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MÉTODOS NUMÉRICOS - INGENIERÍA CIVIL - PROF: HARVETH GIL

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES - Ecuaciones parabólicas (diferencias finitas). La ecuación de conducción de calor. En una forma similar a la derivación de la ecuación de Laplace, la conservación del calor puede ser usada para desarrollar un balance de calor para un elemento diferencial en una barra larga, aislada como en la figura:

Sin embargo, más allá de examinar la condición en estado estacionario, este nuevo balance considerará la cantidad de calor almacenado en el elemento sobre un período de tiempo Δt. De esta forma el balance quedaría entradas-salidas=almacenaje.



q T  C x t

Substituyendo la ley de Fourier de la conducción de calor, resulta en:

k

 2T T  x 2 t

la cual es la ecuación de conducción de calor. De igual forma que con las ecuaciones diferenciales parciales elípticas, las ecuaciones parabólicas pueden ser resueltas substituyendo las derivadas parciales por diferencias finitas divididas. Sin embargo, en contraste con las PDE elípticas, se debe considerar ahora los cambios tanto en el tiempo como en el espacio. - Métodos explícitos. La ecuación de conducción de calor requiere aproximaciones para la segunda derivada en el espacio y la primera derivada en el tiempo. La primera es representada en la misma forma como para la ecuación de Laplace mediante unas diferencias finitas centradas:

 2T T t i 1  2T t i  T t i 1  x 2 x 2

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Note que el superíndice denota el tiempo. Una diferencia finita dividida es usada para aproximar la derivada en el tiempo:

T T t 1i  T t i  t t Substituyendo las diferencias finitas en la ecuación diferencial tenemos que:

k

T t i 1  2T t i  T t i1 T t 1i  T t i  x 2 t

la cual puede ser resuelta para:

Ti

t 1

 T t i   (T t i1  2T t i  T t i1 )

donde

  kt /( x) 2 Esta ecuación puede ser usada para todos los nodos internos. Provee un medio explícito para calcular valores en cada nodo para un tiempo futuro basado en los valores presentes en el nodo y en sus vecinos. Note que esta aproximación es en realidad una manifestación del método de Euler para resolver sistemas ODEs. - Ejemplo. Use el método explícito para encontrar la distribución de temperatura de una barra delgada, larga con una longitud de 10 cm y los siguientes valores: k'=0.49cal(s.cm.ºC), Δx=2cm, y Δt=0.1s. En t=0 la temperatura de la barra es cero y las condiciones de frontera son fijas para todos los tiempos a T(0)=100ºCy T(10)=50ºC. La barra es de aluminio con C=0.2174cal/(g.ºC) y ρ=2.7g/cm3. Por eso k=0.49/(2.7*0.2174)=0.835cm2/s y λ=0.835(0.1)/(22)=0.020875. Solución. Aplicando la ecuación para el valor en t=0.1s en el nodo a 2cm tenemos:

Ti

t 1

 T t i   (T t i1  2T t i  T t i1 )

0.1

 0  0.0208750  2(0)  100  2.0875

0.1

 0  0.0208750  2(0)  0  0

T1

T2

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T3

0.1

 0  0.0208750  2(0)  0  0

T4

0.1

 0  0.02087550  2(0)  0  1.0438

En t=0.2s, los valores en los cuatro nodos interiores son calculados como: 0.2

 2.0875  0.0208750  2(2.0875)  100  4.0878

T2

0.2

 0  0.0208750  2(0)  2.0875  0.043577

T3

0.2

 0  0.0208751.0438  2(0)  0  0.021788

T4

0.2

 1.0438  0.02087550  2(1.0438)  0  2.0439

T1

El cálculo continúa, y el resultado usando intervalos de tres segundos es:

- Convergencia y estabilidad. La convergencia significa que mientras que Δx como Δt se aproximan a cero, los resultados de la técnica de diferencias finitas se aproximan a la solución verdadera. La estabilidad significa que los errores en cualquier punto del cálculo no son amplificados sino atenuados a medida que el cálculo progresa. El método explícito es estable y convergente si λ≤1/2, o

t 

1 x 2 2 k

La siguiente figura muestra un ejemplo de inestabilidad con λ=0.735

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- Condiciones de frontera de derivada. Como en el caso de las PDE elípticas, las condiciones de frontera de derivada pueden ser incorporadas dentro de las ecuaciones parabólicas mediante el uso de puntos imaginarios en los extremos.

Referencias: - J. Kiusalaas, Numerical methods in engineering with Matlab, Cambridge University Press (2005). - S.C. Chapra, Applied numerical methods with Matlab, Mc Graw Hill (2008). - C. Woodford y C. Phillips, Numerical methods with worked examples, Springer (1997).