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UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR.

2.1 TEORIA PRELIMINAR. Vamos a estudiar algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden mayor a 1, esto es, ecuaciones del tipo F [x; y(x); y0 (x); y00(x); y(n) (x)] = 0.

2.1.1 DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “N”. En esta sección presentaremos un método general para resolver ED lineales de orden n cuya forma es:

( )

+…+ (x)y`+

(x)y = g(x).

Estas ecuaciones se caracterizan por las dos propiedades siguientes: 1: La variable dependiente y así como sus derivadas tiene exponente igual a 1, o bien 0, exclusivamente. 2: Los coeficientes (x),…., (x), (x) y la función g(x) son funciones que sólo dependen de x, o son constantes. Es decir, no dependen de la variable dependiente y. Cabe mencionar que no existen métodos, ni generales ni sencillos que permitan resolver ecuaciones diferenciales no lineales de orden n.

2.1.2 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL. Un problema de valor inicial de la ecuación diferencial de n-enésimo orden:

dny  f ( x, y, y`........, y ( n 1) ) , consiste en encontrar una solución de n dx dicha ecuación diferencial en un intervalo I, que satisfaga en el punto

x0

de I,

las n condiciones siguientes:

y ( x0 )  y 0 y`( x0 )  y1 y``( x0 )  y 2 .

y ( n 1) ( x0 )  y n 1 .

2.1.3 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCION UNICA. Para una gran clase de problemas de valor inicial, la existencia y unicidad de una solución puede ser demostrado. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única en el intervalo que contiene algunos t o si ƒ y sus derivadas parciales ∂ƒ/∂y son continuas en una región. Una prueba de la edad de PicardLindelöf el teorema construye una secuencia de funciones que convergen a la solución integral de la ecuación, y por lo tanto. La solución del problema de valor inicial. Dicha construcción a veces se denomina “el método de Picard” o “el método de aproximaciones sucesivas”. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de existencia de solución única para el problema representado por las ecuaciones.

Teorema de existencia de una solución única: Sean (x), (x),… (x), (x) y g(x) continúas en un intervalo I, y sean para toda x en este intervalo. Si x = x0 es cualquier punto en este intervalo, entonces una solución y(x) del problema del valor inicial existe en el intervalo y es única.

2.1.4 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS. Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se pueden clasificar en homogéneas (igual a cero) y no homogéneas (igual a una función de x). La solución de la ecuación diferencial homogénea depende del grado de la derivada, es decir si en nuestra ecuación diferencial el mayor grado de la derivada es dos, la solución de la ecuación homogénea asociada tendrá dos resultados Y1 y Y2 y su solución estará representada como YH=C1Y1+C2Y2, siempre y cuando Y1 y Y2 sean linealmente independientes, es decir que sean diferentes.

2.1.4.1 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION. El principio de superposición o teorema de superposición es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en dos o más subproblemas más sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como "superposición" o "suma" de estos subproblemas más sencillos. Técnicamente, el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico son lineales, entonces el resultado de una medida o la solución de un problema práctico relacionado con una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando están presentes los conjuntos de factores causantes A y B, puede obtenerse como la suma de los efectos de A más los efectos de B. Si en una región del espacio existe más de un cuerpo cargado, al colocar en dicha región una nueva carga de prueba , la intensidad de la fuerza electrostática a la que esta carga se verá sometida será igual a la suma de la intensidad de las fuerzas que ejercerían de forma independiente sobre ella cada una de las cargas existentes.

Expresado

de

forma

matemática

para

un

sistema

de

n

cargas:

La existencia de este principio de superposición indica que la fuerza de interacción entre cargas puntuales no varía por la presencia de otras cargas y que la fuerza resultante es igual a la suma de las fuerzas individuales que sobre esta carga ejercen las demás.

2.1.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. WRONSKIANO. f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x) es linealmente dependiente en un Un conjunto de funciones intervalo I si existen constantes c1 , c2 ,..., c no todas cero, tales que: n

c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x)  ...  cn f n ( x)  0 Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si las únicas constantes para las que:

c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x)  ...  cn f n ( x)  0 Para toda x en el intervalo son:

c1  c2  ...  cn  0

De otro modo, un conjunto de dos funciones f1(x) y f2(x) es linealmente independiente cuando ninguna función es un múltiplo constante de la otra en el intervalo. Se tiene interés en este subtema sobre todo en funciones linealmente independientes o, con más precisión, soluciones linealmente independientes de una ED lineal. Aún cuando podríamos utilizar en forma directa la definición anterior para encontrar la solución, resulta más fácil comprobar si el conjunto de n soluciones y1, y2, yn de una ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden es linealmente independiente, mediante el establecimiento en forma mecánica de un determinante llamado Wronskiano.

DEFINICIÓN: DE WRONSKIANO: Suponga que cada una de las funciones

f1 ( x). f 2 ( x),..., f n ( x)

Posee al menos n -1 derivadas. El determinante:

W ( f1 , f 2 ,..., f n )  fn

f1 f1

f2 f 2

.

