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• Luis Enrique Celedonio Gargate

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ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Son aquellas ecuaciones que contienen una o mas derivadas parciales de una dependiente. Una ecuación diferencial parcial es una que contiene la expresión de tipo:

Contiene variables independientes tales como X y Y, una función incógnita dependiente u y sus derivadas parciales sucesivas Ux, Uy.

o con variable

Cualquiera de los siguientes métodos de escritura representa derivadas parciales:

A continuación se muestran las deducciones de las tres EDP, más utilizadas en la física clásica, con sus soluciones analíticas y numéricas. 

Caso parabólico (Ecuación del Calor)

Se desarrolla este tema en tres partes: inicialmente la deducción de la ecuación de calor, seguido de su solución analítica, en donde se utiliza teoría de todo el procedimiento matemático elaborado hasta el momento, incluyendo la parte formal de la solución, además se utiliza los métodos numéricos para introducir |los elementos finitos unidimensionales como parte de la aproximación numérica a la solución. La siguiente deducción fue tomada de “Ecuaciones diferenciales, Takeuchi-Ramirez-Ruiz, Editorial Limusa, México 1980 Inicialmente consideremos el flujo de calor en dos dimensiones y se calcula el total del calor acumulado dentro del elemento ABCD. (ver figura), según la ley de conducción del calor, la cantidad de calor que atraviesa una pared es proporcional al gradiente de la temperatura normal a la pared y también proporcional al área de la pared. Si T(x,y,t) es la temperatura en el punto (x,y) y tiempo t, entonces la cantidad de calor que atraviesa la pared de AB en un tiempo

T  kAB t x

t

es

k

, en donde es un factor de proporcionalidad, llamado en este caso coeficiente de conducción del calor. (el signo negativo proviene de la propiedad del calor de tender de una temperatura alta una temperatura baja). En la misma forma, el calor que atraviesa la pared DC viene dado por la expresión siguiente:

 T   kAC   x 

.t x  x

Pero en este caso el valor de

T x

debe calcularse en

x  x

.

Entonces el calor acumulado entre AB y CD es:



   T   T   t     kDC    kAB  x  x    x     T   ky      x 



x  x

t  

 T     t  x  x 

 x  x

  T    x    kyt     

 T      x  x

 x  x

x

 x   

(14) Por otra parte el calor acumulado entre las paredes BC y AD esta dado por la expresión siguiente:

 kxt

  T       y    

 T      y  y  y  y y  y    

(15) El total del calor acumulado en el elemento es la suma de las cantidades (14) y (15), es decir:_

 kxyt

  T       x  



 T    x 

 x  x

x

x



 T     y 

y  y

 T      y  y 

 

y

 



 T

Con este calor acumulado la temperatura del elemento ABCD aumente Y como el aumento de la temperatura es proporcional a la cantidad del calor acumulado se obtiene la expresión siguiente:

(cxy )T

 kxyt

  T       x  

 

cxy

 T    x 

 x  x

x

x



 T     y 

y  y

 T      y  y 

 

y

   (17)

En donde el factor es la capacidad calorífica del elemento y C es la capacidad calorífica por unidad de superficie. De (17) se recibe entonces que:

  T     T k   x   t c   

 T    x 

 x  x

x

x



 T     y 

y  y

 T      y  y 

 

y

   (18)

x, y y t Tomando a

como infinitésimos, la ecuación (18) puede escribirse así:

  2T  2T  T  2  2 2 t y   x

2 

k c (19)

Esta es la “Ecuación de conducción del Calor “, el factor calor “.

2

es el “ coeficiente de trasmisión del

En tres dimensiones la ecuación (19) puede generalizarse así:

  2T  2T  2T  T  2  2  2 2 t y z   x Una vez obtenida la ecuación del calor se procede a su solución analítica; recordemos que lo primero que hacemos es comprobar, que realmente, es una ecuación parabólica, tomando la forma general de una ecuación diferencial parcial de segundo orden lineal.

A

Verificamos que sede que

 2u  2u  2u u u  B  C D E  Fu  G 2 2 x xy y x y B 2  4 AC  0

, esta se puede llevar bajo la transformación a fin.

A su forma canónica

U t  U xx  F (U x ,U , X , t )

Ut=Uxx+ F ( Ux ,U , X , t ) ,

Donde F es una relación de estas

cuatro variables. Nota: Recordemos que se dice parabólica ya que su forma canónica tiene forma de parábola, es

U t  U xx

decir,

, vía la transformada de Fourier esto es

S=k2, se escapa del alcance de estas notas, pero la transformada de Fourier cambia (en algún sentido

F ( n x u )  (ik ) n F (u ) cambia las derivadas por polinomios) ver que

i  1

donde i es el imaginario

2

solución de

.

Así basta hacer un estudio de este caso para las ecuaciones parabólicas. Lo que haremos es esta sección es estudiar un caso particular de este (es decir, cuando (F = 0) en dos formas, la solución analítica y su solución numérica y las comparemos. No se pretende solucionar analíticamente las ecuaciones parabólicas, este ejemplo se desarrolla para mostrar la dificultad de este tipo de solución y por esto la necesidad de trabajarlas numéricamente.

Para esto comenzaremos con el siguiente problema:

f (x)

l Considere una varilla delgada de longitud , con una temperatura inicial

en toda su longitud

y cuyos extremos se mantienen a temperatura cero durante todo el tiempo ( mostrada en la figura, satisface las siguientes suposiciones:  

t 0

). Si la varilla

x



El flujo del calor dentro de la varilla toma lugar solo en dirección La superficie lateral, o curva, de la varilla está aislada; es decir, el calor no escapa de la superficie. No se genera calor dentro de la varilla.



La varilla es homogénea; es decir, su masa por unidad de volumen





es una constante.

K

 El calor específico y la conductividad térmica del material de la varilla, son constantes. y además se cumplen las condiciones expuestas en la deducción de la ecuación. Partiendo

de

la

forma

U t  U xx  U x  U

general

de

la

ecuación

diferencial

; de forma que se

  1,   0 y   0

U ( x, t ) en la varilla para

U  C 2 ((0, ) x (0, l ) [o ,∞]∗[o ,l] (0, ∞)∗(0, l)ᴖ C ¿ U ԐC2¿ U t  U xx

parabólica

, y 

tomaremos valores específicos de simplifique la solución analítica de este problema.

Hallar la temperatura

parcial

(t , x)  (0, ) x (0, l ) [1]

; es decir

U (t , o)  U (t , l )  0 ;

t0

Condiciones de frontera Condición inicial

U (0, x)  f ( x ) 0  x  l

Este problema es llamado un problema mixto, es decir es un problema de valores en la frontera (para la variable x), dado por la tercera línea de [1] y es un problema de Cauchy (o valores iníciales para la variable t) dado por la cuarta línea en [1]. i-) Solución analítica Usaremos el método de separación de variables para obtener soluciones U j para el problema de valores en la frontera y luego el principio de superposición para encontrar una general.

U (t , x) Así asumimos que

tiene la forma (lo cual no es trivial)

U (t , x)  T ( x) X ( x)

U (t , x )=T (t ) X ( x)

[2]

Al remplazar [2] en la segunda línea de [1] obtenemos

X ( x )T ’ (t )=X ’ ’ ( x)T (t) [3] La idea crucial en este método es reducir el problema de valores en la frontera a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (desacoplado) junto con condiciones iníciales o de frontera el cual esperamos poder resolver. Ahora al separar las variables en [3] obtenemos

X '' ( x ) T ' (t ) =−λ λ =−λ λ X (x) T (t) Donde

[5]

λ λ inicialmente puede ser una constante compleja.

Así obtenemos los siguientes problemas, la EDO es la variable t

T ’ (t)=−λ λ T (t) t> 0

[6]

Y la EDO en la variable x

X ’ ’ (x)=−λ X ( x)

[7]

Nota: el problema 7 obviamente es una ecuación diferencial, sin embargo podemos escribirlo como

 X ' ' ( x )  X ( x )

A( X ( x))  X ( x) Recordando la notación de algebra lineal podemos escribir el problema como Donde A es la transformación lineal –D2 es decir, menos la segunda derivada la cual se comporta como una matriz simétrica en el sentido que AU.V=U.AV este tipo de operadores es llamado simétricos, para este caso el equivalente seria ( Af , g)=(f, Ag) es decir

 ( Af ) g   f ( Ag ) Entonces el problema 7 es un problema de valores y vectores propios, es decir lamndaseria el valor propio y X seria el vector propio, y al igual que en el caso de las matrices simétricas los valores propios son reales. Es mas, el teorema espectral nos dice que los valores propios son reales y positivos y que los vectores propios asociados a estos valores propios son ortogonales. Con lo cual descartamos el caso de los complejos. Ahora cuando imponemos las condiciones de frontera [1] es decir

U (t ,0)=u(t , l)=0[2] obtenemos

U ( t , 0 )=T ( t ) X ( 0 ) y así obtenemos x ( 0 )=0 ( ya que siT (t)=0 ; u( x ,t )=0) Y de forma análoga

x (l)=0

Con lo cual ya sabemos solucionar por ecuaciones ordinarias, para esto primero veremos que

λ

debe ser positivo.

Supongamos que X ( x)es solución de [8 ] y consideremos el producto de (−X ’ ’ ( x), X (x)) Esto es l

∫−X ’ ’ ( x ) X ( x ) dx Integrando por partes con u=x ( x) ; 0

du=x ’ ( x)dx ; dv=−x ’ ’ (x)dx ; v=−x ’ (x ) Obtenemos:

x X (¿) ¿ ¿ '

l

−∫ X ’ ’ ( x ) X ( x ) dx=−x' ( x ) x ( x )∨ 0

l 0

+

l

∫¿ 0

x X (¿) ¿ ¿ '

l

−x ’( 0) x (0)+ x ’ (l) x (l)+∫ ¿ −l

Así

x X (¿) ¿ ¿ '

l

Como

l

−X ’ ’(x )=λ X ( x)

−∫ X ’ ’ ( x ) X ( x ) dx=∫ ¿ 0

−l

Obtenemos

x X (¿) ¿ ¿ 2 dx ¿ x ' X (¿) ¿ ¿

[9]

l

∫¿ −l

como buscamos una solución trivial y continua para x(x) entonces

x X ( ¿) ¿ ¿ 2 dx ¿ l

∫¿ 0

ahora,

x X (¿) ¿ ¿ Así fuera cero x’(x) = 0 y así x(x) seria constante, pero como l '

∫¿ 0

x(0) = 0 entonces x = 0 y así u = 0 por lo tanto

λ >0

Ahora volviendo a la EDO [8] es decir X’’(x)+ λ x(x) = 0

m2    0

Escribimos la ecuación auxiliar y así

resolviendo obtenemos las raíces

m   i por lo tanto la solución de x

X ( x)  A cos  x  Bsen  x Ahora, ya que los vectores propios son cosenos y senos el teorema espectral afirma que ellos son ortogonales entre si ver ejercicio (marica toca poner el ejercicio de las integrales de senos y cosenos para ver que son cero). Ahora con las condiciones de frontera en [8] obtenemos

X ( 0)=A=0 X ( x )  Bsen  y Y así Obtenemos

x(l )  0 tomando

B Sen √ λl=0 asi B=0 o b Sen √ λ l=0 Pero como B ≠ 0 (de lo contrario u(x,t) = 0) Necesitamos que

+¿ B Sen √ λl =0 y asi √ λ l=kπ donde kε Z¿

y así los valores que puede tomar

kZ



k 2 l2 son

+¿ k 2 π2 λ son 2 para cada kε Z ¿ l

para cada



Así para cada valor así:

+¿ k  Z  kε Z ¿

 k 2 2 2  l

xk  Bk sen



x   (10)

k tenemos

xk y para cada uno de estos una solución de [8]

Ahora resolveremos el problema [6] para estos valores de

λ

T ´(t )  T (t ), t  0

T (t )   T (t ) ln T (t )  t T (t )  e



k 2 2 l2

t

Y así tenemos las soluciones  k 2 2

Tk (t )  e

l2

t

[11] Combinando [2], [10] y [11] obtenemos una familia de soluciones para [1]

Así

 k   U k (t , x)  bk sen x e  l 

k 2 2 l2

t

Y usando el principio de superposición ( ya que la EDP es lineal)

 k   U (t , x)   bk sen x e  l  1 

k 2 2 l2

t

[12]

Ahora necesitamos ver quiénes son los coeficientes b k y ver que estos no dañen la convergencia de la serie [12]. Para ver quiénes son, usamos la condición inicial es el problema [1] 

 k  x  l 

U (0, x)   bk sen 1

[13]

Así nuestro problema se reduce a ver la función f como una serie de Fourier en senos.

Para despejar los bk usamos las relaciones de ortogonalidad de los senos es decir multiplicamos (en

 k k 2 π 2 sen sen ( 2 )  l l

el sentido de producto punto por



 x 

y obtenemos (reordenando

2  k  f ( y ) sen y  dy  l 0  l  l

bk 

):

2  k   k   U ( y, x)    f ( y ) sen y  dy * sen x e  l   l  1 l 0 l



k 2 2 l2

t

[15] Siempre y cuando los coeficientes bk caigan lo suficiente para asegurar la convergencia de esta serie y la de las series formadas al derivar termino a término.

Así en el problema 1 tenemos l = 0 y f(x) = x Entonces 1

bk  2 xsen( 0

k 2(1) k 1 x )dx  l k (17)

kπ l x sen(¿ x )dx 1

bk =2∫ ¿ 0

∞

k +1

(−1) 2 U (x ,t )= ∑ π k=1 k

sen (kπx )e−k

2

2

π t

Ahora si queremos conocer por ejemplo el valor de la temperatura en t= 3 y x= 0,8 ii-) Solución Numérica Para la solución numérica; tomaremos un ejercicio para que sea mas clara la explicación de este método. Recordemos el problema a solucionar:

[o ,∞]∗[o ,l] (0, ∞)∗(0, l)ᴖ C ¿ U ԐC2¿ U t  U xx

(t , x)  (0, ) x (0, l )

U (t , o)  U (t , l )  0 ; U (0, x )  f ( x)

t0

[1]

f (0)  f (l )  0 Donde

T ≥0

U ( T , 0 )=U ( T ,2 ) =0 f ( x)  x 2  2 x Sea

(18)

Recordemos que este es el problema de medir el calor en cada punto (T,X) de una barra delgada de

x la longitud 2, así escogemos una partición en

t y otra en

(dependiendo de la exactitud que se

t  0,4 y x  1 requiera) por ejemplo haremos (veamos la figura) los cuales demostraremos por:

u ij

uj i

al punto de coordenadas

( xi , T J )

xo=0

Donde;

Esto crea un conjunto de puntos en el plano

xi=x 0+i ∆t tj=¿+ j ∆ t

¿=0

Ahora usando diferencias finitas centradas en los puntos interiores para aproximar la derivada espacial (en X) obtenemos. j

j

∂ u j ui+1−u j−1 ( u )= 2 ∆ x ∂x i Y para la segunda derivada j

j

j

2 ∂ u j u i+1−2 ui +u i−1 u = 2 ( i) 2 (19) ∂x (∆ x )

Y en la variable temporal (en t) usaremos diferencias finitas hacia adelante así j+1 j ∂u j ui −u i−1 (u )= ∆ t ∂t i

Nota: la razón de usar diferencias finitas hacia adelante en la variable temporal y no centradas en que el sistema de ecuaciones más adelante tiene más incógnitas que ecuaciones.

U t  U xx Sustituyendo (18) y (19) en

❑ t

u =x xx obtenemos

j+1

j

j

j

j

u i −ui ui+1 −2u i +ui−1 = 2 ∆t (∆ x ) Rescribiendo tenemos j +1

ui =

∆t j j j j (ui +1−2 ui +ui −1 )+ ui 2 (20) (∆ x )

Esta relación (20) se tiene para los puntos interiores, para los puntos en las fronteras se usan las condiciones iníciales y las de las fronteras del problema (17). Así rescribiendo (20) para nuestro ejemplo obtenemos.

j +1

ui =

j +1

ui =

1 j j j j (ui+1 −2u i +ui−1)+u i 2 ( 0.4 ) 100 j 184 j 100 j ui +1− u+ u 16 16 i 16 i−1

(21) Y los puntos de frontera obtenemos

u30=0

u35=0

u20=0

u25=0

u10=0

u15=0

0

0

u0=0

u1=0.64

0

u2=0.96

0

u3=0.96

Y para los puntos interiores en el tiempo t=1 tendríamos:

j=1i=1,2,3,4 enla ecu .(21)



U 11= 1

100 0 184 0 100 0 U − U + U 16 2 16 1 16 0

U 1=−1.36

0

u4 =0,64

0

u5=0

U 12=



100 3 184 0 100 0 U − U + U 16 0 16 2 16 1

U 12=−1.04

U 13=



100 0 184 0 100 0 U − U + U 16 4 16 3 16 2

1

U 3=−1.04 1

U4=



100 0 184 0 100 0 U − U + U 16 5 16 4 16 3

U 14 =−1.36

Es decir, podemos conocer el estado de la barra en un tiempo futuro si sabemos su estado en un tiempo anterior, ahora para t=2 tenemos:

j=2i=1,2,3,4 1

100 1 184 1 100 1 1 U − U + U U =9.14 16 2 16 1 16 0 2



U 2=



U 2=

100 1 184 1 100 1 2 U − U + U U =0.64 16 3 16 2 16 1 2

U 11=

100 184 (0.96)− (0.64) 16 16

2

| 

U 11=−1.36



U 12=

100 184 100 ( 0.96 )− ( 0.96 )+ ( 0.64 ) 16 16 16

U 12=−1.04



1

U 3=

100 184 100 ( 0.64 )− ( 0.64 ) + ( 0.96) 16 16 16

U 13=−1.04

1

U4=

100 184 184 ( 0 )− ( 0.64 ) + (0.96) 16 16 16

Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables Las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas parciales se llaman Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) y aparecen frecuentemente en problemas de física, química, ingeniería, etc.

Cuando abordamos las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP); nos referimos exclusivamente a las que son separables, ya que esta teoría es demasiada compleja y no se tratara en este libro; si se quiere ampliar este tema ver : “ IntroductiontoPartialDifferentialEquations” de Donald Greenspan. La forma general de una Ecuación diferencial parcial, lineal de orden 2 es:

A

 2u  2u  2u u u  B  C D E  Fu  G 2 2 x xy y x y

A

d2u d2 u d2 u du du + B +C + D + E + Fu=G 2 2 dx∗dy dx dy dx dy

Donde los coeficientes A,B,C,D,E,F,Gson funciones que están en términos de x yy; si además se cumple que G(x,y)=0 se dice que la EDP es homogénea de lo contrario es no homogénea. Una forma equivalente de escritura es:

 2u  2u  2u u  2u  U  U  U xy u  U x Uy  U yy yx 2 xx y xy yx y x x 2 Observemos algunos ejemplos de EDO homogéneas y no homogéneas:

 2u Ux x 2

homogénea

U xx  3U xy  2U yy  U x  0 homogénea

 2u k 2 U y,k  0 x

a2

homogénea

 2u  2u  5 x 2 y 2 No homogénea

Método de solución de Separación de Variables Como se dijo anteriormente; solamente trabajaremos EDP en variables separables. U ( x, y )  X ( x)Y ( y )

Inicialmente escribiremos la forma de la solución, que es

, donde el primer

factor esta en términos de x y el segundo factor en términos de y; adicionalmente definiremos las primeras y segundas derivadas así:

k

d 2 u dy = 2 d x dt U x  X Y U y  XY ´ U xy  X Y 

U xx  X Y

U yy  XY 

Al plantearse la EDP se aplica este remplazo y tratamos de agrupar términos semejantes, de forma tal, que se pueda generar una igualdad que garantice que en cada lado de la igualdad exista una sola variable; una vez logrado esto, llegamos a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario, independiente en cada lado de la igualdad. Ejemplo.

 2U  2U  U x 2 y 2 Dada la siguiente EDP, Resolver U ( x , y )= X ( x )∗Y ( y )



du =x ' y dx

resolverla



du ' =x y dy



d2 u =x ' y ' dxdy



d u '' =x y 2 dx



d u =xy ' ' 2 dy

2

2



x ´ ´ y + xy ´ ´=xy x ´ ´ y=xy −x y ' ' x ´ ´ y=x ( y− y' ' ) x ´ ´ ( y− y ´ ´ ) = x y

Tenemos tres tipos de solución:

a.

Cada expresión igualada a un número positivo

2

b. Cada expresión igualado a un número negativo -

2

c. Cada expresión igualado a cero Resolveremos primero el item a.

y  y"  2 y

x  2 x y

a la vez

x  2 x  0

y" y (2  1)  0

Con ecuación auxiliar

Con ecuación auxiliar

m 2  2  0

m 2  (1  2 )  0

Cuya solución es:

Cuya solución es:

ojo falta

Y ( y )  c3e

X ( x)  c1ex  c2e  x

1  2 y

 c4 e 

1  2 y

;0    1

Luego la solución para el caso positivo es:

X ( x)Y ( y )  (c1e x  c2e  x )(c3e

1  2 y

 c4e 

1  2 y

);0    1

Se deja como ejercicio la solución para los otros dos casos.

CLASIFICACION Al trabajar con EDP lineales de orden 2, se presentan tres ecuaciones que son muy importantes

u  2u k 2 t x

2  2u 2  u  a t 2 x 2

2  2u 2  u   a t 2 x 2

(Calor), ( Onda) , (Laplace), que son ecuaciones que modelan algunos problemas de fenómenos físicos; aplicando la transformada de Fourier a cada una de ellas podemos ver formas conocidas y trabajadas en la geometría analítica, que son parábola, hipérbola y elipse respectivamente, cualquier EDP lineal de orden 2 con coeficientes constantes es muy similar a una de esta tres ecuaciones (vía la transformada de Fourier) La siguiente forma de clasificarlas es precisamente ver el parecido que tienen la forma general con alguna de nuestras tres ecuaciones fundamentales (calor onda y Laplace) Dada la forma general

A

A

d2u d2 u d2 u du du + B +C + D + E + Fu=G 2 2 dx∗dy dx dy dx dy

 2u  2u  2u u u  B  C D E  Fu  G 2 2 x xy y x y

Definiremos el discriminante

d  B 2  4 AC

U t  U xx Inicialmente tomando la ecuación del calor se tiene:

, se tiene que el discriminante es

t  x2

igual a cero, viendo la forma de la ecuación del calor notamos una similitud con ( Que se llega mediante la aplicación de la transformada de Fourier a la ecuación) esto motiva a llamar a este tipo de ecuaciones Parabólicas. Definición: Una ecuación Diferencial Parcial con coeficientes, lineal y de orden 2 se dice parabólica si

d  B 2  4 AC  0

.

U tt  U xx  0 A continuación tomando la ecuación de onda se tiene: , se tiene que el discriminante es mayor que cero, viendo la forma de la ecuación de onda notamos una similitud

t 2  x2  0

con ( que se llega mediante la aplicación de la transformada de Fourier a la ecuación) esto motiva a llamar a este tipo de ecuaciones Hiperbólicas. Definición: Una ecuación Diferencial Parcial con coeficientes, lineal y de orden 2 se dice hiperbólica si

d  B 2  4 AC  0

.

U tt  U xx  0 Finalmente tomando la ecuación de Laplace se tiene: , se tiene que el discriminante es menor que cero, viendo la forma de la ecuación de Laplace notamos una

t 2  x2  0

similitud con ( que se llega mediante la aplicación de la transformada de Fourier a la ecuación) esto motiva a llamar a este tipo de ecuaciones Elípticas. Definición: Una ecuación Diferencial Parcial con coeficientes, lineal y de orden 2 se dice Elíptica si

d  B 2  4 AC  0

.

