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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL MATERIA: ECUACIONES DIFERENCIALES CATEDRATICO: CARLOS DEL ÁNGEL BAUTISTA PRESENTA: SEIRI BEATRIZ GUERRERO CASTRO HERNANDEZ RODRÍGUEZ EDWIN DARIO CARRERA: ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES CERRO AZUL, VER. UNIDAD 4 1

Unidad 4.- Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 4.1 Teoría preliminar 4.1.1 sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Problema de valores iniciales En la sección 1.2 definimos qué es un problema de valores iniciales para una ecuación diferencial general de orden n. Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es

Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función definida en algún intervalo y que contenga a X0, y satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales especificadas en x0: y(xo)=yo,y’(xo)=yl,. . .,y(*-‘)(xg)=y,-1. Ya vimos que en el caso de un problema de valores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto (~0, yo) y tener la pendiente y1 en ese punto. Existencia y unicidad En la sección 1.2 enunciamos un teorema que especifica las condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una solución de un problema de valores iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de existencia de solución única para el problema representado por las ecuaciones. Teorema 4.1 Existencia de una solución única Sea an(X), an-1(X), …. A1(x),z0(x) y g(x) continua en un interval I, y sea an(x) =0 para toda x del intervalo. Si x=x0 es cualquier punto en el intervalo, existe una solución en dicho intervalo y(x) del problema de valores representado por la ecuaciones que es única

Ejemplo: Solución única de un problema de valores iniciales El problema de valores iniciales 3y’” + 5y” - y’ + 7y = 0,

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y(l) = 0, y’(l) = 0, y”(Il) = 0

Tiene la solución trivial y = 0. Como la ecuación de tercer orden es lineal con coeficientes constantes, se satisfacen todas las condiciones del teorema 4.1; en consecuencia, y = 0 es la única solución en cualquier intervalo que contenga x = 1. Problema de valor en la frontera Otro tipo de problema es resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, estén especificadas en puntos distintos. Un problema como Resolver: 4~) $$ + UI(~) 2 +ao(x)Y = &) Sujeta u: y(u) = yo, y(b) = y1 Se llama problema de valores en la frontera. Los valores necesarios, y(u) = yo y y(b) = ~1, se denominan condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo Z que contiene a u y b, cuya gráfica pasa por los dos puntos (u, yo) y (b, yr). Soluciones de la ecuación diferencial

Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podrían ser

En donde yo y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones sólo son casos especiales de las condiciones generales en la frontera:

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4.1.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales homogéneas Una ecuación lineal de orden n de la forma

Se llama homogénea, mientras que una ecuación

Donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea; por ejemplo, 2y” + 3y’ - 5y = 0 es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras que x3y’’’ + 6y’ + 1 0y = ex es una ecuación diferencial de tercer orden, lineal y no homogénea. En este contexto, la palabra homogénea no indica que los coeficientes sean funciones homogéneas. Para resolver una ecuación lineal no homogénea como la segunda forma, en primera instancia debemos poder resolver la ecuación homogénea asociada a la primera forma. 4.1.3 Solución general y solución particular de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES Una ecuación en la que aparecen x,y, y´y´´,... y y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado: ORDEN 1: Y´=2x ORDEN 2: D²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0 ORDEN 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex ORDEN 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx

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Recordemos que una función f (o f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y por f (x) se obtiene una identidad para todo x en un intervalo. Por ejemplo, la ecuación diferencial Y´ = 6x 2 - 5 Tiene solución F (x) = 2x3 - 5x + C Para todo real C, porque al sustituir y por f(x) se llega a la identidad 6x 2 - 5 = 6x 2 - 5. Se dice que f(x) = 2x 3 - 5x + C es la solución general de y´= 6x 2 - 5 porque todas las soluciones son de esta forma. Se obtiene una solución particular asignando valores específicos a C. Por ejemplo, tomando C = 0 se obtiene la solución particular y = 2x3 – 5x. A veces se dan condiciones iniciales para determinar una solución particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo EJEMPLO 1 a. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial y´= 2x b. Obtener una solución particular de y´ = 2x que satisfaga la siguiente condición: y = 3 cuando x = 0 SOLUCIÓN a. Si f es una solución de y´ = 2x, entonces f´´(x) = 2x. La integral indefinida lleva a la solución general Y = f (x) = x² + C. Podemos encontrar soluciones particulares asignando valores específicos a C. Así obtenemos la familia de parábolas y = x² + C Si y = 3 cuando x = 0, entonces sustituyendo en y = x² + C obtenemos 3 = 0 + C, o bien C = 3. Por lo tanto, la solución particular es y = x² + 3 4.2