.

( n 1)

fn

( n 1)

.

fn f n

. . .

. fn

( n 1)

Donde las primas denotan derivadas, se llama el Wronskiano de las funciones.

2.1.6 SOLUCION GENERAL DE LAS ECUACIONES HOMOGENEAS.

Así como cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar en forma de una combinación lineal de los vectores i, j, k, linealmente independientes, toda solución de una ecuación diferencial lineal homogénea y de orden n, en un intervalo I, se puede expresar como una combinación lineal de n soluciones linealmente independientes en R. En otras palabras, n soluciones linealmente independientes (YI, ,.. ) son las unidades constructivas básicas de la solución general de la ecuación.

Definición (conjunto fundamental de sol.) Cualquier conjunto ,.. De n vectores solución l. i. de una EDL homogénea en un intervalo I forman un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

Teorema Sean y1 = y1(t) y y2 = y2(t) dos soluciones de la EDL homogénea entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes: 1.- y1(t) y y2(t) forman un conjunto fundamental de soluciones. 2.- W (t) = W(y1, y2) (t) ¹ 0 para todo t J. 3.- W(t0) ¹ 0 para algún t0

J.

Teorema Sean y1,…Yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I. La solución general de la ecuación en el intervalo es y = c1 y1(x) + c1 y2(x) + ... +

. (x)

Donde ci, i = 1, 2, ..., n son constantes arbitrarias.

2.1.6.1 REDUCCION DE ORDEN DE UNA EDL. DE ORDEN 2 A UNA DE PRIMER ORDEN, CONSTRUCCION DE UNA SEGUNDA SOLUCION APARTIR DE UNA YA CONOCIDA. Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución, y2, de a ( x) y  a ( x) y  a ( x) y  0 2

1

0

en un intervalo I a partir de una solución y1 no trivial. Buscamos una segunda solución, y2(x), de la ecuación (1) tal que y1 y y2 sean linealmente independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son linealmente independientes, su relación y2/y1 es no constante en I esto es, y2/y1= u(x) o y2 = u(x)y1(x). La idea es determinar la función u(x) sustituyendo y2(x) = u(x)y1(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación lineal de primer orden para hallar u. Fórmula para hallar la segunda solución y2 a partir de una conocida y1:

e  y2  y1 ( x)  2 dx, considerando c1  1 y c2  0 y1 ( x)  p ( x ) dx

2.2 EC. CARACTERISTICA PARA EDL. DE SEGUNDO ORDEN (RAICES REALES E IGUALES, RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS).

LA ECUACIÓN AUXILIAR: RAÍCES REALES Y DIFERENTES. Si la ecuación auxiliar:

Con solución:

Donde:

am2  bm  c  0

b  b2  4ac b  b2  4ac m1  and m2  2a 2a

m1 , m2  R, y m1  m2

Entonces la solución a:

d2y dy a 2  b  cy  0 es dx dx

y  Ae m1x  Be m2 x

LA ECUACIÓN AUXILIAR: RAICES REALES E IGUALES. Si la ecuación auxiliar:

Con solución:

Donde:

am2  bm  c  0

b  b2  4ac b  b2  4ac m1  and m2  2a 2a m1 , m2  R, y m1  m2

Entonces la solución a:

d2y dy a 2  b  cy  0 es dx dx

y  ( A  Bx)e m1x

LA ECUACIÓN AUXILIAR: RAICES COMPLEJAS. Si la ecuación auxiliar:

Con solución:

Donde:

am2  bm  c  0

b  b2  4ac b  b2  4ac m1  and m2  2a 2a

m1 , m2 Î C

Entonces las soluciones a la ecuación auxiliar son complejas conjugadas, y por tanto:

m1    j  y m2    j 

Y la solución a la ecuación diferencial es de la forma:

y  Ae(  j ) x  Be(  j ) x  e x  Ae j x  Be j x  Como:

Entonces:

e j x  cos  x  j sin  x and e j  x  cos  x  j sin  x

Ae j x  Be j x  ( A  B)cos  x  j ( A  B)sin  x  C cos  x  D sin  x

Y la solución a una ecuación diferencial con raíces complejas está dada por:

y  e x  C cos  x  D sin  x 

2.3 SOLUCION DE LAS ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS.

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Consideramos ahora el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal no homogénea de orden n )

+ (x)

+….+

(x)y‟ +

(x)y = f(x)

y llamaremos ecuación homogénea asociada a la ecuación no homogénea dada la que resulta de sustituir f(x) por cero; esto es: )

+ (x)

+….+

(x)y‟ +

(x)y = 0

Se verá que para resolver una ecuación no homogénea se procederá a calcular la solución general de su ecuación homogénea. Teorema: Supongamos que las funciones (x), (x),…., (x),f(x) son continuas en un intervalo abierto I. Si Zp(x) es una solución particular de la ecuación no homogénea e Yg(x) es la solución general de la ecuación homogénea asociada, entonces todas las soluciones y(x) de la ecuación no homogénea se pueden expresar en la forma y(x) = (x) + (x) y esta expresión constituye la solución general de la ecuación no homogénea.

