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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

Presentado a: Álvaro Javier Cangrejo Tutor(a) Entregado por: Viviana Consuelo Gaitan Fernandez Código: 1081409472 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx Grupo:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA XXX 2019

INTRODUCCIÓN La transformación Laplace es un método utilizado para hallar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el presente trabajo de la unidad 3, tarea 4, desarrollaremos la actividad en 8pasos los cuales constan de escoger un inciso para cada estudiante y cumplir un rol, realizaremos tres ejercicios individuales y dos ejercicios colaborativos planteados en la unidad, y por último realizar un video explicando uno de los ejercicios desarrollados. Este método de estudio autónomo nos ayuda ser personas interdependientes, y competitivas en cualquier campo aplicado a fin de nuestra carrera profesional, por esto debemos realizar todos los ejercicios a conciencia, lo que en un futuro nos hará personas integras útil para la sociedad.

OBJETIVOS Objetivos generales: Fortalecer el método de estudio autónomo en el desarrollo de la Unidad de ecuaciones diferenciales sobres los temas de serie de potencia y transformada de Laplace. Objetivos específicos: 1.Aplicar propiedades de los métodos de serie de potencia y transformada de Laplace. 2.Aprender a realizar los ejercicios planteados paso a paso. 3.Trabajar colaborativamente con los compañeros para el compilado del trabajo final. 4.Cumplir con los roles escogidos por cada estudiante.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante

Rol a desarrollar

Viviana Consuelo Gaitán Fernández

Compilador

Ejemplo: Adriana Granados

Ejemplo: Líder

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios Ejemplo: Desarrollo el ejercicio a en todos los 3 Tipo de ejercicios.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo. Para una ecuación dada: y , , + p ( x ) y , + q ( x ) y=0 se representa primero p ( x ) y q ( x ) por series de potencias en potencias de x (o de ( x−x 0 ) si se desea obtener soluciones de potencias de x−x 0 ¿. En muchas ocasiones p ( x ) y q ( x )son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos. ∞

y= ∑ am x m=a0 +a1 x+ a2 x 2 +a3 x 3+ … m=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término: ∞

y , = ∑ m am x m−1=a1 +2 a2 x+ 3 a3 x 2 +… m=1 ∞

y , ,= ∑ m ( m−1 ) am x m−2=2 a2 +3∗2 a3 x+ 4∗3 a4 x 2 +… m=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de x y la suma de los coeficientes de cada potencia de x que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a x, los términos que incluyen a x 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en y. De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: VIVIANA CONSUELO GAITAN FERNANDEZ

b.( x ¿¿ 2−1)¿𝒚 ′′ + 𝟒𝒙𝒚 ′ + 𝟐𝒚 = 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

x 2−1=0→ x=± 1

SOLUCIÓN POR SERIES Notemos que x=0 , es un punto regular y que x=± 1 ,son singulares regulares.

∞

Trabajamos con el punto x=0 ,los ordinario candidatos a la solución son de la forma:

x ( y )∑ C n x n n=0

∞

y ´ (x )=∑ n(n−1)C n x n−1 n=1

Debemos hallar las C n , derivadas dos veces.

∞

y ´ ´ (x)=∑ n( n−1)C n x n−2 n=2

x 2 y ´ ´− y ´ ´ + 4 xy ´ +2 y=0

Pasamos

a

sustituir

∞

n

∞

∑ n(n−1)Cn x −∑ n ( n−1 ) C n x n =2

n=2

n−2

∞

∞

n

+ ∑ 4 nC n x + ∑ 2 C n x n=0 n=1

n=0

∞

∞

∞

∞

n =2

m=0

n=1

n=0

∞

∞

∞

∞

k =2

k=0

k =1

k=0

∑ n(n−1)Cn x n− ∑ ( m+2 ) ( m+1)C m +2 x m +∑ 4 nC n x n +∑ 2 Cn x n=0

y ´ ( x ) y y ´ ´ ( x ) , en la E.D. ordinaria Homogenizamos potencias de x Haciendo n−2=m→ n=m+ 2 n=2→ m=0

∑ k (k −1)C k x k−∑ ( k +2 ) (k +1)C k+2 x k +∑ 4 kC k x k+∑ 2C k x k =0

{

Escribimos todo términos de k. ∞

∞

las

∞ Ahora homogenizamos k el +2 C0 +2 C x+ 2C x =0 ∑ k (k −1)C k x −2C 2−( 3 ) ( 2 ) C 3 x−∑ ( k +2 ) ( k +1 ) Ck +2 x + 4 C1 x+ ∑ 4 kC k x índice ∑ 1 k de las series k =2 k=2 k=−2 k=2 k

k

∞

en

k

∞ Luego 2 C0 −2C 2+(6 C 1−2∗C 3 ) x + ∑ ( k ( k−1 ) C ¿ ¿ k ¿−( k + 2 )( k +1 ) C k+2 +4 k C K +2 C k ) x k =0 ¿ ¿ k=2

x 0=2 C0 −2C 2=0 → C2 →C 0

Comparamos coeficientes

x 1=6 C 1−6 C3 =0 →C 1 → C3 x k =[ k ( k−1 ) +4 k +2 ] Ck −¿ (k 2+3 k +2) C k −¿ (k + 2)( k +1)C k −¿ C k+2=

( k +2)(k +1) ¿¿

C k+2=C k k =2 :C4 =C 2=C0 k =3 :C5 =C3=C1

Formula de recurrencia para los coeficientes

k =4 :C6 =C4 =C 0 k =5 :C7 =C5 =C1 ∞

x ( y ) =∑ C n x n=C 0 +C1 x+C 2 x 2 +C 3 x 3 +C 4 x 4 + C5 x5 +C 6 x 6 + …

Volvemos a

n=0

¿ C 0+C 1 x +C 0 x 2 +C 1 x 3+ C0 x 4 +C1 x 5+ C0 x 6+ … ¿ C0¿

La solución general es:

¿ C0

1 +C 1 x (1+ x 2+ x 4 + x 6+ … x 2 n +…) 2 1−x

¿ C0

C1 x 1 1 2 3 + , ya que =1+ x+ x + x + … 2 2 1−x 1−x 1−x

Siendo y 1 ( x ) y y 2 ( x ), dos soluciones linealmente independientes

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa m sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

m

d2 x dx + β + kx=f (t) 2 dt dt

L

d2 q dq + β + kq=E (t) 2 dt dt

Es una función que representa una fuerza externa f (t) o un voltaje E ( t ) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones f (t) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo

La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función y (t) está definida para t ≥ 0 y la integral impropia converge para s> s0 . Entonces la transformada de Laplace y (t) existe s> s0 y está dada por:

∞

L { y ( t ) }=∫ e−st y ( t ) dt 0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. Escriba aquí la ecuación .

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: VIVIANA CONSUELO GAITAN FERNANDEZ

b. L {e−2 t sen 5 t } PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

FORMULA: L {e at f ( t )=L ¿

SOLUCION

L { e−2 t sen 5 t }=L {e at f ( t )=L ¿

Como tenemos una exponencial por una función debemos utilizar el primer teorema de traslación, donde tenemos la transformada de una exponencial, por una función, que es igual a la

transformada de la función, donde hay que cambiar a S, por s−a. L [ sen at ] =

a s +a 2

Ahora calculamos la transformada del sen 5t , utilizando la formula

L [ sen at ] =

5 ¿ s→ s +2 s + 25

Ahora remplazamos la formula y nos queda

2

2

5 s +22+ 25

Ahora cada S debemos cambiarla por s+2, y nos queda:

5 5 = 2 2 s +2 + 25 s + 4 s+29

Este es el resultado de la transformada de la transformada de Laplace, donde lo podemos dejar expresado de esta manera o lo podemos desarrollar por binomio al cuadrado y nos queda

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

{

y , −3 y=e 2 t y ( 0 )=1

}

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial L { y , −3 y }=¿❑ L { e 2t } ¿ L { y , } −3 L { y }=

1 s−2

sY ( s )− y ( 0 )−3 Y ( s )= sY ( s )−1−3 Y ( s )=

1 s−2

1 s−2

Y ( s )=

s−1 ( s−2 ) (s−3)

Y ( s )=

−1 2 + s−2 (s−3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: y ( t )

L−1 { Y ( s) }=−L−1

1 ( s−2 )+2 L ( s−31 ) −1

y ( t ) =−e 2t +e 3t

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: VIVIANA CONSUELO GAITAN FERNANDEZ

b. 𝒚 ′ − 𝟐𝒚 = 𝟏 − 𝒕; 𝒚 (𝟎) = 1

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN SOLUCION

  L { y ´ −2 y }=L { 1−2 t }

Tomando la transformada de Laplace a ambos lados, se obtiene que:

L { y ´ }−2 L { y }=L {1 } −L {t } s L { y }− y { 0 }−2 L { y } =L {1 }−L { t } 1 1 sY ( s )− y ( 0 )−2 Y ( s )= − 2 s s 1 1 ( s−2 ) Y ( s )−1= − 2 s s 2 ( s−2 ) Y ( s )−1= 1 − 12 →Y ( s ) = s2 + s−1 s s s + ( s−2 )

( As+ B )( s−2 )+Cs s 2+ s−1 As+ B C = 2 + = 2 S−2 s + ( s−2 ) s s2 ( s−2 )

2

Para ello aplicamos fracciones parciales a:

→ s 2+ S−1=( As+B) ( s−2 ) +C s 2 s=0 →−1=B (−2 ) → B=

1 2

Por anuladores

s=2→ 22+ 2−1=C ¿ s=1→ 12+1−1=( A+ B ) (−1 ) +C ¿ 1 5 3 −1 → 1=− A− + →−1 =− A → A= 2 4 4 4 sustituimos los s 2+ s−1 As+ B C A B C −1 1 Luego 5 = 2 + = + 2+ = + 2+ 2 −1 1 5 S−2 s s s−2 4 s 2 s A= 4(s−2) s + ( s−2 ) s , B= y C= , en: 4 2 4 Ys=

s 2+ s−1 s 2+ ( s−2 )

valores

de

Ahora aplicamos transformada inversa de Laplace en ambos lados en:

L−1 { Y ( s) }=L−1 Y (t)=

{

s2 +s−1 1 1 5 =L−1 + 2+ 2 4 s 2 s 4 (s−2) s + ( s−2 )

} {

}

−1 −1 1 1 −1 1 5 −1 1 L + L + L 4 s 2 s−2 s2 4

{}

L−1

{1s }=1 ,(s> 0)

L−1

1 =t ,( s>0) s2

{}

L−1

{s−a1 }=e ,( s> a)

{}

{ } Sabemos por la tabla de transformada inversa de Laplace que:

at

y (t)=

−1 1 5 (1)+ t + e 2t 4 2 4

Entonces se tiene que:

y (t)=

−1 1 5 2 t + t+ e 4 2 4

La solución del problema de valor inicial es:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

RAZÓN O EXPLICACIÓN

d.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e. PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

Problema: De acuerdo con lo anterior, Use la definición para hallar la serie de Taylor centrada en a=

π ,para la función 2

f ( x )=cosx 𝑓(𝑥), Si se sabe qué senx=d ( cosx ) dx=9 y que las series de potencias pueden ser derivadas término a término dentro de su intervalo de convergencia. obtenga el desarrollo en serie de Taylor centrada en

a=

π para la función 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 2 ∞

a : senx=∑ ¿ ¿ n=0 ∞

b : senx=∑ ¿ ¿ n=0 ∞

c :senx =∑ ¿ ¿ n=0 ∞

d :senx =∑ ¿ ¿ n=0 ∞

a : senx=∑ ¿ ¿ n=0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA  f ( x )=f ( a ) +

f ´ (a) f ´ ´ ( a) (x−a) ¿ 1! 2!

RAZÓN O EXPLICACIÓN Solución: La serie de Taylor de una función f ( x ) en a, se define como:

Aplicamos la fórmula de Taylor ℜ2 ℜ3 ℜ ( ) ( sin x ) (0) ( sin ( x ) ) ( 0) ( sin ( x ) ) (0) 2 3 dx dx dx 0+¿ x x2 + x3 + … 1! 2! 3! 0+¿ ¿

1 0 2 −1 3 0 4 1 5 0 6 −1 7 0 Evaluamos 1 derivadas x x + x+ x x+ x+ x x 8+ x 9+ … 1! 2 ! 3! 4 ! 5! 6! 7 ! 8! 9!

1 1 1 1 1 x− x 3+ x 5 − x7 + x 9+ … 1! 3! 5! 7! 9! ∞

senx=∑ ¿ ¿

Ahora pasamos a simplificar La solución de la ecuación es

n=0

∞

a : senx=∑ ¿ ¿ n=0

Por lo tanto la respuesta correcta es la a

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: una pesa de cuatro libras estira 2ft un resorte. Dicha pesa parte del reposo a 18 in arriba de la posición de equilibrio y el movimiento se produce en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 7/8 por la velocidad instantánea. Con la transformada de Laplace encuentre la ecuación del movimiento. EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA SOLUCIÓN ORIGINAL: La ecuación diferencial que describe el proceso es: mx ´ ´ =−k −βx Se deben calcular la masa y la constante del resorte w 4 1 m= = = slug 4=2 k g 32 8 2lb k= pie Sustituyendo en la ecuación queda: 1 7 x ´ ´ =−2 x− x ´ 8 8 x ´ ´ + 7 x ´ =0 −3 x ( 0 )= ; x ´ ( 0 )=0 2 7 L { x ´ } +16 L { x ´ } =0 3 s2 L { x } + s +7 s +¿ 0 2

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA SOLUCIÓN PROPUESTA

Se agrupan los términos con L { x } : L { x }(s¿ ¿2+7 s+16)=0 ¿ Se despeja L { x } −3 21 −3 21 s− s− 2 2 2 2 L { x }= 2 = s s +7 s+16 En el denominador se usa completación de cuadrados. 7 s+ −3 2 7 15 15 /2 L { x }= − √ √ 2 2 2 10 s 7 √ 15 s+ + 2 2

( )( )

Se aplica la transformada inversa para hallar la solución −7

−3 2 c 15 x ( t )= e cos √ t 2 2

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante Ejemplo: Adriana González

Ejercicios sustentados a de todos los tipos de ejercicios.

Enlace video explicativo https://youtu.be/l8Mfcl_VLYM

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS