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MÉTODOS NUMÉRICOS - INGENIERÍA CIVIL - PROF: HARVETH GIL

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES - Ecuaciones hiperbólicas (diferencias finitas). La ecuación de onda es un ejemplo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica dada por la siguiente ecuación diferencial:

c2

 2u  2u  x 2 t 2

De igual forma que con las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas, las ecuaciones hiperbólicas pueden ser resueltas substituyendo las derivadas parciales por diferencias finitas divididas. Y al igual que con PDE parabólicas, se debe considerar ahora los cambios tanto en el tiempo como en el espacio. - Métodos explícitos. La ecuación de onda requiere aproximaciones para la segunda derivada en el espacio y la segunda derivada en el tiempo. La primera es representada en la misma forma como para la ecuación de Laplace mediante unas diferencias finitas centradas:

 2u uit1  2uit  uit1  x 2 x 2 Note que el superíndice denota el tiempo. En el caso de la derivada del tiempo:

 2u uit 1  2uit  uit 1  t 2 t 2 Haciendo   ct /( x) y substituyendo las diferencias finitas y λ en la ecuación diferencial tenemos 2

que:

uit1  2uit  uit1 uit 1  2uit  uit 1 c  x 2 t 2 la cual puede ser resuelta para:

ui

t 1

 2(1   )uit   (uit1  uit1 )  uit 1

MÉTODOS NUMÉRICOS - INGENIERÍA CIVIL - PROF: HARVETH GIL Este es un método explícito de dos pasos (o de tres niveles de tiempo) algunas veces llamado el método leap-frog. La ecuación de onda es resuelta con dos condiciones iniciales. Si se comienza la ecuación en t=0, entonces las dos condiciones iniciales de frontera son:

u ( x,0)  f ( x) y

u ( x,0)  g ( x) t

Esta ecuación puede ser usada para todos los nodos internos excepto para los dos primeros tiempos, donde las ecuaciones serían: para t=0,

ui0  u( xi , t0 )  f ( xi ) para t=1,

ui1  f ( xi )  g ( xi ) * t 

(t ) 2 * c 2 * xi  f ( xi1 )  2 f ( xi )  f ( xi1 ) 2(x) 2

La estabilidad de la solución viene dada por:

t 

x c

- Ejemplo. Use el método de diferencias finitas para resolver la ecuación de onda para un resorte vibratorio:

4

 2u  2u  x 2 t 2

con las condiciones de frontera:

u (0, t )  0 y u (1, t )  0 u ( x,0)  f ( x)  sin(x)  sin(2x) y

u ( x,0)  g ( x)  0 t

Solución. Primero se calcula el intervalo de tiempo para que se resuelva el sistema de forma estable. Como c=2 y tomando Δx=0.1, tenemos que Δt ≤ 0.1/2=0.05. λ=[2*0.05/0.1]^2=1.

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u0t  u1t  0 Para t=0

u00  0 u10  sin( * 0.1)  sin( 2 *  * 0.1)  0.896802 u 20  sin( * 0.2)  sin( 2 *  * 0.2)  1.538842 u30  sin( * 0.3)  sin( 2 *  * 0.3)  1.760074 u 40  sin( * 0.4)  sin( 2 *  * 0.4)  1.538842 u50  sin( * 0.5)  sin( 2 *  * 0.5)  1 u60  sin( * 0.6)  sin( 2 *  * 0.6)  0.363271 u70  sin( * 0.7)  sin( 2 *  * 0.7)  0.14204 u80  sin( * 0.8)  sin( 2 *  * 0.8)  0.36327 u90  sin( * 0.9)  sin( 2 *  * 0.9)  027877 0 u10 0

para t=0.05

u00.05  0 (0.05) 2 * 2 2 * 0.1 u  sin( * 0.1)  sin( 2 *  * 0.1)  0 * 0.05  * 2 * (0.1) 2 sin( * 0)  sin(2 * 0)  2(sin( * 0.1)  sin(2 * 0.1))  sin( * 0.2)  sin(2 * 0.2)  0.884064 0.05 1

u 20.05  1.496761 u30.05  1.693704 u 40.05  1.47532 u50.05  0.975528 u60.05  0.402697 u70.05  0.04261 u80.05  0.24028 u90.05  0.19135 0.05 u10 0

para t =0.1 hasta t=0.5

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u00.1  0 u10.1  2(1  1) * 0.884064  1 * (1.496761  0)  0.896802  0.599959 u 20.1  1.038926 u30.1  1.212007 u 40.1  1.13039 u50.1  0.878016 u60.1  0.569645 u70.1  0.303759 u80.1  0.129311 u90.1  0.037791 0.1 u10 0

continuando con los cálculos se encuentra la siguiente gráfica:

t=0

2 1

t=0.2

0 -1 -2

0

t=0.1

0.2

t=0. 05 t=0. t=0.51 t=0.4 t=0. 15 t=0.3 t=0. 2 t=0. 25

0.4 0.6

t=0

0.8 1

Referencias: - J. Kiusalaas, Numerical methods in engineering with Matlab, Cambridge University Press (2005). - S.C. Chapra, Applied numerical methods with Matlab, Mc Graw Hill (2008). - C. Woodford y C. Phillips, Numerical methods with worked examples, Springer (1997).