Métodos de solución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

**Método de variables separables Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma dy = g(x)h(x) dx Es separable, o de variables separables. Soluciones Explicitas E Implícitas Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función . Solución General

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Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, y´,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-paramétrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Solución Particular. Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia mono paramétrica y = cex también satisface la ecuación dy = 2xy **ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Las ecuaciones diferenciales del siguiente tipo aparecen muchas veces en el estudio de los fenómenos físicos. DEFINICION 1. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma: Y´ + P(x)y = Q(x) Donde P y Q son funciones continuas. . Q(x) = 0 para todo x, se obtiene y´ + P(x) = 0 que es separable. Concretamente se puede escribir: 1 dy = - P(x) o bien 1 dy = - P(x) dx y dx y siempre que y =/= 0. Integrando se obtiene In |y| = - ¦P(x)dx + In |C|. La constante de integración se ha expresado como In |C| para cambiar la forma de la última ecuación, como sigue: Ln|y| - ln|C| = - ò P(x) dx ln|y/C| = - ò P(x) dx y/c = e ò p(x)dx = C ahora se observa que d [y e ò p(x)dx ] = Q(x) y e ò p(x)dx = e ò p(x) dx [y¨+ p(x)y] Por lo tanto si se multiplican por e f p(x)dx, ambos lados de y´+ P(x)y =Q(x), la ecuación resultante puede escribirse como Dx [ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente solución implícita de la ecuación diferencial lineal de primer orden en la definición anterior. ye f P(x)dx ] = Q (x) e f P(x)dx dx + K

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donde K es una constante. Despejando y de esta ecuación se obtiene una solución explícita. Se dice que la expresión e f P(x)dx es un factor de integración (o integrativo) de la ecuación diferencial. Quedó demostrado el siguiente resultado. TEOREMA 2 La ecuación diferencial lineal de primer orden y´ + P(x)y = Q(x) se puede transformar en una ecuación diferencial separable multiplicando ambos lados de la ecuación por el factor de integración e f P(x)dx . EJEMPLO 1 Resolver la ecuación diferencial dy/dx – 3x²y = x² Solución La ecuación diferencial tiene la forma en la definición anterior con P(x) = -3x² y - y Q(x) = x ². Según el Teorema. e f – 3x²dx = e– 3x³ es un factor integrativo. No necesitamos introducir una constate de integración porque e – x²+c = ece-x³ que difiere de e– x³ en un factor constante e c. Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por el factor de integración e-x³ obtenemos: e –x²dy/dx – 3x²e-x² y = xx³e– 3x³ o bien Dx (e – 3x³² y) = x2e–x³. Integrando ambos lados de la última ecuación e-x-³ y = ò x² e-x-³ dx = - 1/3e-x-³ + c Finalmente, multiplicando por e–x³ obtenemos la solución explícita Y = - 1/3 + Ce–x **ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS

Vamos a tratar las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes; es decir, las ecuaciones de la forma Yy´´ + by´ + c = k(x) Donde b y c son constantes y k es una función continua. Es conveniente utilizar los símbolos D y D² para los operadores diferenciales tales que si y = ƒ(x), entonces Dy = y´ = ƒ´(x) ´(x) y y D² y = y´= ƒ´´(x). DEFINICION 11 Si y = ƒ(x) y ƒ´´ existe, entonces el operador diferencial lineal L = D² + bD + c se define por L(y) = (D² + bD + c)y = D²y + bDy + bDy + cy

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= y´´ + by´+ cy Usando L, la ecuación diferencial y´´ + by´+ cy = k(x) puede escribirse en la forma compacta L(y) = k(x). L(C) = CL(y) Y que si y1 = ƒ1(x) y ƒ2(x), entonces L(y1 ± y2) = L(y1) ± L(y2) Dada la ecuación diferencial y´´ + by´+ cy = k(x), es decir L(y) =k (x), se dice que la correspondiente ecuación homogénea L(y) = 0 es la ecuación complementaria TEOREMA 12 Sea y´´ + by´ + cy = k(x) una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. Si yp es una solución particular de L(y) = k(x) y si yc es la solución general de la ecuación complementaria L(y) = 0,entonces la solución general de L(y) = k(x) es y = yp + yc . **Ecuación diferencial de Bernoulli Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

4.3

Método de los operadores

Los operadores realizan algunas funciones en uno o dos operando. Los operadores que requieren un operador se llaman operadores unarios. Por ejemplo, ++ es un operador unario que incrementa el valor su operando en uno. Los operadores que requieren dos operandos se llaman operadores binarios. El operador= es un operador binario que asigna un valor del operando derecho al operando izquierdo. Los operadores unarios en Java pueden utilizar la notación de prefijo o de sufijo La notación de prefijo significa que el operador aparece antes de su operando, notación de sufijo significa que el operador aparece después de su operando; Todos los operadores binarios de Java tienen la misma notación, es decir aparecen entre los dos operandos: Además de realizar una operación también devuelve un valor. El valor y su tipo dependen del tipo del operador y del tipo de sus operandos.

