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Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo

30-03-2019

Ecuaciones Diferenciales Parciales Trabajo de Investigación

Facultad de Ingeniería Civil CADILLO RODRÍGUEZ JOSEPH COLONIA FUENTES PEDRO CRUZ DOLORES CHRISTIAN SALAZAR ALVARADO VRAJAN SIXTO VALENTIN JHOSEP

171.0906.032 171.0906.033 171,0906.022 171.0906.016 171.0906.046

.09

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ÍNDICE: 1.

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 2

2.

RESUMEN ....................................................................................................................... 3 2.1.

3.

ABSTRACT .............................................................................................................. 3

CONTENIDO ................................................................................................................... 4 3.1.

CONCEPTOS BÁSICOS .......................................................................................... 4

3.1.1.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP) ................................... 4

3.1.2.

EDP LINEAL .................................................................................................... 4

3.1.3.

EDP DE SEGUNDO ORDEN LINEAL ............................................................. 4

3.1.4.

CLASIFICACIÓN DE EDPs ............................................................................. 4

3.2.

VIBRACIONES DE SISTEMAS CONTINUOS ........................................................ 5

3.2.1. VIBRACIONES LONGITUDINALES LIBRES EN UNA BARRA. CUERDA VIBRANDO TRANSVERSALMENTE ............................................................................ 5 3.3.

VIBRACIONES LIBRES EN TORSIÓN DE EJES CIRCULARES .......................... 8

3.4.

VIBRACIONES TRANSVERSALES EN FLEXIÓN DE BARRAS PRISMÁTICAS 9

3.4.1.

MODELO DE LA VIGA DE EULER-BERNOULLI ......................................... 9

3.4.2.

MODELO DE LA VIGA DE TIMOSHENKO ................................................. 10

3.4.3.

VIBRACIONES DE LA VIGA DE EULER..................................................... 11

Ejemplo: VIBRACIÓN TRANSVERSAL DE VIGAS ........................................................ 14 4.

CONCLUSIONES .......................................................................................................... 16

5.

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 16

6.

AGRADECIMIENTO ..................................................................................................... 17

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1. INTRODUCCIÓN: En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es aquella ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables independientes, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables independientes. Empero una ecuación que involucre una función matemática de varias variables independientes x, y, z, t,… y las derivadas parciales respecto a esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. La ingeniería civil es la disciplina de la ingeniería profesional que emplea conocimientos de cálculo, mecánica, hidráulica y física para encargarse del diseño, construcción y mantenimiento de las infraestructuras emplazadas en el entorno, incluyendo carreteras, ferrocarriles, puentes, canales, presas, puertos, aeropuertos, diques y otras construcciones relacionadas. La ingeniería civil es la más antigua después de la ingeniería militar, de ahí su nombre para distinguir las actividades no militares con las militares. Tradicionalmente ha sido dividida en varias subdisciplinas incluyendo ingeniería ambiental, agroindustrias, ingeniería, ingeniería geotécnica, geofísica, geodesia, ingeniería de control, ingeniería estructural, mecánica, ingeniería del transporte, ciencias de la Tierra, urbanismo, ordenación del territorio, ingeniería hidráulica, ciencia de materiales, gestión costera, agrimensura, e ingeniería de la construcción. El ingeniero civil ocupa puestos en prácticamente todos los niveles: en el sector público desde el ámbito municipal al gubernamental y en el ámbito privado desde los pequeños consultores autónomos que trabajan en casa hasta los contratados en grandes compañías internacionales. Las ecuaciones diferenciales son interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas, y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales aproximados.

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2. RESUMEN: El presente trabajo estudia la vibración de vigas mediante el modelo de vigas de EulerBernoulli. Este modelo describe la vibración de vigas haciendo uso de ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de frontera, estas ecuaciones al ser resueltas nos dan una función (vibraciones en la viga) en términos de “x” (vibración) y “t” (tiempo). Este modelo es fundamental a la hora de estudiar problemas más reales sobre vigas como con vigas que presentan fisuras, dichos problemas están más relacionados con el curso de resistencia de materiales en cambio el modelo de vigas de Euler-Bernoulli está más ligado al curso de matemática pues se centra en hallar la solución a las ecuaciones que plantea. Palabras clave: Vibración de vigas, modelo de Euler-Bernoulli, ecuaciones diferenciales parciales aplicadas.

2.1. ABSTRACT: The present work studied the vibration of beams using the Euler-Bernoulli beam model. This model describes the vibration of beams by using partial differential equations with the conditions of the boundary, these equations in the resolved ones are a function (vibrations in the beam) in terms of "x" (vibration) and "t" (time ). This model is fundamental when studying the most real problems in the beams that to the current ones that to those that are lent, the problems are more related to the course of the resistance of the materials in the beam model of Euler-Bernoulli is more linked to the course of mathematics because it focuses on the solution of the equations it poses. Key words: Beam vibration, Euler-Bernoulli model, partial differential equations applied.

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3. CONTENIDO: 3.1. CONCEPTOS BÁSICOS: 3.1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP): Una ecuación diferencial parcial es una ecuación que contiene una función desconocida con una o más de sus derivadas parciales. Puede ser escrito de forma: f(x, y, … , u, ux , uy , uxx , uyy , uxy , … ) = 0 Donde u = (x, y, … )es una función desconocida cuyas variables independientes son x. y …. ∂u ux = ∂x

du uy = dy

uxx

∂2 u = 2 ∂x

uxy

∂2 u = ∂y ∂x

3.1.2. EDP LINEAL: Una EDP es lineal si es lineal la función desconocida y sus derivadas parciales con coeficientes dependiendo únicamente sobre las variables independientes. Una EDP se llama cuasilineal si es lineal en la derivada de mayor orden de la función desconocida.

3.1.3. EDP DE SEGUNDO ORDEN LINEAL: Una EDP lineal de segundo orden tiene la forma: n

n

n

∂ ∂u ∂u ∑∑ (aij ) + ∑ bi + cu = g ∂xi ∂xj ∂x i=1 j=1

i=1

Donde aij , bi , c, g son funciones únicamente de x1 , x2 , … , xn n = 1, 2, 3, …

Caso particular. Para n=2 ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂u ∂u A 2 +B + C 2 + D + E + Fu = G ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y

(∗)

3.1.4. CLASIFICACIÓN DE EDPs: La EDP (*) se llama tipo hiperbólico sobre una región si B 2 − 4AC > 0 La EDP (*) se llama tipo parabólico sobre una región si B 2 − 4AC = 0 La EDP (*) se llama tipo elíptico sobre una región si B 2 − 4AC < 0

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3.2. VIBRACIONES DE SISTEMAS CONTINUOS. 3.2.1. VIBRACIONES LONGITUDINALES LIBRES EN UNA BARRA. CUERDA VIBRANDO TRANSVERSALMENTE. Supongamos una barra fija longitudinalmente en ambos extremos (figura a) a la cual se le da una perturbación axial inicial generando vibraciones axiales en la viga. Se quiere determinar la ecuación del movimiento de la barra en vibraciones libres axiales. Consideremos que la barra es homogénea, isotrópica y que sigue la ley de Hooke. u(x, t) = Desplazamiento axial de la sección transversal en x respecto a su posición de equilibrio.

Suponemos que la sección transversal de la viga permanece plana durante las vibraciones (propagación de ondas planas). Esto es efectivo si las dimensiones de la sección transversal son pequeñas respecto a su largo. La ecuación del movimiento para el elemento infinitesimal, dx, es: ∑ Fx = mX N +

∂N ∂2 u(x, t) dx − N = ρAdx ∂x ∂t 2

(1)

Utilizando la ley de Hooke se obtiene: σ = Eε ⟹ N = EA

∂u(x, t) ∂x

∂N ∂2 u(x, t) = EA ∂x ∂x 2

(2)

Reemplazando (2) en (1), se obtiene: Ecuación de la onda en una dirección: ∂2 u(x, t) 1 ∂2 u(x, t) = ∂x 2 c ∂t 2

(3)

Donde: c = √E⁄ρ = Velocidad de propagación de la onda longitudinal o del sonido en el material cuerda vibrando transversalmente.

