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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE Presentado a: ADRIANA GRANADOS COMBA Tutor(a)

Entregado por: Ángela María García Jaramillo Código: 1088022557 Víctor Joan Pulido Canacué Código: 1.121.934.548

Mónica Andrea García Código: 1053809491 Andrés Mauricio Quintero Trujillo Código:

Grupo:85

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA BOGOTÁ D.C. 2019

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo abordaremos el tema de método de series de potencias para ecuaciones diferenciales y solución de ecuaciones diferenciales con transformada de Laplace, en la cual se dan ciertos ejercicios desarrollados cada uno con su explicación, después se el paso 4 y 5 el cual es una situación problema donde se tendrá que resolver y reconocer las características planteadas en los problemas. Por último, se verán unos enlaces donde se explicará uno de los ejercicios de la actividad.

OBJETIVOS

• interpretar problemas teóricos y prácticos de la ingeniería a través de las ecuaciones diferenciales por el método de series de potencia y transformada de laplace

• Revisión de los contenidos de la Unidad 3 sobre ecuaciones diferenciales.

PASO 2

ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante Víctor Joan Pulido Canacué

Rol a desarrollar Alertas

Ángela María García Jaramillo

Entregas

Mónica Andrea García LópezAndrés Mauricio Quintero Trujillo

Evaluador Revisor

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios Ejemplo: Desarrollo el ejercicio a en todos los 3 Tipo de ejercicios.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3. TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

𝑦 ,, + 𝑝(𝑥 )𝑦 , + 𝑞(𝑥 )𝑦 = 0

se representa primero 𝑝(𝑥 )y 𝑞(𝑥 ) por series de potencias en potencias de 𝑥 (o de (𝑥 − 𝑥0 ) si se desea obtener soluciones de potencias de 𝑥 − 𝑥0 ). En muchas ocasiones 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥 ) son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos. ∞

y = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯ 𝑚=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

∞

y , = ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 𝑚−1 = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

∞ ,,

y = ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2 = 2𝑎2 + 3 ∗ 2𝑎3 𝑥 + 4 ∗ 3𝑎4 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de 𝑥 y la suma de los coeficientes de cada potencia de 𝑥 que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a 𝑥, los términos que incluyen a 𝑥 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en 𝑦.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Victor Jhoan Pulido Canacué a. 𝑦 , − 𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Tipo de ecuación diferencial a evaluar (dado) ,

𝑦 −𝑦=0 ∞

Solucionamos usando serie de potencia.

𝑦 = ∑ 𝑎𝑛 𝑥

𝑛

𝑛=0 ∞

Aplicamos primera derivada

′

𝑦 = ∑ 𝑛. 𝑎𝑛 𝑥

𝑛−1

𝑛=1 ∞

∞

∑ 𝑛. 𝑎𝑛 𝑥 𝑛=1

𝑛−1

Reemplazamos en la ecuación diferencial:

− ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 0 𝑛=0

∞

∞

∑ (𝑘 + 1). 𝑎𝑘+1 𝑥 𝑘 − ∑ 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 = 0 𝑘=0

Para el primer término hacemos k=n-1, n=k para el segundo término:

𝑘=0 ∞

∑[(𝑘 + 1). 𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 ]𝑥 𝑘 = 0 𝑘=0

Aplicamos propiedades Factorizamos.

de

las

series

y

(𝑘 + 1). 𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 = 0

𝒂𝑘+1 =

A partir de la identidad se concluye que todos los sumandos deben ser iguales a cero

𝑎𝑘 (𝑘 + 1)

Resolvemos para hallar la ecuación de recurrencia

𝑎0 𝑎1 𝑎0 ; 𝑎2 = = ; 1 2 2! 𝑎2 𝑎 0 𝑎3 𝑎0 𝑎0 𝑎3 = = ; 𝑎4 = = ; 𝑎5 = … 3 3! 4 4! 5!

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3 … 𝑎1 =

𝑎0 2 𝑎0 3 𝑎0 4 𝑎1 5 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 2! 3! 4! 5! 𝑎0 6 + 𝑥 +⋯ 6!

𝑦 = 𝑎0 + 𝑎0 𝑥 +

𝑦 = 𝑎0 (1 + 𝑥 +

1 2 1 3 𝑥 + 𝑥 + ⋯) 2! 3!

𝑦 = 𝑎0 [𝑥 0 + 𝑥 1 +

1 2 1 3 𝑥 + 𝑥 + ⋯] 2! 3!

Hallamos los coeficientes a partir de la ecuación de recurrencia

Solución general de la ecuación diferencial

Factorizando Definición de ex como series de potencia

𝒚 = 𝒂𝟎 𝒆𝒙

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Ángela María García Jaramillo b. 𝑦 , = 2𝑥𝑦

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA 𝒚 = 𝒄𝟎 + 𝒄𝟏 𝒙 + 𝒄𝟐 𝒙𝟐 + 𝒄𝟑 𝒙𝟑 + 𝒄𝟒 𝒙𝟒 + ⋯ 𝑦´ = 𝒄𝟏 + 𝟐𝒄𝟐 𝒙 + 𝟑𝒄𝟑 𝒙𝟐 + 𝟒𝒄𝟒 𝒙𝟑 + 𝟓𝒄𝟓 𝒙𝟒 + ⋯ ∞

y = ∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛=0

∞ 𝑛−1

= 2𝑥 ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

La solución de la ED se puede expresar como una serie de potencias. Se deriva Se sustituye los polinomios en la ED y luego se iguala a los coeficientes de los polinomios. La ecuación se resuelve mediante y = ∑∞𝑛=0 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛−1

∞

∞

∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥

𝑛−1

Se procede a realizar la multiplicación.

