• Author / Uploaded
• Antonio De Jesús Gomez Morales

• Categories
• Derivado
• Tarifas
• Conceptos matemáticos
• Relaciones matemáticas
• Álgebra abstracta

Citation preview

UNIDAD 4 DERIVADAS

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio la derivada de una función

4.2 La interpretación geométrica de la derivada

4.3 Concepto de diferencial Interpretación geométrica de las diferenciales

4.4 Propiedades de la derivada

4.5 Regla de la cadena

4.6 Formulas de derivación y fórmulas de diferenciación

4.7 Derivadas de orden superior y regla L Hopital

4.8 Derivada de funciones implícitas

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio La derivada de una función INCREMENTOS: Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial. Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo ∆x, que se lee "delta x". El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. Por ejemplo, si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento ∆x = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, ∆x = x2 - x1 = 3 7 = -4: la variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

RAZON

DE

CAMBIO

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo El La El

tamaño

de

cantidad volumen

una

población

de

dinero de

(peces, en

un

una

ratas,

personas,

cuenta

globo mientras

en

bacterias,…) un se

banco infla

La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea

de

Q

es

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea

de

Q=f(t)

es

la

derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así Q Q

es

creciente

es

en

decreciente

el

instante

en el

t

instante

t

si si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario

en

x)

en

el

intervalo

[x,x+∆x]

es

el

cociente

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto Interpretación

de geométrica

x de

es la

derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α

tiende

a

ser

β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función

en

mt

ese =

punto. f'(a)

Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a

la

bisectriz

del

primer

cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1. Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que: f'(a)

=

1.

Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

4.2 La interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. mt = f'(a)

Ejemplos Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1. Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que: f'(a) = 1. Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Interpretación física de la derivada Velocidad media La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

Velocidad instantánea La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Ejemplo La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular: 1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4. La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

4.3 Concepto de diferencial Interpretación geométrica de las diferenciales En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial queda definido por la expresión

como si la derivada dy/dx representara el cociente entre la cantidad dy y la cantidad dx.

Se

puede

también

expresar

como

El significado preciso de estas expresiones depende del contexto en las cuales se las utilice y el nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas

rigurosas

modernas,

las

cantidades dy y dx son

simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar una significación geométrica particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significancia analítica si el diferencial es considerado como una aproximación lineal del incremento de la función. En aplicaciones físicas, a menudo se requiere que las variables dx y dy sean sumamente

pequeñas

(infinitesimales).

Definición El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.1 El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:

Uno,

o

los

dos,

argumentos

pueden

ser

suprimidos:

ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que

la

igualdad se

Interpretación

geométrica

mantiene.

del

diferencial

Interpretación geométrica del diferencial de una función en un punto. El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente

desde

el

punto

en

que

se

toma

el

diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento

de

y

que

equivale

a

nuestro

diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal

que

haga

desde

el

punto

en

cuestión.

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la fórmulas matemáticas están definidos respectivamente por y.

4.4 Propiedades de la derivada Derivada una función constante

La derivada de una función constante es cero.

Ejemplo

Si

, entonces

Derivada de una suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:

Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:

Derivada de una diferencia de funciones

La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:

Ejemplo

Derivada de un producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones,

y

, viene dada por la fórmula:

Ejemplo

Obsérvese que

y que la derivada de

Derivada de un cociente de funciones

es precisamente

.

La derivada del cociente

viene dada por la fórmula:

Ejemplo

4.5 Regla de la cadena En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición

de

funciones.

Descripción de la regla En términos intuitivos, cola si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si

es diferenciable en

y es una función diferenciable en

entonces la función compuesta

es diferenciable en

, y

Notación de Leibniz Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

donde

indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de la cadena Sea

Esto es entonces

Aplicando la definición de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre demostración solo vale cuando

(esta es distinto de cero, por

ejemplo si g(x) fuera constante no se cumple)

Ejemplos de aplicación Ejemplo conceptual Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora.

La

razón

a

la

cual

la

temperatura

decrece

es

6 °F

por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido. Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena. Ejemplo algebraico Por ejemplo si una función derivable de

o también

es una función derivable de entonces

y si además

es

es una función derivable con:

Ejemplo 1

y queremos calcular:

Por un lado tenemos:

y

si:

entonces:

Si definimos como función de función:

resulta que:

con el mismo resultado. Ejemplo 2

Tenemos

la cual se puede definir como función

compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

, cuyas derivadas serían:

Con la regla de la cadena, esto sería:

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

Y luego se obtiene la derivada.

Derivadas de orden superior

Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:

4.6 Formulas de derivación y fórmulas de diferenciación Fórmulas de

Derivación

I

dc

=

0

La derivada de una constante es cero II

dx

=

1

La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad. III

d

(

u

+

v

–

w

)

=

du

+

dv

-

dw

La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones IV

d

(

cv

)

=c.

dv

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto V

de d

la

constante

(uv)

=

por u

la

derivada

dv

de

+

la

v

función du

La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda por la derivada de

la

VI

d

primera.

(un)

=

nun-1

du

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad

y

VIa

la

d

Cuando VII

por

derivada

(xn) v

=

d

x (uv)

se

de

=

convierte =

la

nxn en

la

función. -

1

expresión

anterior

-

u.dv.

v.du

v2 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador VIIa

d

(u/c)

=

du/

c

La derivada del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante

Sean a, b, e y k constantes (números reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones. En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar. Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como

, también se puede expresar así:

Derivada del logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la función potencial-exponencial

Regla de la cadena

Derivadas implícitas

4.7 Derivadas de orden superior y regla L Hopital Derivadas de orden superior Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior. Notación Se utiliza las siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior

Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan. Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Regla de L'Hôpital

Si

existe

, en donde f y g son derivables en un entorno de a y

, este límite coincide con

.

La regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones:

Ejemplos

Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

Indeterminación infinita menos infinito En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común denominador.

Indeterminación cero por infinito La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

Indeterminaciones En las sin determinaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones:

Ejemplos

4.8 Derivada de funciones implícita

Funciones implícitas Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Derivadas de funciones implícitas Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Ejemplos Derivar las funciones: 1.

2.

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

Ejemplo

CONCLUSIÓN Lo que pudimos observar del tema es de qué se obtiene un conocimiento más eficaz ya que viene más redactado, aprender sobre las derivadas es más sencillo ya que vienen ejemplos, Conceptos de incremento y de razón de cambio la derivada de una función, La interpretación geométrica de la derivada, Concepto de diferencial Interpretación geométrica de las diferenciales, Propiedades de la derivada, Regla de la cadena, Formulas de derivación y fórmulas de diferenciación, Derivadas de orden superior y regla L Hopital y las derivada de funciones implícitas.

Bibliografías

http://iticalculodiferencial.blogspot.com/p/41-conceptos-de-incremento-y-de-razon.html http://iticalculodiferencial.blogspot.com/p/42-la-interpretacion-geometrica-de-la.html http://iticalculodiferencial.blogspot.com/p/43-concepto-de-diferencial.html http://iticalculodiferencial.blogspot.com/p/44-propiedades-de-la-derivada.html http://iticalculodiferencial.blogspot.com/p/en-calculo-la-regla-de-la-cadena-una.html http://iticalculodiferencial.blogspot.com/p/46-formulas-de-derivacion-y-formulas-de.html http://iticalculodiferencial.blogspot.com/p/47-derivadas-de-orden-superior-y-regla.html https://www.vitutor.com/fun/4/b_11.html