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*Los Operadores Aritméticos +suma- resta* multiplicación / división% .Todos los operadores que se muestran son binarios; es decir, trabajan con dos operandos. Los operadores + , y * funcionan de la manera conocida. El operador / funciona de diferente manera si trabaja con datos de tipo entero o de tipo flotante. Con datos de tipo flotante funciona de la manera tradicional; pero al realizarse una división entre dos números enteros, el operador / regresa el cociente dela división entera; es decir, regresa la parte entera del resultado (si hay fracción la elimina).Por ejemplo:2/3 da como resultado 0pero2.0/3.0 da como resultado 0.66666 *Operador Uso Descripción + + op Indica un valor positivo- - op Niega el operando. Además, existen dos operadores de atajos aritméticos, ++ que incrementa en uno su operando, y -que decrementa en uno el valor de su operando. *Operador Uso Descripción ++ op ++ Incrementa op en 1; evalúa el valor antes de incrementar ++ ++ op Incrementa op en 1; evalúa el valor después de incrementar -- op -- Decrementa op en 1; evalúa el valor antes de decrementar -- -- op .Decrementa op en 1; evalúa el valor después de decrementar *Operadores de Asignación Puedes utilizar el operador de asignación =, para asignar un valor a otro. Específicamente, suponga que quieres añadir un número a una variable y asignar el resultado dentro de la misma variable, como esto :i = i + 2;Puedes ordenar esta sentencia utilizando el operador 3+=.i += 2; Las dos líneas de código anteriores son equivalentes. Elemento al que se aplica una operación.

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4.4

Utilizando la transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).es llamado el operador de la transformada de Laplace. Propiedades *Linealidad

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*Derivación

*Integración

*Dualidad

*Desplazamiento de la frecuencia

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*Desplazamiento temporal

*Desplazamiento potencia n-décima

*Convolución

*Transformada de Laplace de una función con periodo p

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*Condiciones de convergencia

(Que crece más rápido que Que

no pueden ser obtenidas por Laplace, ya

es una función de orden exponencial de ángulos

*Teorema del valor inicial

Sea una función

derivable a trozos y que

Entonces:

*Teorema del valor final

Sea

una función derivable a trozos tal que

Entonces:

es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

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4.5

Aplicaciones

Familias de curvas, modelos matemáticos **Trayectorias ortogonales Como primera aplicación de algunos de los conceptos y procedimientos relativos a ecuaciones diferenciales de primer orden que se han introducido hasta el momento, se va a considerar el problema de hallar las trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada. El problema tiene su origen en algunas aplicaciones en las que aparecen dos familias de curvas (planas) que son mutuamente ortogonales; esto es, cada curva de una de las familias es ortogonal en todos sus puntos a cada curva de la otra familia. En tales casos, se dice que cada una de ellas es una familia de curvas ortogonales a la otra. De esta manera, obtener las trayectorias ortogonales a una familia de curvas de las cuales se conoce su expresión analítica f(x; y;C) = 0, requiere los siguientes pasos: 1. Diferenciar la ecuación f(x; y;C) = 0. 2. Eliminar C del sistema formado por la ecuación y su derivada, para así obtener la ecuación diferencial de la familia. 3. Obtener la ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales aplicando el resultado precedente. 4. Integrar la ecuación resultante.

--Modelos de población El análisis del problema de tasar el crecimiento de una población permite ilustrar las diferentes etapas que se presentan en el estudio de un problema de Matemática Aplicada. 1. Problema físico: Se trata de obtener una ley que permita predecir el crecimiento de una población p(t) que varía con el tiempo.

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2. Formulacion matemática: La primera dificultad que se encuentra al intentar formular matemáticamente el problema es que una poblacion solo toma valores enteros y, por lo tanto, considerada como función del tiempo, es una funcion discontinua. El problema se solventa observando que, si se trata de una población elevada, la variacion en una unidad es comparada con el numero de individuos que constituye el valor de la población y, por consiguiente, se puede considerar que esta vara continua e incluso diferenciablemente con el tiempo. 3. Modelo matemático (Primera aproximación): En primera aproximación podría hacerse la hipótesis de que \el número de individuos que nacen y que mueren por unidad de tiempo es proporcional a la población existente".

--Desintegración radiactiva Experimentalmente se ha comprobado que el ritmo de desintegración de los elementos radiactivos es proporcional a la cantidad de elemento presente. Así, si Q(t) designa dicha cantidad en cada instante de tiempo, se tiene que la ley de desintegración es: dQ dt= KQ (K < 0)

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