= ∑ 2𝑐𝑛 𝑥 𝑛+1

𝑛=0

Se pasan todas las sumatorias del mismo lado de la ecuación pasándolo con signo negativo.

𝑛=0

∞

∞

∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥

𝑛−1

− ∑ 2𝑐𝑛 𝑥 𝑛+1 = 0

𝑛=0

Se iguala a 0.

𝑛=0

Se deben igualar los exponentes para esto se utiliza una propiedad de las sumatorias. ∞

∞

∑ 𝑓(𝑐 ) = ∑ 𝑓(𝑛 + 𝑘) ∞

0𝑐0 𝑥

0−1

+ 1𝑐1 𝑥

1−1

∞

+ ∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥

𝑛−1

− ∑ 2𝑐𝑛 𝑥

𝑛=2

𝑛=𝑘 𝑛+1

=0

𝑛=0

Se sustituye el valor de n=0

𝑛=0

∞

∞

𝑐1 + ∑ (𝑛 + 2)𝑛𝑐𝑛 + 2𝑥 𝑛+1 − ∑ 2𝑐𝑛 𝑥 𝑛+1 = 0 𝑛=0

Se simplifica

𝑛=0 ∞

𝑐1 + ∑ [(𝑛 + 2)𝑐𝑛 + 2−2𝑐𝑛 ]𝑥 𝑛+1 = 0 𝑛=0

Se verifica que ambas sumas empiecen en el mismo entero y que terminen igual ∑∞𝑛=0 − ∑∞𝑛=0 Suma de potencias todos iguales a 0

𝑐1 = 0 (𝑛 + 2)𝑐𝑛 − 2𝑐𝑛 = 0 2𝑐𝑛 𝑐𝑛 + 2 = 𝑛+2

𝑛 = 0, 𝑐2 =

2𝑐0 2

𝑛 = 1, 𝑐3 = 𝑛 = 2, 𝑐4 =

2𝑐1 = 𝑐3 = 0 3

2𝑐2 1 1 = 𝑐4 = 𝑐2 = 𝑐0 4 2 2

𝑛 = 3, 𝑐5 = 2 𝑛 = 4, 𝑐6 = 𝑐4 6

𝑐2 = 𝑐0

2𝑐3 𝑐5 = 0 5

𝑐6 =

1 1 1 ( 𝑐0 ) = 𝑐 3 2 2∗3 0

Se iguala el coeficiente de cada potencia de x a 0. Se despeja el coeficiente que tenga el índice más alto en este caso: n+2

Se sustituye n con números enteros para obtener el valor de cada coeficiente Los coeficientes que tienen impar siempre están valiendo 0 Si n es impar cn = 0. Se pone de esta forma: 𝑐2 𝑘 + 1 = 0

Si n es par 𝑐𝑛 =

1 𝑛 2

2.3…

. 𝑐0

𝑛 = 6, 𝑐8 =

1 𝑐 2.3.4 0

1

Se suele poner de esta forma: 𝑐2 𝑘 = 𝑘!

𝑦 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + 𝑐4 𝑥 4 + ⋯

Se sustituye

1 1 1 𝑦 = 𝑐0 + 𝑐0𝑥 2 + 𝑐0 𝑥 4 + 𝑐0 𝑥 6 + 𝑐0 𝑥 8 + ⋯ 2 3! 4!

Se ponen los valores de los coeficientes

1 1 1 𝑦 = 𝑐0 𝑥 2(0) + 𝑐0 𝑥 2(1) + 𝑐0 𝑥 2(2) + 𝑐0 𝑥 2(3) + 𝑐0 𝑥 2(4) + ⋯ 2 3! 4! ∞

y=∑ 𝑘=0

Se expresa como sumatoria

1 𝑐 𝑥 2𝑘 𝑘! 0

∞

Se expresa la sumatoria como una función elemental.

(𝑥 2 )𝑘 y = 𝑐0 ∑ 𝑐 𝑥 2𝑘 𝑘! 0 𝑘=0

𝒚 = 𝒄𝒆 𝒙𝟐

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: d. 𝑦 ,, − 9𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

∞

Como la ecuación diferencial, se debe desarrollar mediante ayuda de series de potencias, se debe presumir que la solución es del tipo

𝑦 = ∑ 𝑐𝑛 𝑥

𝑛

𝑛=0 ∞

𝑦′ = ∑ 𝑐𝑛 (𝑛)𝑥 𝑛−1 𝑛=1 ∞

𝑦′′ = ∑ 𝑐𝑛 (𝑛)(𝑛 − 1)𝑥 𝑛−2 𝑛=2

Derivando dos veces la anterior solución, queda

∞

∞

∑ 𝑐𝑛 (𝑛)(𝑛 − 1)𝑥

𝑛−2

𝑛

− 9 ∑ 𝑐𝑛 𝑥 = 0

𝑛=2

Sustituyendo en la ecuación diferencial la segunda derivada y la función normal

𝑛=0

∞

∞

∑ 𝑐𝑛+2 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑥 𝑛 − 9 ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 0 𝑛=0

𝑛=0

∞

∑ [𝑐𝑛+2 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1) − 9𝑐𝑛 ]𝑥 𝑛 = 0

Para poder continuar con el ejercicio se requieren dos condiciones, primero que el exponente de las x sea iguales, segundo que ambas sumatorias inicien en el mismo valor, para esto se aplica una propiedad de las sumatorias En un siguiente paso se factoriza tanto la sumatoria como el factor

𝑛=0

𝑥𝑛 𝑐𝑛+2 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1) − 9𝑐𝑛 = 0

Tomando la consideración de que 𝑥𝑛 ≠ 0

𝑐𝑛+2 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1) = 9𝑐𝑛 𝑐𝑛+2 =

9𝑐𝑛 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

𝑛=0

9 𝑐2 = 𝑐0 2

𝑛=1

9 𝑐3 = 𝑐1 6

𝑛=2

𝑐4 =

9 81 𝑐2 = 𝑐 12 24 0

𝑛=3

𝑐5 =

9 81 𝑐3 = 𝑐 20 120 1

∞

𝑦 = ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3

Despejando la ecuación para obtener la ecuación de recurrencia.

Asignándole a n los valores desde 0 hasta 3

Sustituyendo en la solución los valores encontrados de

𝑛=0

𝑐𝑛

+ 𝑐4 𝑥 4 + 𝑐5 𝑥 5 9 9 81 𝑦 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐0 𝑥 2 + 𝑐1 𝑥 3 + 𝑐0 𝑥 4 2 6 24 81 + 𝑐 𝑥5 120 1

𝑦 = 𝐶𝑎 𝑒 3𝑥 + 𝐶𝑏 𝑒 −3𝑥

Y factorizando

Solución de la ecuación diferencial

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Andrés Mauricio Quintero Trujillo e. 𝑦 , = 3𝑥 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑦 , = 3𝑥 2

Ecuación diferencial de primer orden para solucionar con el método de series de potencia

𝑦 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + 𝑐4 𝑥 4 + ⋯

Se propone una solución general de la ecuación diferencial de primer orden

∞

∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛

Se escribe en su forma más compacta, serie de Taylor al redero de cero

𝑛=0

𝑦 ′ = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 + 3𝑐3 𝑥 2 + 4𝑐4 𝑥 3 + 5𝑐5 𝑥 4 + ⋯

∞

∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛−1

Para poder sustituir en la ecuación diferencia de primer orden se debe de calcula lar primera derivada de la solución general Se escribe en su forma más compacta

𝑛=0

𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 + 3𝑐3 𝑥 2 + 4𝑐4 𝑥 3 + 5𝑐5 𝑥 4 + ⋯ = 3𝑥 2 𝑐1 = 0 2𝑐2 = 0

Se sustituye en la ecuación diferencia Se comparan los coeficientes de las mismas potencias de X

3𝑐3 = 3 ⟶ 𝑐3 = 1 4𝑐4 = 0 5𝑐5 = 0 𝑦 = 0 + (0)𝑥 + (0)𝑥 2 + (1)𝑥 3 + (0)𝑥 4 + ⋯ 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑐1

Se sustituye en la solución propuesta Se llega a la solución general de la ecuación diferencial de primer orden

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa 𝑚 sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

𝑑2 𝑥

𝑑2 𝑞

dx

dq

m 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡) L 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑞 = 𝐸(𝑡)

Es una función que representa una fuerza externa 𝑓(𝑡) o un voltaje 𝐸 (𝑡) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones 𝑓(𝑡) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo

La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función 𝑦(𝑡) está definida para 𝑡 ≥ 0 y la integral impropia converge para 𝑠 > 𝑠0 . Entonces la transformada de Laplace 𝑦(𝑡) existe 𝑠 > 𝑠0 y está dada por: ∞

ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡 0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Victor Jhoan Pulido Canacué

a. ℒ {1}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

∞

ℒ {1} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓 (𝑡) = 1

Partimos del concepto de transformada

0 ∞

ℒ {1} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

reemplazamos

0 ∞ 1 ℒ{1} = [− 𝑒 −𝑠𝑡 ] 𝑠 0

integramos

1 1 ∞ ℒ{1} = − [ 𝑠𝑡 ] 𝑠 𝑒 0 1 ℒ{1} = − (0 − 1) 𝑠 𝓛{𝟏} =

𝟏 𝒔

reemplazamos los límites de integración resolviendo y solución de la transformada

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Ángela María García Jaramillo

b. ℒ {𝑡}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ∞

ℒ{𝑡} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑡 0

1 𝑣 − 𝑒 −𝑠𝑡 𝑠

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Se hace una integración por partes Regla de productos integrales ∫ 𝑢𝑣´ = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢´𝑣

𝑢=1 ∞ 1 1 ℒ {𝑡} = (𝑡 (− 𝑒 −𝑠𝑡 ))0 ∞ − ∫ 1 − 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑠 𝑠 0

𝑡 −𝑠𝑡 ∞ 1 ∞ −𝑠𝑡 −(− 𝑒 )0 + ∫ 𝑒 𝑑𝑡 𝑠 𝑠 0

La transformada de laplace de t ∞

La transformada de Laplace de 1: ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

lim (

−𝐴 −𝑠𝐴 0 1 𝑒 ) + ( 𝑒 −𝑠0 ) + ℒ {1} 𝑠 𝑠 𝑠

ℒ{𝑡} =

1 1 (ℒ{1}) ℒ{1} = 𝑠>0 𝑠 𝑠 ℒ {𝑡} =

1 𝑠2

𝑠>0

Se evalúa la expresión. Los términos se eliminan porque termina en 0.