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Supongamos una cuerda fija en sus extremos, a la que se le da una perturbación inicial transversal (figura b), generando vibraciones transversales en la cuerda. Se quiere determinar la ecuación del movimiento de la cuerda en vibraciones libres transversales. La ecuación del movimiento es: ∑ Fy = my ∂θ ∂2 y T (θ + dx) − Tθ = ρdx 2 ∂x ∂t ∂θ ρ ∂2 y = ∂x T ∂t 2 Introduciendo en la ecuación anterior: θ=

∂y ∂x

Se obtiene: ∂2 y 1 ∂2 y = ∂x 2 c ∂t 2

(4)

Donde: c = √t⁄ρ = Velocidad de propagación de las ondas a lo largo de la cuerda. La solución general de la ecuación (3) o (4) es de la forma: u(x, t) = f1 (x − ct) + f2 (x + ct)

(5)

Donde f1 (x) y f2 (x) son funciones arbitrarias cuyas formas deben satisfacer las condiciones iniciales y de frontera. Físicamente el primer término de la ecuación (5) representa una onda de la forma f1 (x) viajando en la dirección positiva de x con velocidad c y el segundo término una onda de forma f2 (x) viajando en la dirección negativa de x con velocidad c. Aunque la solución (5) es útil para estudiar el movimiento trascendente (onda progresiva), cuando se forma la onda estacionaria es más práctico utilizar el método de separación de variables para resolver la ecuación (3) o (4). En este método, la solución de la ecuación (4) se puede expresar: y(x, t) = Y(x). f(t)

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(6)

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Reemplazando en la ecuación de la onda en la dirección, se obtiene: 2

d2 Y⁄ 2 . f(t) = 1 ∂ f . Y(x) dx c ∂t 2 c 2 ∂2 Y(x) 1 ∂2 f(t) = = cte = −ω2 Y(x) ∂x 2 f(t) ∂t 2 Se obtiene dos ecuaciones diferenciales: ∂2 y ω2 + =0 ∂x 2 c 2 ∂2 f + ω2 f = 0 ∂t 2 Cuyas soluciones son; Y(x) = C1 sin

ω ω x + C2 cos x c c

f(t) = C3 sin ωt + C4 cos ωt Reemplazando en (6) se obtiene: y(x, t) = (C1 sin

ω ω x + C2 cos x) + (C3 sin ωt + C4 cos ωt) c c

(7)

Las contantes C1 y C2 y las frecuencias naturales ωi son determinadas de las condiciones de frontera: Supongamos que la barra se encuentra empotrada en sus dos extremos. Para este caso las condiciones de frontera son: y(0, t) = 0 y(L, t) = 0 Reemplazándolas es la ecuación (7) se obtiene: C2 = 0 C1 sin

ωL ωL = 0 → sin =0 c c

Esta ecuación se satisface para los valores ωi dados por: ωi =

iπ L

(8)

ωi x c

(9)

Y por lo tanto: Yi (x) = sin Para i = 1, 2, 3, …. La solución general de una ecuación diferencial es la suma de todas las soluciones independientes, por lo tanto:

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∞

y(x, t) = ∑ C1 sin i=1

ωi x (C3 sin ωi t + C4 cos ω4 t) c

La ecuación (8) representa las frecuencias naturales y la ecuación (9) representa los modos de vibrar. Primer modo de vibrar: i=1 ω1 =

cπ L

Y1 (x) = sin

πx L

Segundo modo de vibrar: i=2 𝜔2 =

2𝑐𝜋 𝐿

𝑌2 (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛

2𝜋𝑥 𝐿

Para las vibraciones longitudinales de una barra, se pueden tener otras condiciones de frontera: Si se tiene un extremo libre de la barra en x=L, entonces las condiciones de frontera en ese extremo serán: 𝑁 (𝑙 ) = 0 𝑁 = 𝐸𝐴

𝜕𝑢 𝜕𝑢 (𝐿, 𝑡) = 0 → 𝜕𝑥 𝜕𝑥

3.3. VIBRACIONES LIBRES EN TORSIÓN DE EJES CIRCULARES. Supongamos un eje circular, a la cual se le da una perturbación angular inicial generando vibraciones torsionales en el eje. Se quiere determinar la ecuación del movimiento del eje en vibraciones libres en torsión.