2.3.1 METODO POR COEFICIENTES DETERMINADOS. Este método puede ser utilizado solo para la resolución de ecuaciones homogéneas o sea que esta igualadas a “0” los resultados de esta ecuación son de 3 tipos distintos: Si las λ´s son diferentes Y=C1eλx+C2eλx+C3eλx+Cneλx

tendrá

una

forma

parecida

a

esta:

Si el caso fuese que todas las λ´s fuesen iguales entonces adoptaría la siguiente forma: Y=C1eλx+C2xeλx+C3x2eλx+Cnx3eλx La tercera forma llegaría siendo que hubiese valores imaginarios en el resultado en ese caso se vería de esta forma: X=α+βi Y=eαx [C1cos(βx)+C2sen(βx)].

2.3.2 METODO DE VARIACION DE PARAMETROS. El método de variación de parámetros se remonta a los Principios de Newton; después de estudiar el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra. El método fue usado por Jean Bernouilli en 1697 y por Euler en 1739 al tratar la ecuación y = f(t). Laplace escribió muchos artículos sobre este método, el cual fue desarrollado de forma completa por Lagrange en 1775. La forma usada aquí difiere de la de Lagrange, entre otras cosas, pues las matrices fueron desarrolladas a mediados del siglo XIX. El objetivo del método de variación de parámetros es encontrar una función y = y(t) que cumpla la ecuación diferencial „y (n) + an−1(t)y (n−1) + · · · + a1(t)y 0 + a0(t)y = f(t), (1) Donde f(t), a0(t), ..., an−1(t) son funciones continuas en un intervalo de IR. En otras palabras, se trata de encontrar una solución particular de la ecuación diferencial (1), que es una ecuación diferencial lineal de orden ´ n, no homogénea. Obsérvese que no se supone que a0, . . . , an−1 sean constantes. Ante todo hay que decir que cuando se puede usar el método de los coeficientes indeterminados para hallar una solución particular de (1) se debe usar este método, siendo el método de variación de parámetros la opción más costosa con diferencia. El método de variación de parámetros requiere en primer lugar resolver la ecuación homogénea asociada a (1); es decir y(n) + an−1y(n−1) + · · · + a1y0 + a0y = 0. (2) Sea yh(t) = C1y1(t) + · · · + Cnyn(t) (3) la solución de (2), siendo: C1, . . . , Cn constantes reales. Una forma matricial de escribir (3) es yh(t) = (y1(t)· · · yn(t)) C1· · ·Cn. (4).

2.4 APLICACIONES. Un circuito RCL tiene R= 180 ohmios, C=1/280 faradios, L=20 henrios, y un voltaje aplicado de E(t)=10 sen t. Suponiendo que no hay carga inicial en el condensador sino una corriente inicial de 1 amperio para t=0 cuando se aplica por primera vez el voltaje, halle la carga resultante en el condensador. Sustituyendo las cantidades en (3) del problema obtenemos: ̈ + 9 ̇ + 14q = sen t Esta ec. Es idéntica en su forma a (1) del problema; entonces la solución debe ser idéntica en su forma a la solución de aquella ecuación. Entonces q=

cos t

Aplicando las soluciones iníciales q(0) = 0 y q‟(0) = 1, obtenemos = -101/500

Entonces, q=

(110

- 101

+13 sen t – 9 cos t)

Como en el problema, la solución es la suma de los términos, en condiciones transitorias estables. Se suspende un peso de 128 Lb de un resorte que tiene una constante de 64 Lb/pie. El peso se pone en movimiento sin velocidad inicial desplazándolo 6 pulg. Sobre la posición de equilibrio y aplicando simultáneamente al peso una fuerza externa de F (t) = 8 sen 4t. Suponiendo que no hay resistencia del aire, halle el movimiento resultante del peso. Aquí m=4, k=64, a=0 y F(t) = 8 sen t; por lo tanto (1) del problema se convierte en ̈ + 16 x = 2 sen 4t.

Este problema es, por lo tanto, un ejemplo del movimiento forzado no amortiguado. La solución de la ec. Homogénea asociada es: =

cos 4t +

sen 4t

Se encuentra una solución particular por el método de los coeficientes indeterminados (es necesaria la modificación descrita en la sección: = - t cos 4t. La solución de (1) es entonces: X=

cos 4t +

sen 4t - t cos 4t.

Aplicando las condiciones iníciales x(0) = X = - cos 4t +

̇ (0) = 0, obtenemos

sen 4t - t cos 4

Nótese que IxI cuando t . Este fenómeno se llama resonancia pura. Se debe a que la función de Fuerza F(t) tiene la misma frecuencia circular que la del sistema asociado libre no amortiguado.