Por último se da la respuesta.

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d. ℒ {1𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑡}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒕)

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Función por encontrar la transformada

∞

ℒ {𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

Definición de la transformada de Laplace,

0

ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠)

Al resolver la integral, el resultado obtenido es igual a la transformada de Laplace de la función.

𝑤

ℒ{𝑓(𝑡)} = lim ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑤→∞ 0

𝑤

𝑤

𝑤

lim ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = lim 𝑢𝑣⌉ − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

𝑤→∞ 0

𝑤→∞

0

0

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) → 𝑑𝑢 = 𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒

−𝑠𝑡

𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 → 𝑣 = −𝑠

Integral impropia, para resolver la integral debido a que los límites contienen un infinito. Para resolver la integral, se debe aplicar el proceso de integral por partes.

𝑤

lim ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

𝑤→∞ 0

𝑤

𝑒 −𝑠𝑡 ⌉ = lim 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 𝑤→∞ −𝑠 0 𝑤

𝑒 −𝑠𝑡 −∫ 𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)𝑑𝑡 0 −𝑠 𝑤

lim ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

𝑤→∞ 0

= lim 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑤) 𝑤→∞

− 𝑠𝑒𝑛(0) 𝑤

−∫ 0 𝑤

𝑒 −𝑠(0) −𝑠

𝑒 −𝑠𝑡 𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)𝑑𝑡 −𝑠 𝑤

lim ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫

𝑤→∞ 0

𝑒 −𝑠𝑤 −𝑠

0

𝑒 −𝑠𝑡 𝑘𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)𝑑𝑡 𝑠

𝑘 𝑤 −𝑠𝑡 ∫ 𝑒 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)𝑑𝑡 𝑤→∞ 𝑠 0 lim

𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) → 𝑑𝑢 = −𝑘𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒

−𝑠𝑡

𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 → 𝑣 = −𝑠

𝑘 𝑤 −𝑠𝑡 lim ∫ 𝑒 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)𝑑𝑡 𝑤→∞ 𝑠 0 𝑤 𝑘𝑒 −𝑠𝑡 = lim − 2 cos(𝑘𝑡)⌉ 𝑤→∞ 𝑠 0 −

𝑘2 𝑤 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑠2 0

𝑘 𝑤 −𝑠𝑡 ∫ 𝑒 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)𝑑𝑡 𝑤→∞ 𝑠 0 𝑘 𝑘2 𝑤 = 2 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑠 𝑠 0 lim

∞

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 0

−𝑠𝑡

𝑘 𝑘2 ∞ 𝑑𝑡 = 2 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑠 𝑠 0

Para esta nueva integral nuevamente se realice por partes.

∞

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒

−𝑠𝑡

0

𝑘2 𝑘 𝑑𝑡 [1 + 2 ] = 2 𝑠 𝑠

∞ 𝑘2 + 𝑠2 𝑘 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 [ ]= 2 2 𝑠 𝑠 0 ∞

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 0

𝑠2

𝑘 + 𝑘2

𝑠2

𝑘 + 𝑘2

∞

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 0

Solución de la transformada de Laplace para la función 𝑓 (𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Andrés Mauricio Quintero Trujillo e. 𝐿{1 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡 }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝐿{1 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡 } ∞

𝐿{𝑓(𝑡) } = ∫ 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Función para calcular la transformada de Laplace Definición de la transformada de Laplace

0 ∞

𝐿{1 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡 } = ∫ cos 𝑘𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 0 ∞

∫ 𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥 = 0

+

𝑎2

𝑎2

𝑎 𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 + 𝑏2

Se sustituye en la formula y queda la siguiente expresión

∫ cos 𝑘𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 −𝑠 𝑒 −𝑠𝑡 cos 𝑘𝑡 + 𝑘2 𝑘 ∞ + 2 𝑒 −𝑠𝑡 sen 𝑘𝑡) 2 0 𝑠 +𝑘 =(

Se calcula la integral, la cual puede ser por partes o con la fórmula

𝑏 𝑒 𝑎𝑥 sen 𝑏𝑥 + 𝑏2

∞ 0

Sustituimos la función en la definición de la transformada de Laplace

𝑠2

= lim (

𝑡⟶∞ 𝑠 2

=

𝑠2

−𝑠 𝑘 Se evalúan los límites de la integración, teniendo en 𝑒 −𝑠𝑡 cos 𝑘𝑡 + 2 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑘𝑡) 2 2 cuenta el límite que tiende a infinito +𝑘 𝑠 +𝑘 −𝑠 −( 2 𝑒 −𝑠(0) cos 𝑘(0) 𝑠 + 𝑘2 𝑘 + 2 𝑒 −𝑠(0) sin 𝑘(0)) 𝑠 + 𝑘2

−𝑠 lim 𝑒 −𝑠𝑡 cos 𝑘𝑡 + 𝑘 2 𝑡⟶∞ 𝑘 + 2 lim 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑘𝑡 𝑠 + 𝑘 2 𝑡⟶∞ 𝑠 + 2 𝑠 + 𝑘2 ∞

∫ cos 𝑘𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 0

𝑠2

𝑠 + 𝑘2

Se simplifica la expresión y se reducen los términos que se pueden eliminar

Se evalúan los limites

1 ≤ sin 𝑘𝑡 ≤ 1

Se determinando que el limite tiende a cero y se simplifica la expresio

−𝑒 −𝑠𝑡 ≤ 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑘𝑡 ≤ 𝑒 −𝑠𝑡 lim 𝑒 −𝑠𝑡 ≤ lim 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑘𝑡 ≤ lim 𝑒 −𝑠𝑡

𝑡⟶∞

𝑡⟶∞

𝑡⟶∞

0 ≤ lim 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑘𝑡 ≤ 0 𝑡⟶∞

1 ≤ cos 𝑘𝑡 ≤ 1 −𝑒 −𝑠𝑡 ≤ 𝑒 −𝑠𝑡 cos 𝑘𝑡 ≤ 𝑒 −𝑠𝑡 lim 𝑒 −𝑠𝑡 ≤ lim 𝑒 −𝑠𝑡 cos 𝑘𝑡 ≤ lim 𝑒 −𝑠𝑡

𝑡⟶∞

𝑡⟶∞

𝑡⟶∞

0 ≤ lim 𝑒 −𝑠𝑡 cos 𝑘𝑡 ≤ 0 𝑡⟶∞

𝐿{𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑡 } =

𝑠2

𝑠 + 𝑘2

Se llega a la solución de la trasformada de Laplace

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

{

𝑦 , − 3𝑦 = 𝑒 2𝑡 } 𝑦 (0) = 1

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial ℒ {𝑦 , − 3𝑦} = ℒ {𝑒 2𝑡 } ℒ{𝑦 , } − 3ℒ {𝑦} =

1 𝑠−2

𝑠𝑌 (𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑌(𝑠) = 𝑠𝑌(𝑠) − 1 − 3𝑌(𝑠) = 𝑌 (𝑠 ) =

1 𝑠−2

1 𝑠−2

𝑠−1 (𝑠 − 2)(𝑠 − 3)

𝑌 (𝑠 ) = −

1 2 + 𝑠 − 2 (𝑠 − 3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: 𝑦(𝑡)

ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = −ℒ −1 (

1 1 ) + 2ℒ −1 ( ) 𝑠−2 𝑠−3

𝑦(𝑡) = −𝑒 2𝑡 + 𝑒 3𝑡

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Victor Jhoan Pulido Canacué

a.

𝑑𝑦 𝑑𝑡

+ 𝑦 = 𝑡𝑒 −𝑡 ; 𝑦(0) = 1

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ℒ {𝑦 , + 𝑦} = ℒ{𝑡𝑒 −𝑡 }

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

ℒ {𝑦 , } + ℒ {𝑦} = ℒ{𝑡𝑒 −𝑡 }

aplicamos propiedades de la transformada

𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) + 𝑌(𝑠) = 𝑠𝑌(𝑠) − 1 + 𝑌(𝑠) =

1! (𝑠 + 1 )2

1 (𝑠 + 1) 2

Ahora se resuelve la transformada de Laplace tenemos en cuenta la condicion inicial

𝑌 (𝑠)(𝑠 + 1) =

1 +1 (𝑠 + 1)2

propiedad uniforme y factorizando

𝑌 (𝑠)(𝑠 + 1) =

1 + (𝑠 + 1)2 (𝑠 + 1)2

suma de fracciones

𝑌 (𝑠 ) =

𝑠 2 + 2𝑠 + 2 (𝑠 + 1)3

despejamos 𝑌(𝑠)

𝑠 2 + 2𝑠 + 2 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 3 2 (𝑠 + 1) (𝑠 + 1) (𝑠 + 1) (𝑠 + 1)3 𝑠 2 + 2𝑠 + 2 = 𝐴(𝑠 + 1)2 + 𝐵(𝑠 + 1) + 𝐶

resolvemos mediante fracciones parciales

resolvemos

𝑠 2 + 2𝑠 + 2 = 𝐴𝑠 2 + 2𝐴𝑠 + 𝐴 + 𝐵𝑠 + 𝐵 + 𝐶 𝑠 2 + 2𝑠 + 2 = (𝐴)𝑠 2 + (2𝐴 + 𝐵)𝑠 + (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ) 𝐴 = 1 ; 𝐵 = 0; 𝐶 = 1 𝑌 (𝑠 ) =

1 1 + (𝑠 + 1 ) (𝑠 + 1)3

ℒ −1 {𝑌 (𝑠)} = ℒ −1 (

reemplazamos los coeficientes hallados

1 1 2 ) + ℒ −1 [ ] (𝑠 + 1)3 𝑠+1 2

1 𝑦(𝑡) = 𝑒 −𝑡 + 𝑡 2 𝑒 −𝑡 2

aplicamos propiedad uniforme para la segunda fraccion y la inversa de las transformada aplicamos inversas de las transformadas

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Ángela María García Jaramillo

b.

𝑑𝑦 𝑑𝑡

+ 2𝑦 = 𝑡𝑒 −2𝑡 ; 𝑦(0) = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Se rescribe como y’

𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝒕𝒆−𝟐𝒕 ℒ{𝑦′} + ℒ{2𝑦} = ℒ{𝑡𝑒 −2 }

𝑠ℒ{𝑦}2ℒ{𝑦} =

1 (𝑠 − (−2)1+1

Se aplica la transformada de Laplace a cada ecuación. Se

utilizan estas 𝑑𝑦 ℒ { } = 𝑠ℒ {𝑦} − 𝑦(0) 𝑑𝑡 ℒ {𝑥 𝑛 𝑒 𝑎𝑥 } =

(𝑠 + 2)ℒ{𝑦} = ℒ{𝑦} =

1! (𝑠 + 2)2

1 (𝑠 + 2)(𝑠 + 2)2

ℒ{𝑦} =

1 (𝑠 + 2)3

𝑦 (𝑠 ) =

1 (𝑠 + 2)3

1 } ℒ −1 {𝑦(𝑠)} = ℒ −1 { (𝑠 + 2)3

𝑦(𝑡) = 𝑡𝑒

𝑛! (𝑠 − 𝑎)1+1

Se realiza la factorización: Se procede a resolver la ecuación despejando s.

ℒ{𝑦} = 𝑦(𝑠) Se invierte Laplace con ℒ −1 𝑦(𝑠) = 𝑦(𝑡) Se

2𝑡

utiliza

esta

fórmula

a la 𝑛! ℒ {𝑥 𝑛 𝑒 𝑎𝑥 } = (𝑠 − 𝑎)1+1

Dando por último el resultado

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: d. 𝑦 ,, − 4𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑡); 𝑦(0) = 1, 𝑦 , (0) = −1

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

fórmulas:

RAZÓN O EXPLICACIÓN

inversa:

ℒ{𝑦 ′′ } = 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′ (0)

Para iniciar se deben recordar, cuales son las transformadas de Laplace que se utilizaran en este ejercicio.

ℒ{4𝑦} = 4𝑌(𝑠) ℒ{𝑠𝑒𝑛(𝑡)} =

𝑠2

1 +1

𝑦 ′′ − 4𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ; 𝑦(0) = 1; 𝑦 ′ (0) = −1 𝑠 2 𝑌 (𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 ′ (0) − 4𝑌(𝑠) = 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠 + 1 − 4𝑌(𝑠) = 𝑌(𝑠)[𝑠 2 − 4] =

𝑌 (𝑠 ) =

1 +1

1 +1

1 +𝑠−1 𝑠2 + 1

Agrupando los factores correspondientes para poder aplicar las fracciones parciales

𝑠3 − 𝑠2 + 𝑠 (𝑠 2 + 1)

Antes de despejar el termino 𝑌(𝑠), se opera el otro lado de la igualdad.

𝑌(𝑠)[𝑠 2 − 4] = 𝑌 (𝑠 ) =

𝑠2

𝑠2

𝑠3 − 𝑠2 + 𝑠 (𝑠 2 − 4)(𝑠 2 + 1)

𝐴𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴𝑛 = (𝑠 − 𝑎)𝑓(𝑠)|𝑠=𝑎 𝑠−𝑎

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒

Despejando Y(s) y factorizando el denominador se obtiene

𝑠3 − 𝑠2 + 𝑠 (𝑠 2 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 − 2)

𝑠3 − 𝑠2 + 𝑠 (𝑠 2 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 − 2) 𝐴1 𝑠 + 𝐴2 𝐴3 𝐴4 = 2 + + 𝑠 +1 𝑠+2 𝑠−2 𝑠𝑖

Ahora evaluando las transformadas de Laplace, así como sus condiciones iniciales

𝑓 (𝑠 ) = 𝐴3 =

7 10

Para los últimos dos coeficientes, encontrar su valor se calcula de la siguiente manera

𝑠3 − 𝑠2 + 𝑠 (𝑠 2 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 − 2) ;

𝐴4 =

3 10

𝑠 3 − 𝑠 2 + 𝑠 = (𝐴1 𝑠 + 𝐴2 )(𝑠 + 2)(𝑠 − 2) 7 3 + (𝑠 2 + 1)(𝑠 − 2) + (𝑠 2 10 10 + 1)(𝑠 + 2) 0 = 𝐴2 (2)(−2) +

Escribiendo como fracciones parciales.

7 3 (1)(−2) + (1)(2) 10 10

Ahora queda encontrar los primero dos coeficientes

Evaluando en 𝑠 = 0 𝑦 𝑠 = −1

𝐴2 = −

1 5

𝐴1 = 0 𝑌 (𝑠 ) =

𝐴2 𝐴3 𝐴4 + + 𝑠2 + 1 𝑠 + 2 𝑠 − 2 1

𝑌 (𝑠 ) =

ℒ

−1 {

−5 𝑠2 + 1

𝑌(𝑠)} = −ℒ

−1

{

+

7

3

10

10

𝑠+2

+

Solución final de las fracciones parciales.

𝑠−2

1

7

5

10

𝑠2 + 1

}+ℒ

−1

{

𝑠+2

Ahora se debe aplicar la transformada inversa }

3

+ℒ

𝑦 (𝑡 ) = −

−1 {

10

𝑠−2

}

𝑠𝑒𝑛(𝑡) 7 −2𝑡 3 + 𝑒 + 𝑒 2𝑡 5 10 10

Respuesta y solución de la ecuación diferencial

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Andrés Mauricio Quintero Trujillo e. 2𝑦 ,, − 4𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡); 𝑦(0) = −1, 𝑦 , (0) = −1

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 2𝑦 ,, − 4𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡); 𝑦(0) = −1 𝑦 , (0) = −1

ℒ [2𝑦 ,, ] − ℒ [4𝑦 ] = ℒ[cos(𝑡)]

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Ecuación diferencial de segundo orden con condiciones iniciales

Calcular la transformada de Laplace a cada término de la ecuación 𝑠

2 [𝑠 2 𝑦 ,, (𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦 , (0) ] − 4[𝑦(𝑠) ] = 𝑠 2+1

Se reemplaza de acuerdo a la propiedad de la derivada de orden n

2 [𝑠 2 𝑦 (𝑠) − 𝑠(−1) − (−1) ] − 4𝑦(𝑠) =

2 𝑠 2 𝑦 (𝑠) + 25 + 1 − 4𝑦(𝑠) = 𝑦 (𝑠) [+2 𝑠 2 − 4] + 25 + 1 =

𝑠2

𝑠2

𝑠 𝑠2 + 1

𝑠 +1

𝑠 +1

𝑠 𝑦 (𝑠) [+2 𝑠 2 − 4] = 2 − (25 + 1) 𝑠 +1 𝑦 (𝑠)

Reemplazamos los valores de las condiciones iniciales

Se destruyen corchetes efectuando la propiedad distributiva Se simplifica y se factoriza 𝑦 (𝑠) y se pasa al otro lado de la ecuación

−(2𝑠 3 + 𝑠 2 + 𝑠 + 1) 2(𝑠 2 + 1)(𝑠 2 − 2)

−(2𝑠 3 + 2𝑠 2 + 𝑠 + 2) ] ℒ −1 [ 2(𝑠 2 + 2)(𝑠 2 + 1 )

Simplificando se llega a la solución

𝑠 𝑠 + 3√2 𝑠 − 3√2 ] ℒ −1 [ 2 − − 6(𝑠 + 1) 12(𝑠 − √2) 12(𝑠 + √2 1 𝑠 + 3√2𝑡 √2𝑡 𝑦(𝑡) = − cos(𝑡) − 𝑒 6 12 𝑠 − 3√2 √2𝑡 − 𝑒 12

Se calcula la inversa a cada una

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA

A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de 𝒚′ = 𝒚𝟐 − 𝒙 con la condición inicial 𝒚 = 𝟏 en 𝒙 = 𝟎. A. 𝟏 + 𝒙 + B. 𝟏 +

𝟏

C. 𝟏 +

𝒙

D. 𝟏 +

𝟒𝒙

𝟐

𝟒

𝒙𝟐 + 𝟑! 𝒙𝟑 + 𝟏𝟒

𝟐

𝟒

𝒙𝟐 + 𝟑! 𝒙𝟑 + 𝟏𝟒

𝟐

𝟐

𝟏

+ +

𝟏 𝟑

+ 𝟔𝟔 𝟒!

𝟒

𝟑

𝒙𝟑 +

𝟔𝟔 𝟒!

+ 𝟔𝟔 𝟒!

𝒙𝟒

𝒙𝟑 + 𝟒! 𝒙𝟒 + 𝟏𝟒 𝟏𝟒

𝒙𝟒

𝒙𝟓 𝟓!

𝒙𝟓 𝟓!

𝒙𝟓 𝟓!

+⋯

+⋯

+ 𝟔𝟔

𝒙𝟔 𝟔!

+⋯

𝒙𝟒

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒇(𝒙) = ∑ 𝒇𝒌

(𝒙)(𝒙−𝒂) 𝒌!

𝒌 = 𝟎; … ; 𝒏

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Esto está dado por:

𝑦 ′ (𝑥 ) = 𝑦 2 − 𝑥 𝑦 (0) = 1 𝑦 ′ (0) = 𝑦(0)2 − 0 − 1 − 0 = 1 𝑦 ′′ (𝑥) = 2𝑦𝑦 ′ − 1 → 𝑦 ′′ (0) = 2. 𝑦(0). 𝑦 ′ (0) − 1 = 2.1.1 − 1 = 2 − 1 = 1 𝑦 ′′′ (𝑥 ) = 2(𝑦 ′ 𝑦 ′ + 𝑦 ′′ 𝑦) → 𝑦 ′′′ (0) = 2(1.1 + 1.1) = 2.2 =4

Se debe calcular el resto de las derivadas implícitas hasta n=5

𝑦 5 (𝑥 ) = 2(3(𝑦 ′′ 𝑦 ′′ + 𝑦 ′′′ 𝑦 ′ ) + 𝑦 4 𝑦 + 𝑦 ′ 𝑦 ′′′ ) → 𝑦 5 (0) = 2(3(1.1 + 4.1) + 14.1 + 1.4) = 2. (15 + 14 + 4) = 66 𝑓 (𝑥 ) =

1(𝑥 − 0)0 1(𝑥 − 0)1 1(𝑥 − 0)2 4(𝑥 − 0)3 + + + 0! 1! 2! 3! 4 5 14(𝑥 − 0) 66(𝑥 − 0) + + +⋯ 4! 5!

𝑓 (𝑥 ) = 1 + 𝑥 +

𝑥 2 4. 𝑥 3 14. 𝑥 4 66. 𝑥 5 + + + +⋯ 2 3! 4! 5!

𝑓 (𝑥 ) = 1 + 𝑥 +

𝑥 2 4. 𝑥 3 14. 𝑥 4 66. 𝑥 5 + + + +⋯ 2 3! 4! 5!

La solución en serie es:

Solución final. (A)

PASO 5

EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en serie es:

𝐿

𝑑𝑖 1 t + 𝑅𝑖 + ∫ i(τ)dτ = E(t) 𝑑𝑡 𝑐 0

Utilizando la transformada de Laplace encuentre i(τ), si L = 0.005H; R = 1 Ω ; c=0.02 F y E(t) = 100[1 − U(t − 1)]v e i(0) = 0 EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Solución 1. Se reemplazan los valores t 𝑑𝑖 1 ∫ i(τ)dτ 0.005 + 𝑖 + 𝑑𝑡 0.02 0 = 100[1 − U(t − 1)]

2. se divide por 0.005

2. se divide por 0.005 t

𝑑𝑖 + 200𝑖 + 10000 ∫ i(τ)dτ 𝑑𝑡 0 = 20000 − 20000U(t − 1)

𝐼 (𝑠 ) 𝑠𝐼(𝑠) − 𝑖(0) + 200𝐼(𝑠) + 10000 𝑠 20000 20000 −𝑠 = − 𝑒 𝑠 𝑠 4. Se agrupan los términos de I(s) 𝑠 2 + 200𝑠 + 10000 20000 (1 − 𝑒 −𝑠 ) )= 2 𝑠(𝑠 + 100) 𝑠 5. Se factoriza el numerador del lado izquierdo y se despeja I(s). Se reescribe el resultado para aplicar Transformada inversa. 𝐼 (𝑠 ) (

20000𝑠 (1 − 𝑒 −𝑠 ) 𝑠(𝑠 + 100)2 −𝑠

𝐼 (𝑠) = 20000 [

t 𝑑𝑖 + 200𝑖 + 10000 ∫ i(τ)dτ 𝑑𝑡 0 = 20000 − 20000U(t − 1)

3. A cada término se le halla la transformada de Laplace

3. A cada término se le halla la transformada de Laplace

𝐼 (𝑠 ) =

1. Se reemplazan los valores t 𝑑𝑖 1 ∫ i(τ)dτ = 100[1 − U(t − 1)] 0.005 + 𝑖 + 𝑑𝑡 0.02 0

1 𝑒 − ] 2 (𝑠 + 100) (𝑠 + 100)2

𝑠 2 + 200𝑠 + 10000 20000 (1 − 𝑒 −𝑠 ) 𝐼 (𝑠 ) ( )= 𝑠 𝑠 (𝑠 + 100)2 20000 (1 − 𝑒 −𝑠 ) 𝐼 (𝑠 ) ( )= 𝑠 𝑠 Se despeja: 𝐼 (𝑠 ) =

20000 (1 − 𝑒 −𝑠 ) (𝑠 + 100)2

propiedades de la fracciones 1 𝑒 −𝑠 𝐼 (𝑠) = 20000 [ − ] (𝑠 + 100)2 (𝑠 + 100)2 Se aplica la transformada inversa 1 ℒ −1 {𝐼 (𝑠)} = 20000 [ℒ −1 ( ) (𝑠 + 100)2 −ℒ

−1

𝑒 −𝑠 [ ]] (𝑠 + 100)2

6. Se aplica la transformada inversa para hallar i(t) 𝑖(𝑡) = 20000[𝑡𝑒 −100𝑡 − (𝑡 − 1)𝑒 −100(𝑡−1) 𝑈(𝑡 − 1)]

Respuesta correcta, se aplica segundo teorema de traslación para la segunda transformada inversa 𝓛−𝟏 {𝒆−𝒂𝒔 𝒇(𝒔)} = 𝒇(𝒕 − 𝒂)𝑼(𝒕 − 𝒂)

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante Víctor Joan Pulido Canacué

Ejercicios Enlace video explicativo sustentados A del ejercicio de la transformada de Laplace

Angela María García

B del https://screencast-o-matic.com/watch/cqiUYXOkLf ejercicio de la transformada de Laplace E del https://drive.google.com/file/d/1BTxX3KSdqxA6Q0QeuqOvbeqrHy9fjl89/view ejercicio de la transformada de Laplace

Andres Mauricio Quintero

CONCLUSIONES A través de la realización del presente trabajo, como estudiantes aprendimos a emplear métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de por el método de series de potencia y transformada de Laplace, de manera que se puedan adaptar para dar paso a la solución de problemas en contextos o entornos referentes a las diferentes ingenierías.

Las ecuaciones diferencias no tiene una única solución ni tampoco un solo camino para ser resueltas de allí su complejidad y la importancia que debemos darles a los detalles como un simple signo porque esto puede generar una solución completamente diferente que al aplicarla a una ingeniería determinada nos pueda casar errores catastróficos.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS • García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 32-39). • Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Edi (pp. 53-58). • Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Gru Editorial Patria. (pp. 88 – 95). • Amaya, J. (2015). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Unad • Granados, A. (2018). Ecuaciones diferenciales de variables separables. Unad. • López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas • Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Edi (pp. 59-63). • Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Edi (pp. 71-79). • García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 72-76). • Granados, A. (2017). Presentación Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. • López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). Españ Editorial Tébar. (pp.58-135) • García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 67-112