Consideramos un eje homogéneo, isotrópico y que sigue la Ley de Hooke.

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Llamemos: 𝜃(𝑥, 𝑡) = ángulo de la torsión de la sección transversal en x respecto a su posición de equilibrio. La ecuación del movimiento para un segmento diferencial en torsión es: ∑ 𝑀𝑥 = 𝐼𝑥 𝜃 𝑇+

𝜕𝑇 𝜕2𝜃 𝑑𝑥 − 𝑇 = 𝐼𝑥 . 2 𝜕𝑥 𝜕𝑡

(10)

Para un eje circular: 𝐼𝑥 = 𝐽𝜌𝑑𝑥 Donde: J= momento de inercia polar sección transversal. 𝜌= densidad del material del eje. 𝜕𝑇 𝜕2𝜃 = 𝐽𝜌 2 𝜕𝑥 𝜕𝑡 Utilizando. 𝐺𝐽𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝑇 𝜕2𝜃 𝑇= = 𝐺𝐽 → = 𝐺𝐽 2 𝐿 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

(11)

De donde se obtiene: 𝜕2𝜃 1 𝜕2𝜃 = 𝜕𝑥 2 𝑐 2 𝜕𝑡 2 𝑐 = √𝐺 ⁄𝜌 = Velocidad de propagación de la onda torsional.

3.4. VIBRACIONES TRANSVERSALES EN FLEXIÓN DE BARRAS PRISMÁTICAS: Para analizar el problema se utilizan dos tipos de viga:  

La viga de Euler-Bernoulli La viga de Timoshenko

3.4.1. MODELO DE LA VIGA DE EULER-BERNOULLI Este modelo es más simple, pues desprecia el efecto de:  

Las deformaciones por esfuerzo de corte Las inercias a la rotación

Las ecuaciones del movimiento para un elemento de la viga “dx” de la figura son: ∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑦̈

𝑝(𝑥, 𝑡) + 𝑉 − (𝑉 + 𝑑𝑉 ) = 𝜌𝐴𝑑𝑥

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(11)

𝜕 2𝑦 𝜕𝑡 2

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𝜕𝑉 𝜕2𝑦 = 𝑝(𝑥, 𝑡) − 𝜌𝐴𝑑𝑥 2 𝜕𝑥 𝜕𝑡 ∑ 𝑀𝑧 = 0 𝑝(𝑥, 𝑡).

𝑑𝑥 2 𝜕𝑀 + 𝑀 + 𝑉𝑑𝑥 − (𝑀 + )=0 2 𝜕𝑥 𝜕𝑀

=𝑉

𝜕𝑥

(12)

(11) en (12): 𝜕2𝑀 𝜕2𝑦 + 𝜌𝐴 = 𝑝(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑡 2 Utilizando la ecuación de la elástica: 𝑀 = 𝐸𝐼

𝜕2𝑦 𝜕𝑥 2

Se obtiene: 𝜕 4𝑦

𝜕2𝑦

𝐸𝐼 𝜕𝑥 4 + 𝜌𝐴 𝜕𝑡 2 = 𝑝(𝑥, 𝑡)

(13)

Si 𝐸𝐼 es constante

3.4.2. MODELO DE LA VIGA DE TIMOSHENKO: Este modelo toma en cuenta tanto la deformación por corte como la inercia de rotación. Suponiendo que la sección transversal se mantiene plana, se obtiene:

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3.4.3. VIBRACIONES DE LA VIGA DE EULER: La solución de (13) para 𝑝(𝑥, 𝑡) = 0 se puede utilizar el método de separación de variables, es decir: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑌(𝑥)𝑓(𝑡) (14) Reemplazando la ecuación (14) en (13) se obtiene: 1 𝑑4 𝑌(𝑥) 𝜌𝐴 𝑌(𝑥) 𝑑𝑥 4 𝐸𝐼

𝑑2 𝑓(𝑡)

1

= − 𝑓(𝑡)

𝑑𝑡 2

= 𝑐𝑡𝑒 = 𝜔2

(15)

Se obtiene de la ecuación (15) dos ecuaciones diferenciales: 𝑑 2𝑓 + 𝜔2 𝑓 = 0 𝑑𝑡 2 𝑑 4 𝑌(𝑥) 𝜌𝐴 2 − 𝜔 𝑓=0 𝑑𝑥 4 𝐸𝐼 La solución de la primera ecuación es: 𝑓 (𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡) + 𝐵 cos(𝜔𝑡)

(16)

La solución para la segunda ecuación es de la forma: 𝑌 (𝑥 ) = 𝐴𝑒 𝑟𝑡

(17)

Reemplazando (4-22) en la ecuación, con: 𝛽4 =

𝜌𝐴𝜔2

(18)

𝐸𝐼

Se obtiene la ecuación característica: 𝑟4 − 𝛽4 = 0 𝑟2 = −𝛽 𝑟3 = 𝑗𝛽 𝑟5 = −𝑗𝛽

𝑟1 = 𝛽 (19)

Por lo tanto la solución general (suma de las soluciones de la ecuación (19)): 𝑌(𝑥 ) = 𝐶´1 𝑒 𝛽𝑥 + 𝐶´2 𝑒 −𝛽𝑥 + 𝐶´3 𝑒 𝑗𝛽𝑥 + 𝐶´4 𝑒 −𝑗𝛽𝑥 𝑌(𝑥 ) = 𝐶1 sin(𝛽𝑥) + 𝐶2 cos(𝛽𝑥) + 𝐶3 sinh(𝛽𝑥) + 𝐶4 cosh(𝛽𝑥) Obteniéndose:

Las constantes 𝐶1 , 𝐶2 𝐶3 𝐶4 y los 𝜔𝑖 son determinantes de las condiciones de frontera siguientes: Extremo libre En 𝑥 = 𝐿

𝑀=0→

𝜕 2 𝑦(𝐿,𝑡)

𝑉=0→

𝜕𝑥 2 𝜕 3𝑦(𝐿,𝑡)

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𝜕𝑥 3

=0 =0

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Extremo apoyado

𝑀=0→

𝜕 2 𝑦(𝐿,𝑡) 𝜕𝑥 2

=0

En 𝑥 = 𝐿

𝑦 = 0 → 𝑦(𝐿, 𝑡) = 0

Extremo empotrado

𝑦 = 0 → 𝑦(𝐿, 𝑡) = 0 𝜕𝑦(𝐿,𝑡)

En 𝑥 = 𝐿

𝜕𝑥

=0

Ejemplo: Determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar en flexión de la viga simplemente apoyada de la figura.

Aplicando las condiciones de frontera: 𝑦(0, 𝑡) = 0 ⇒ 𝐶1 sin(0) + 𝐶2 cos(0) + 𝐶3 sinh(0) + 𝐶4 cosh(0) = 0

𝜕 2 𝑦(0, 𝑡) =0 𝜕𝑥 2 ⇒ 𝛽 2 (−𝐶1 sin(0) − 𝐶2 cos(0) + 𝐶3 sinh(0) + 𝐶4 cosh(0)) = 0 ⇒ 𝐶2 = 𝐶4 = 0

𝑦(𝑙, 𝑡) = 0 ⇒ 𝐶1 sin(𝛽𝑙 ) + 𝐶3 cos(𝛽𝑙 ) = 0 𝜕 2 𝑦(𝑙, 𝑡) = 0 ⇒ 𝛽 2 (−𝐶1 sin(𝛽𝑙 ) + 𝐶3 sinh(𝛽𝑙 )) = 0 𝜕𝑥 2

𝛽 2 𝐶3 sinh(𝛽𝑙 ) = 0 ⇒ 𝐶3 = 0 𝛽 2 𝐶1 sin(𝛽𝑙 ) = 0 ⇒ 𝛽𝑖 𝑙 = 𝑖𝜋

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⇒ 𝛽𝑖 = √

𝜌𝐴𝜔𝑖 2 𝑖 2 𝜋 2 𝐸𝐼 ⇒ 𝜔𝑖 = 2 √ 𝐸𝐼 𝑙 𝜌𝐴

𝑌(𝑥 ) = 𝐶𝑖 sin

𝑖𝜋𝑥 𝑙

La siguiente figura muestra las dos primeras frecuencias – modos de vibrar la viga:

Dos primeros modos de vibrar una viga apoyada en sus extremos. Ejemplo: Determine las frecuencias de una viga empotrada en un extremo como se muestra la figura

Aplicando las condiciones de frontera: Y (0,t) = 0 𝜕𝑦(0,𝑡) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2(𝑙,𝑡) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 3(𝑙,𝑡) 𝜕𝑥 3

𝐶1 + 𝐶4

=0

β(𝐶1 + 𝐶3 )

=0

−𝐶1 sen 𝛽𝑙 − 𝐶2 cos 𝛽𝑙 + 𝐶3 senh 𝛽𝑙 + 𝐶4 cosh 𝛽𝑙 = 0

=0

−𝐶1 cos 𝛽𝑙 − 𝐶2 sen 𝛽𝑙 + 𝐶3 cosh 𝛽𝑙 + 𝐶4 senh 𝛽𝑙 = 0

Se obtiene un sistema de ecuaciones homogéneas las cuales tienen solución cuando el determinante de los coeficientes es igual a cero. Haciendo el determinante de los coeficientes igual a cero se obtiene: 1 + cos 𝛽𝑙 cosh 𝛽𝑙 = 0

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Cuyas soluciones para β (resolviendo el problema numéricamente) son: 𝛽1 = 1.8751/𝑙 𝛽2 = 4.6936/𝑙 𝛽3 = 7.8543/𝑙 𝜔1 2 = 𝛽1 2

𝐸𝐼 𝜌𝐴

Con 𝐶1 = 1 se puede determinar para cada 𝛽𝑖 (𝜔𝑖 ) el modo de vibrar del sistema de ecuaciones. NOTA: Igual que para las vibraciones longitudinales amortiguadas de las barras

Ejemplo: VIBRACIÓN TRANSVERSAL DE VIGAS 𝜕2𝑌 𝜕𝑡 2

{

𝜕4𝑌

+ 𝜕𝑥 4 = 0

𝑌(𝑥,0) = 0 𝑌(0,𝑡) = 0

x > 0, t >0 {

𝑌𝑡 (𝑥, 0) = 0 𝑌𝑥𝑥 (0, 𝑡) = 0

/𝑌(𝑥, 𝑡)/< 𝑀

Tomando transformada de Laplace tenemos: 𝑑4 𝑌

𝑠 2 𝑌(𝑥,𝑠) − 𝑠𝑌(𝑥,0) − 𝑌𝑡(𝑥,0) + 𝑏2 𝑑𝑥 4 = 0 Para condiciones de frontera 𝑌(𝑥,0) = 0 𝑦 𝑌𝑡 (𝑥, 0) = 0 Obtenemos 𝑠2

𝑑4 𝑌

𝑦 𝑏2 + 𝑑𝑥 4 = 0

𝑌(0,𝑠) = ℎ/𝑠 𝐵: { 𝑌𝑥𝑥 (0, 𝑠) = 0 /𝑌(𝑥, 𝑠)/< 𝑀

La solución general de la ecuación diferencial es: 𝑠 𝑠 𝑠 √ 𝑥 𝑌(𝑥,𝑠) = 𝑒 2𝑏 (𝐶1 cos (√ 𝑥) + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛 (√ 𝑥) ) 𝑏 𝑏 +𝑒

𝑠 −√ 𝑥 𝑏

𝑠 𝑠 (𝐶3 cos (√ 𝑥) + 𝐶4 𝑆𝑒𝑛 (√ 𝑥) ) 𝑏 𝑏

Por la combinación B: /𝑌(𝑥, 𝑠)/< 𝑀 , 𝑥 > 0

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𝑠 𝑠 𝐶1 cos (√ 𝑥) + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛 (√ 𝑥) = 0 𝑏 𝑏

Para que la condición no sea divergente: 𝐶1 = 𝐶2 = 0 por lo tanto queda 𝑌(𝑥,𝑠) =

𝑠 −√ 𝑥 𝑏 𝑒

𝑠 𝑠 (𝐶3 cos (√ 𝑥) + 𝐶4 𝑆𝑒𝑛 (√ 𝑥) ) 𝑏 𝑏

Utilizando las otras condiciones 𝑌(0,𝑠) =

𝑠 −√ 0 𝑏 𝑒

𝑠 𝑠 ℎ (𝐶3 cos (√ 0) + 𝐶4 𝑆𝑒𝑛 (√ 0) ) = 𝑏 𝑏 𝑠 𝐶3 =

𝑌𝑥𝑥 (𝑥, 𝑠) =

𝑠 −√ 𝑥 −2𝑒 𝑏 𝐶4

ℎ 𝑠

2

2

𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 ℎ 𝑠 −√ 𝑥 (√ ) cos (√ 𝑥) + 2𝑒 𝑏 (√ ) 𝑆𝑒𝑛 (√ 𝑥) 𝑏 𝑏 𝑏 𝑠 𝑏

Si recordamos que: 𝑌𝑥𝑥 (𝑥, 0) = 0, sabemos que 𝐶4 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑜

Entonces: 𝑌(𝑥,𝑠) =

ℎ −√𝑏𝑠 𝑥 𝑠 𝑒 𝑐𝑜𝑠 (√ 𝑥) 𝑠 𝑏

Si aplicamos la transformada inversa de Laplace obtenemos la función 𝑌(𝑥,𝑡) que corresponderá al desplazamiento de cada punto de la barra.

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4. CONCLUSIONES: Las vibraciones de vigas en general, en este caso las de Euler-Bernoulli, son expresadas de manera eficiente por las ecuaciones diferenciales parciales presentadas en este trabajo. El modelo de Euler-Bernoulli que tomamos como ejemplo es fundamental a la hora de estudiar problemas más reales sobre vigas como con vigas que presentan fisura, sin embargo, los problemas relacionados con este modelo son una aplicación directa de las ecuaciones diferenciales parciales.

5. BIBLIOGRAFÍA:  Feyman, Leighton, Sands, The Feynman Lectures on Physics V-II. Edt. Fondo Educativo Interamericano, págs. 38.15-17.  Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Flexión de una barra delgada empotrada en un extremo: Aproximación para pequeñas pendientes. Revista Brasileira de Ensino de Física. 24(4) Dezembro 2002, págs., 399-407.  Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Large and small defections of a cantiléver beam. Eur. J. Phys. 23(2002) pp. 371-379.

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6. AGRADECIMIENTO: Al finalizar este trabajo de investigación queremos expresar nuestro agradecimiento al profesor Minaya Salinas Segundo por habernos guiado en estos meses del ciclo de nivelación que nos permite adquirir conocimientos de vital importancia para nuestra carrera. El más sincero agradecimiento a nuestra familia, amigos y compañeros, que con su permanente aliento y comprensión nos ayudan a seguir con la misión de culminar nuestra carrera universitaria. Y por último agradecemos a todos los profesionales que trabajan en la Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo por la colaboración y confianza que nos brindan durante el curso de nuestra carrera.

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