0

(1) (2)

𝑚𝑥2̈ − 𝑘𝑥1 + 𝑘𝑥2 = 0 Dividiendo la ecuación entre 𝑚 y asumiendo 𝛼 = 𝑘 el resultado es: 𝑚

𝑥1̈ + 2𝛼𝑥1 − 𝛼𝑥2 = 𝛼𝑦 𝑥2̈ − 𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 = 0

(1) (2)

Ahora para tener una ecuación en términos sólo de 𝑥1 se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener:

Ahora para tener una ecuación en términos sólo de 𝑥1 se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener: 𝑑4 𝑥1 𝑑2 𝑥1 𝑑2 𝑥2 𝑑2𝑦 + 2𝛼 2 − 𝛼 2 = − 𝛼 2 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Ahora sustituyendo 𝑥2̈ de la ecuación (2) y 𝑥2 de la ecuación (1) se obtiene: 𝑑 4 𝑥1 𝑑2 𝑥1 𝑑2𝑦 2 2 + 3𝛼 + 𝛼 𝑥 = 𝛼 𝑦 + 𝛼 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: 𝛽 4 + 3𝛼𝛽 2 + 𝛼 2 = 0. Como no hay ningún término en 𝛽 3 ni 𝛽, esta ecuación es cuadrática en 𝛽 2 y se puede usar la fórmula cuadrática:

𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑 2 𝑥2 𝑑2𝑦 + 2𝛼 − 𝛼 = 𝛼 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Despejando 𝑥2̈ de (2) , que 𝑥2̈ = 𝛼𝑥1 − 𝛼𝑥2 Despejando 𝑥2 de (1), 𝑥1̈ + 2𝛼𝑥1 − 𝛼𝑦 𝑥2 = 𝛼 Ahora sustituyendo 𝑥2̈ de la ecuación (2) 𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 + 2𝛼 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 − 𝛼 ( 𝛼𝑥1 𝑥1̈ + 2𝛼𝑥1 − 𝛼𝑦 )) 𝛼 𝑑2𝑦 = 𝛼 2 𝑑𝑡 −𝛼(

𝛽2 =

−3𝛼 ± √9𝛼 2 − 4𝛼 2 −3 ± √5 =( )𝛼 2 2

Entonces, las raíces características son: 𝑘 𝛽 = ±0,618𝑖 √ 𝑚

y 𝑥2 de la ecuación (1) 𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 + 2𝛼 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 − 𝛼 ( 𝛼𝑥1

𝑘 𝛽 = ±1,618𝑖 √ 𝑚 Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma: 𝑥1 (𝑡) = 𝐶1 sin 0,618√

𝑚 𝑡 𝑘

𝑚 𝑡 𝑘 𝑚 + 𝐶3 sin 1,618√ 𝑡 𝑘 𝑚 + 𝐶4 cos 1,618√ 𝑡 𝑘 + 𝐶2 cos 0,618√

𝑥1̈ + 2𝛼𝑥1 − 𝛼𝑦 )) 𝛼 𝑑2𝑦 = 𝛼 2 𝑑𝑡 −𝛼(

se obtiene: 𝑑4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 + 2𝛼 − 𝛼( 𝛼𝑥1 − (𝑥1̈ + 2𝛼𝑥1 − 𝛼𝑦)) 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑2𝑦 = 𝛼 2 𝑑𝑡 𝑑 4 𝑥1 𝑑2 𝑥1 + 2𝛼 2 − 𝛼( 𝛼𝑥1 − 𝑥1̈ − 2𝛼𝑥1 + 𝛼𝑦) 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 𝑑2𝑦 =𝛼 2 𝑑𝑡

La solución contiene oscilaciones con frecuencias en radianes de 𝑘

𝑘

0,618√𝑚 y − 1,618√𝑚

𝑑 4 𝑥1 𝑑2 𝑥1 + 2𝛼 − 𝛼( −𝑥1̈ − 𝛼𝑥1 + 𝛼𝑦) 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑2𝑦 =𝛼 2 𝑑𝑡 𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2𝑦 2 + 2𝛼 2 + 𝛼𝑥1̈ + 𝛼𝑥1 − 𝛼 𝑦 = 𝛼 2 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2 𝑦 + 3𝛼 + 𝛼𝑥 = 𝛼 + 𝛼2𝑦 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑 4 𝑥1 𝑑 2 𝑥1 𝑑2 𝑦 2 2 + 3𝛼 + 𝛼 𝑥 = 𝛼 𝑦 + 𝛼 1 𝑑𝑡 4 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: 𝛽 4 + 3𝛼𝛽 2 + 𝛼 2 = 0. Como no hay ningún término en 𝛽 3 ni 𝛽, esta ecuación es cuadrática en 𝛽 2 y se puede usar la fórmula cuadrática: −3𝛼 ± √9𝛼 2 − 4𝛼 2 −3 ± √5 𝛽 = =( )𝛼 2 2 2

Entonces, las raíces características son:

𝛽 = ±0,618𝑖 √

𝑘 𝑚

𝛽 = ±1,618𝑖 √

𝑘 𝑚

Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma:

𝑘 𝑥1 (𝑡) = 𝐶1 sin 0,618√ 𝑚 + 𝐶2 cos 0,618√

𝑘 𝑡 𝑚

𝑘 + 𝐶3 sin 1,618√ 𝑡 𝑚 + 𝐶4 cos 1,618√

𝑘 𝑡 𝑚

La solución contiene oscilaciones con frecuencias en radianes de 𝑘

𝑘

0,618√𝑚 y 1,618√𝑚

PASO 8 TABLA ENLACES VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante

Ejercicios sustentados Angelica Vanessa Mateus a de Peña ecuaciones homogéneas Angie Alejandra Campos Perdomo Anex Eugenia Pineda Romero Jairo Aníbal Márquez Martínez Javier Velandia Zuluaga

Enlace video explicativo

https://youtu.be/A6Z5YEhVS4I

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS