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• Andres Wedemeyer

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ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES I. OBJETIVOS  Reconocer y clasificar una ecuación diferencial parcial.  Resolver una ecuación diferencial parcial con el método de separación de variables.  Resolver las aplicaciones de una ecuación diferencial parcial con el método de separación de variables. II.

INTRODUCCION

Muchas veces nos presentamos ante problemas matemáticos, físicos, químicos, etc. que parecen no tener solución, analizamos nuestros datos, nuestras variables y tratamos de resolver el problema de forma convencional, así que debemos buscar otro tipo de soluciones un tanto más complejas. La solución de ecuaciones diferenciales parciales muchas veces se puede simplificar a resolver una ecuación diferencial parcial de segundo orden. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. III.

DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL, ORDEN Y LINEALIDAD

Una ecuación diferencial parcial (EDP) es aquella cuyas incógnitas son funciones de diversas variables, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Una variable independiente pueden ser tiempo y posición, o bien dos coordenadas de posición o una combinación de varias variables con el tiempo. 1. ¿Entonces, qué es una ecuación diferencial parcial? Es una expresión matemática que contiene una o más variables dependientes y dos o más variables dependientes. Una ecuación diferencial en derivadas parciales por su semejanza con las EDO, es una ecuación donde una cierta función incógnita u viene definida por una relación entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes.

u=u (x , y , z ),

Si

una ecuación diferencial en derivadas parciales

sería: ∂u ∂u ∂ u ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂2 u F x, y ,z , , , , , , , ,… =0 ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2 ∂ x ∂ y

(

)

Ejemplos: a)

b)

∂2 u ∂2 u + 2 =0 2 ∂x ∂ y ∂2 u ∂2 u ∂u = 2 −2 2 ∂t ∂x ∂t

2. Orden una Ecuación Diferencial Parcial Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden clasificar de acuerdo a su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera. El orden de una ecuación diferencial parcial está determinado por la derivada parcial de mayor orden presente en la expresión como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo: a) ∂2 u ∂2 u + =0 ∂ x2 ∂ y2 Es una EDP de segundo orden b) La siguiente EDP u×

∂ u ∂u + =0 ∂x ∂ y

Es una PDE de primer orden.

3. Existencia y unicidad Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP, que es analítica en la función incógnita y sus derivadas, tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, aparecen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución. Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables. Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace: ∂2 u ∂2 u + =0 ∂ x2 ∂ y2 Con condiciones iniciales u ( x , 0 )=0,

∂u sin nx ( x ,0 )= ∂y n

es un entero. La derivada de u con respecto a “ y ” se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, Donde

n

pero la solución es: u ( x , y )=

( sinh ny ) ( sinh nx ) n2

Esta solución se aproxima a infinito si

nx

no es un entero múltiplo

de π para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina “mal propuesto o mal definido”, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del

problema. Estos problemas mal definidos satisfactorios para las aplicaciones físicas. IV.

no

son

usualmente

Clasificación de las EDP de segundo orden.

Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos: Ecuación

Nombre

Tipo

∇ u=0

Laplace

Elíptica

∂2 u 2 2 =c ∇ u ∂ t2

Onda

Hiperbólica

∂u =k ∇ 2 u ∂t

Difusión

Parabólicas

Helmholtz

Elíptica

2

2

∇ u=ku

Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo: A uxx +2 Bu x y +C u yy + D u x + Eu y + F =0



se dice que es elíptica si la matriz

[ ] A B B C

tiene un

[ ]

tiene un

[ ]

tiene un

Z=

determinante mayor a 0. 

Se dice que es parabólica si la matriz

Z= A B B C

determinante igual a 0. 

Se dice que es hiperbólica si la matriz determinante menor a 0.

Z= A B B C