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• Francklin Erick Mamani Chambi

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Cálculo III para Ingeniería Civil

Semana 13

UNIDAD 3 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

3.1 Series de Fourier 3.1.1 Producto interno de Funciones

f1

El producto interno de dos funciones



y

f2

en un intervalo

 a; b

es el número

b

f1 ; f 2    f1  x  f 2  x  dx a

3.1.2 Funciones ortogonales Se dice que dos funciones



f1

y

f2

son ortogonales en un intervalo

 a; b 

si

b

f1 ; f 2    f1  x  f 2  x  dx  0 a

Ejemplo. Verificar si las funciones

f1  x   x 7

Lic. Joel Chavarri Becerra

y

f 2  x   x10

son ortogonales en el intervalo

 1;1

1

Semana 13

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3.1.3 Conjunto Ortogonal Se dice que un conjunto de funciones con valores reales

   x  ;   x  ;  x  ;  x  ;... 0

1

2

3

b

es ortogonal en un intervalo

 a; b

si

 m ;n    m  x  n  x  dx  0; m  n a

Ejemplo Demuestre que el conjunto

 1;cos x;cos 2 x;cos 3x;...

es ortogonal en el intervalo

  ;  

3.1.4 Conjuntos ortonormales

 La norma cuadrada de una función n es norma, o su longitud generalizada, es

Lic. Joel Chavarri Becerra

n  x 

n  x  

2

  n  x  ; n  x  

y entonces la

   x  ;  x   . En otras palabras, en n

n

2

Cálculo III para Ingeniería Civil un conjunto ortogonal

respectivamente, Si

   x n

   x

n  x 

n

2

Semana 13

la norma cuadrada y la norma de una función

b

  n

2

 x  dx

a

n  x   y

b

   x  dx 2

n

a

 a; b

es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo

propiedad de que

n  x   1

n , son,



  x para n  0;1; 2;3;... entonces se dice que n

con la



es un

conjunto ortonormal en el intervalo. Ejemplo Encuentre las normas de cada función en el conjunto ortogonal dado en el ejemplo anterior

3.1.5 Conjunto ortogonal y función Peso

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3

Cálculo III para Ingeniería Civil Se dice que un conjunto de funciones con valor real

ortogonal respecto a una función peso

w x

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   x  ;  x  ;  x  ;  x  ;... 0

en un intervalo

1

2

3

es

 a; b si

b

 w  x    x    x  dx  0; m  n m

n

a

3.2 Series de Fourier

 p; p La serie de Fourier de una función f definida en el intervalo está dada por:

f  x 

 n   n  a0      an cos  x  bn sen x  2 n 1  p   p   , donde: p

a0 

1 f  x  dx p p

p

 n  1 an   f  x  cos  x dx p p  p  p

bn 

 n  1 f  x  sen  x dx  p p  p 

Ejemplo

Expanda

 0;   x  0    x;0  x   en una serie de Fourier.

f  x  

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3.2.1 Teorema. Condiciones para la convergencia  p; p Sean f y f ' funciones continuas en el intervalo ; esto es, establezcamos f y f ' continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo y con

discontinuidades finitas sólo en estos puntos. Entonces, la serie de Fourier de f en el

intervalo converge a

f  x

en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad,

f  x   f  x  2 la serie de Fourier converge al promedio

donde

f  x 

y

f  x 

denotan el límite de f en x de derecha a izquierda, respectivamente.

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3.3 Ejercicios Demuestre que las funciones dadas son ortogonales en el intervalo dado. f1  x   x; f 2  x   x 2 ;  2; 2

1.

f1  x   e x ; f 2  x   xe  x  e  x ;  0; 2

2.

   f1  x   x; f 2  x   cos  2 x  ;   ;   2 2

3.

Demuestre que cada conjunto de funciones es ortogonal en el intervalo indicado. Encuentre la norma de cada función del conjunto

4. 5.

 0;   2

 senx, sen3x, sen5 x,... ; 

 sennx ; n  1, 2,3,...;  0;   

 n  p

 1;cos 

6. 

 x n  1, 2,3,...;  0; p  

Encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado.

7. 8. 9. 10.

 0;   x  0  1; 0  x  

f  x  

 1; 1  x  0  x;0  x  1

f  x  

 0;   x  0

f  x  

2  x ;0  x  

f  x   x   ;   x    0; 2  x  1  2; 1  x  0 

f  x  

11. 12. 13. 14.

 1; 0  x  1  0;1  x  2  1; 5  x  0  1  x; 0  x  5

f  x  

f  x   e x ;   x    0;   x  0  senx;0  x  

f  x  

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