Lo resumiremos en el siguiente cuadro   

Hiperbólica si Parabólica si Elíptica

si

B 2  4 AC  0 B 2−4 ac> 0 2 2 B −4 ac=¿ B  4 AC  0 2 B 2−4 ac< 0 B  4 AC  0

2

d u dy Parabolica k d x 2 = dt ; k>0





d2u d2 y Hiperbolica a d x 2 = d t 2



d2u d2u Eliptica d x 2 + d y 2 =0

2

TRANSFORMACIONES A FIN  Resuelva por Separación de variables la EDP

U xx  3U xy  2U yy  U x  0 1 Al separar sus variables X ( x)  X Y ( y)  Y

U ( x, y )  X ( x )Y ( y ) Donde U x  X Y U xy  X Y 

U xx  X Y

U yy  XY 

Así X Y  3 X Y   2 XY   X Y  0

Aquí es fácil ver que no es posible separar las variables; ya que no se puede generar ningún tipo de agrupación de variables semejantes. Considerar una transformación afín, para esto primero clasificaremos la E.D.P

1 Considerar una transformación afín, para esto primero clasificaremos la E.D.P

A  1 B  3 C  2

así el discriminante es

B 2  4 AC  17  0

es decir la ecuación es hiperbólica

A, B, C  0

y como

usamos. V 

W 

B X  2Y A

B 2  4 AC X A

 1  3  2  17  1  2  2  0 Asi Es decir

V  3 X  2Y W  17 x X ,Y Así despejando

tenemos

la cual tiene ,

X  Y

w 17 17V  3W 2

17



v  2

3 2

17

w

Con esta transformación afín, buscamos llegar a las nuevas variables de la ecuación de la onda, la cual podemos escribir como:

U vv  U ww  

3 17 Uv  Uw  2 17 17

Ya con esta buscamos aplicar separación de variables

f (v )  f g ( w)  g

U (v, w)  f (v) g (v) Así escribimos

U v  f g U w  fg 

 2

U ww  fg  Reescribiendo

f g  fg   

llegamos a

3 17 f g  fg  17 17

en la cual es fácil ver, después de manipular algebraicamente que las variables se pueden separar

f  

3 17 f g   g  17  17 f g

Como vemos la parte izquierda depende exclusivamente de v y la parte derecha de w, asi es constante, por tanto, llegamos a un sistema desligado de dos ecuaciones diferenciales ordinarias.

f  

1

 2

3 f 17 C f

17 g   g  17 C g

Trabajamos la parte 1.

f  

1

3 f   Cf  0 17

Llevando a la ecuación auxiliar

m2 

m



3 mC  0 17

3 9   41 C 17 289 2 Lo cual nos lleva a tres casos

9  4C  0 289

C

1.

9 4 289 

es decir Así

m1  

3 4

f  v   C1e

m2   

3v 34

 C2e



3 4

3v 34

Por lo tanto

 2 Y así para

g  

17 9 g  g0 17 1156

Nuevamente con la ecuación auxiliar llegamos a

m1 

26  17 34

m2 

 26  17 34

Por tanto  

g  w  d 1 e  

26  17   w  34 



  

 d 2e

26  17   w  34 

Por lo tanto



U  v, w   C1e 



3v 34

 C2 e



3v 34

  

 

  d 1e 





86  17   w  34 

 d 2e



  26  17    w   34  

  

Así usando la transformación llegamos a



U  x, y    C1e 



3v  3 x  2 y  34

 C 2   3x  2 y 



3v  3 x  2 y  34

  

 

  d1e 





26  17    34 

17 x

 d2e

  26  17      34  

9 1156

C es decir

Las raíces (de la auxiliar) son reales y diferentes

m1 



3 9   4C 17 289 2

Sea

m2 



3 9   4C 17 289 2

y

Así las soluciones son

 

 

 

f  v    C1e     









 



3 9  4C 17 289 2

Y para la parte que depende de w



  



V 

 C2 e



 

2. Ahora consideremos cuando

9  4C  0 289





17 x

 

3 9  4C 17 289 2 





V





 









g  

17 g   cg  0 17

La auxiliar

m2 

m



17 g   Cg  0 17 17 1   4C 17 17 2

m1

4C  Consideremos solo

Así llegamos a las raíces

m2 y

 





 

 g  w   d 1e     







 



17 1   4C 17 17 2 

   w  

Los otros casos de dejan al lector.

´ ´x + E ´ U ´y + F´ U=G ´ ´ + B´ U xy+ ´ C´ U yy+ ´ DU A´ U xx

U x , y= X ( x )∗Y ( y ) U x=X ´ ( x )∗Y ( y ) U y=X ( x )∗Y ´ ( y ) U xx=X ´ ´ ( x )∗Y ( y )



 d 2e



 

17 1   4C 17 17 2 





 w





 









1 0 17

U yy=X ( x )∗Y ´ ´ ( y ) U xy=X ´ ( x )∗Y ´ ( y ) ´x =α 1 x + β 1 x ´y =α 2 x + β 2 y



3 U xx +2 U xy +5U y −3 U x =0

´x =2 x− y

´y =x +3 y du du ∗d ´x ∗d ´y du dx dy U x= = + dx dx dx U x =U x´ ∗´x x +U y∗´y x ¿ 2U ´x +U y



U y=U ´x∗´x y+U ´y ∗Y´ y ¿ ( U ´x∗(−1 ) )+ ( U ´y∗( 3 ) ) ¿−U x´ +3 U ´y



U xx=( U x )∗x ¿ 2 ( U ´x +U ´y )∗x=2 ( U ´x )∗x+ ( U ´y )∗x

´ X´ x ) + ( U xy∗ ´ Y´ x ) ] + [ ( U yx∗ ´ X´ x ) + ( U yy∗ ´ Y´ x ) ] ¿ 2 [ ( U xx∗

¿ 2 [ ( U xx∗2 ´ )+ ( U xy∗1 ´ ) ] + [( U yx∗2 ´ )+ ( U yy∗1 ´ )] ¿ 4 U xx ´ +2 U xy ´ +2 U xy ´ +U yy ´ ¿ 4 U xx ´ +4 U xy ´ +U yy ´ 

U xy=( U x )∗y ¿ 2U ´x +U ´y =2 ( U ´x )∗y + ( U ´y )∗y

´ X´ y )+ ( U ´x y∗Y´ y ) ] +[( U xy∗ ´ X´ y ) + ( Y yy∗ ´ Y´ y ) ] ¿ 2 [ ( U xx∗ ¿ 2 [ ( U xx∗ ´ (−1 ) ) + ( U xy∗3 ´ ) ] + [ ( U xy∗ ´ (−1 ) ) + ( Y yy∗3 ´ )]

¿−2U xx ´ +6 U xy−U ´ xy ´ +3 U yy ´ ¿−2U xx ´ +5 U xy ´ +3 U yy ´

12U xx ´ +12U xy ´ +3 U yy−4 ´ U xx+ ´ 10U xy ´ +6 U yy−5U ´ ´x +15 U ´y −6 U ´x −3 U ´y =0

8 U xx+22 ´ U xy ´ +9 U yy−11 ´ U ´x + 12U ´y =0 2 ´ A=α 1 A +α 1 β 1 B+ β 1 C

´ B=2 α 1 α 2 A+ α 1 β 2 B+ α 2 β1 B+2 β 1 β2 C

2 2 ´ C=α 1 A+α 2 β 2 B+ β2 C

´ D=α 1 D+ β 1 E

´ E=α 2 D+ β 2 E

´ F=F

´ G=G Caso #1 PARABOLICO



B 2−4 AC =0

Calor

´x =

B x+ y 2A

´y =

−B x+ y 2A

Caso #2 ELIPTICA



2

B −4 AC < 0 ´x =

Laplace

−B x+y 2A

4 AC −B 2 √ ´y = x 2A

Caso #3 HIPERBOLICA



2

B −4 AC > 0 o

Onda

SiA≠0, B≠0, C≠0

“o” A±0, B±0, C=0

“o” A±0, B=0, C±0

´x =

−B x +2 y A

´y = √

o

B2 −4 AC x A

Si A=0, B≠0, C±0

´x =2 x−

´y =

o

Si A=0,

B y C

B y C

B≠0, C=0

´x =x+ y ´y =x− y

EJEMPLOS

2)