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• AdriánÁvilaSarmiento

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MATEMÁTICAS APLICADAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Bibliografía: 1. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería – Kreyszig 10ma. Edición, capítulo 12: 12.1, 12.3, 12.4 2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 1, Ecuaciones Diferenciales – Dennis Zill & Michael Cullen 3ra. Edición, capítulo 11: 11.1. 3. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera – Boyce DiPrima, 4ta Edición, capítulo 10.

Septiembre 2017 – Febrero 2018

CONCEPTOS SOBRE EDP Una ecuación diferencial parcial (EDP) es aquella que contiene una o más derivadas parciales con respecto a varias variables independientes 3  2u  u   2u xyz    e   x 2  z  yz

Orden de la EDP: Corresponde a la derivada de mayor orden. Grado de la EDP: Corresponde a la potencia de la derivada de mayor orden.

EDP Homogénea: Aquella que no tiene el término libre de derivadas o variables dependientes.  2u  2u 4

x

2

 3z

yz

0

EDP no Homogénea: Aquella que contiene términos libres de derivadas o variables dependientes.  2 y y sen(t ) 2   s  t2 t s

CONCEPTOS SOBRE EDP EDP con coeficientes constantes: Los coeficientes que acompañan a los términos que conforman la ecuación son constantes literales o numéricas. 2z 2z a

x

3

2

y

2

 5 xy

EDP con coeficientes variables: Los coeficientes que acompañan a los términos que conforman la ecuación son funciones de las variables independientes. 2z 2z 2y

x

2

 xy

y

2

 5x

Una EDP es líneal si es de primer grado en la variable dependiente y sus derivadas parciales. 2  2u  2u  2u  2  u  c  2  2  2  2 t y z   x

 2u 2 2  c u 2 t

Ecuación de Onda

2 u  2u  2u  2  u  c  2  2  2  t y z   x

u  c 2 2u t

Ecuación de Calor

 2u  2u  2u  2  2  f ( x, y , z ) 2 x y z

 u  f ( x, y , z )

Ecuación de Poisson

2

Si 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 se denomina Ecuación de Laplace

CONCEPTOS SOBRE EDP La solución de una EDP es aquella que satisface la ecuación diferencial. Una EDP puede tener varias soluciones que satisfacen la ecuación diferencial pero una solución única corresponde a un problema físico con condiciones de frontera análogas a las condiciones iniciales. Para una EDP lineal y homogénea las soluciones pueden encontrarse utilizando el principio de la superposición. Teorema: Si las funciones 𝑢1 y 𝑢2 son soluciones cualesquiera de una EDP lineal y homogénea en alguna región, entonces 𝒖 = 𝒄𝟏 𝒖𝟏 + 𝒄𝟐 𝒖𝟐 con 𝑐1 y 𝑐2 constantes cualesquiera, también es solución de esa ecuación diferencial en esa región.

Ejemplo 1: Demostrar que las siguientes soluciones satisfacen la ecuación de Laplace en dos dimensiones.

a) u 

1 x2  y2

b) u  ln x 2  y 2 

CONCEPTOS SOBRE EDP Complementado con la idea anterior se tiene el método de integración por partes. Este método solo es utilizado en ciertos casos no es un forma general sino mas bien particular. La integración es un proceso inverso al de diferenciación, entonces si por ejemplo: 𝜕𝑢 = 5 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝜕𝑡 Esto integrando parcialmente con respecto a t entonces 5cosx es considerado como una constante 𝑢 = න 5 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 5 𝑐𝑜𝑠𝑥 න 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡

= −5 cos 𝑥 cos 𝑡 + 𝑓(𝑥)

CONCEPTOS SOBRE EDP De forma similar si

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

= 6𝑥 2 cos 2𝑦 esto integrando parcialmente con

respecto a y entonces: 𝜕𝑢 = න 6𝑥 2 𝑐𝑜𝑠2𝑦 = 6𝑥 2 න 𝑐𝑜𝑠2𝑦 𝑑𝑦 𝜕𝑥 1 = 6𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑦 + 𝑓 𝑥 2 = 3𝑥 2 𝑠𝑒𝑛2𝑦 + 𝑓 𝑥 𝜕𝑢 Ahora integrando parcialmente con respecto a x se tiene: 𝜕𝑥 = 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛2𝑦 + 𝑥𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑦) 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔(𝑦) son funciones que pueden ser determinadas si existiera más información. La información necesaria es llamada condiciones de contorno o condiciones iniciales. 2

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial 𝜕𝑢

𝜕2𝑢 𝜕𝑥 2

= 6𝑥 2 (2𝑦 − 1)

condiciones de contorno 𝑥 = 0, 𝜕𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑦 𝑦 𝑢 = cos 𝑦

dada las

SOLUCIÓN DE EDP MEDIANTE EDO Se puede determinar la solución de EDP considerando a la ecuación diferencial como una ecuación diferencial ordinaria EDO si la expresión de la ecuación diferencial contiene derivadas parciales en una sola variable independiente. Las constantes que aparecen en la solución de la EDO deberán ser función de las variables independientes que no tienen derivadas parciales en la ecuación.

Ejemplo 2: Determinar la solución 𝑢(𝑥, 𝑦) de la ecuación diferencial parcial, 𝑢𝑦𝑦 + 6𝑢𝑦 + 13𝑢 = 4𝑒 3𝑦 . Algunas EDP mediante simples cambios de variable se pueden resolver como si fueran EDO. Ejemplo 3: Determinar la solución u(x,y) de la ecuación diferencial parcial 𝑢𝑥𝑥 + 4𝑢 = 0 Ejemplo 4: Determinar la solución 𝑢(𝑥, 𝑦) de la ecuación diferencial parcial, 𝑢𝑥𝑦 = −𝑢𝑥 .

MÉTODO DEL PRODUCTO – SEPARACIÓN DE VARIABLES

El método propone suponer que para una EDP que tiene “n” variables independientes, la solución está constituida del producto de “n” funciones de cada variable independiente:

u ( x1 , x2 , x3 ,  , xn )  f1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) f 3 ( x3 )  f n ( xn ) El objetivo del método es tratar de deducir a partir de la EDP, “n” EDO, para encontrar la solución para cada variable de manera separada. Si existen condiciones iniciales o de frontera (contorno), se deberá aplicar para cada una de las funciones que constituyen la solución y al menos una a la solución final.

Se debe tener en cuenta que las EDP de orden par pueden tener tres tipos de soluciones (triviales, reales o complejas) por lo que la solución definitiva dependerá de las condiciones iniciales si estas se encuentran dadas en el problema.

MÉTODO DEL PRODUCTO – SEPARACIÓN DE VARIABLES

Ejemplo 5: Determinar todas las posibles soluciones mediante el método de separación de variables, para la siguiente ecuación diferencial parcial:

 2u  2u a  2 2 x t 2

SOLUCIONES DE D’ALEMBERT Las soluciones de D’Alembert es un método característico que implica ecuaciones diferenciales parciales de la forma:

  2u  2u  2u u u  A 2  2B  C 2  F  x, y, u , ,  x xy y x y   De esta forma las EDP se pueden dividir en tres tipos: Hiperbólicas

AC  B 2  0

Parabólicas

AC  B 2  0

Elípticas

AC  B 2  0

Las constantes A, B y C también pueden ser funciones de las variables x, y, z, en cuyo caso las EDP serán del tipo mixtas.

El método utiliza una transformación para que la solución de la EDP pueda ser resuelta como una EDO.

SOLUCIONES DE D’ALEMBERT La EDO que se obtiene es conocida como una forma normal, así pues dependiendo del tipo de transformación y del tipo de EDP, la forma normal puede ser: 2 A y '  2 By 'C  0 Esta ecuación permite obtener soluciones denominadas soluciones características. Algunas transformaciones sugeridas son: Hiperbólicas

v 

w 

uvw  F1

Parabólicas

vx

w   

u ww  F2

Elípticas

v  12 (   )

w

1 2i

(  )

uvv  u ww  F3