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UNIDAD 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 2.1 TEORIA PREELIMINAR

*Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior *Problema de valores iníciales * Existencia y unicidad * Problema de valores en la frontera * Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas * Operador diferencial lineal *Dependencia Lineal * Independencia lineal *Wronskiano *Conjunto fundamental de soluciones * Principios de superposición *Solución general *Función complementaria * Solución particular

2.1.1 DEFINICIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ORDEN “n” Una ecuación diferencial de orden n se denomina lineal si es lineal respecto a la variable dependiente y, y a todas sus derivadas hasta el orden n, de modo que se puede expresar de la forma:

O

La ecuación se dice homogénea o incompleta si f(x) = 0 para todo x ∈ I. En caso contrario, se dice no homogénea o completa.

EJEMPLO: sea un sistema de resortes y masa m. La constante elástica del resorte sea k. entonces el sistema mecánico que representa este sistema para la fuerza de restauradora del resorte es,

En la ecuación anterior, g(t) representa las fuerzas externas y, la fuerza de amortiguación es directamente proporcional a la velocidad del sistema. Sea la posición inicial x(t0) en el tiempo t0. Entonces, la velocidad inicial puede ser determinarse, esto es, x‟(t0). Por lo tanto, al resolver el diferencial de segundo orden, obtenemos el problema de valor inicial, El orden de la ecuación diferencial de enésimo orden es n. Esto es, el orden de la ecuación diferencial es igual al orden del mayor diferencial que aparece en la ecuación diferencial dada. Como se mencionó anteriormente, el concepto de una ecuación diferencial de orden n es una extensión de la ecuación diferencial de primer o segundo orden. Esto implica que es posible implementarlos resultados formulados para la ecuación diferencial de primer y segundo orden se pueden también fácilmente para la ecuación diferencial de enésimo orden.

2.1.2 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Se denomina problema de valor inicial o problema de Cauchy de la ecuación diferencial de orden n al problema que consiste en encontrar una solución ϕ(x) de la ecuación diferencial que verifique n condiciones iníciales ϕ(x0) = y0, ϕ’(x0) = y1,..., ϕn1)(x0) = yn-1, siendo x0 ∈ (a, b), y0, y1, ..., yn-1. Si las condiciones que debe verificar la solución están definidas en dos o más puntos diferentes el problema se denomina problema de contorno de una ecuación diferencial. Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valores iníciales de orden n es

Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función definida en algún intervalo I que contenga a XO, y satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iníciales especificadas en xo: y(xo)=yo,y‟(xo)=yl,. . .,y(*-„)(xg)=y,-1. Ya vimos que en el caso de un problema de valores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto (~0, yo) y tener la pendiente y1 en ese punto.

2.1.3 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN UNICA Teorema que especifica las condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una solución de un problema de valores iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de existencia de solución única para el problema representado por las ecuaciones anteriores.

EJEMPLOS TEMAS 2.1.2 Y 2.1.3

2.1.4 ECUACION DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Una ecuación lineal de orden n de la forma:

Se llama homogénea mientras que una ecuación:

Donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea; por ejemplo, 2~” + 3y‟ - 5y = 0 es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras que x3y”‟ + 6y‟ + 1 Oy = ex es una ecuación diferencial de tercer orden, lineal y no homogénea. En este contexto, la palabra homogénea no indica que los coeficientes sean funciones homogéneas. OPERADORES DIFERENCIALES Sea Dy = dy/dx. Al símbolo D se le llama operador diferencial. Definimos a un operador diferencial de n-ésimo orden u operador polinominal como

El operador diferencial L es un operador lineal:

Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente como:

L (y) = o y L (y) 0 g(x)

2.1.4.1 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN (ECUACIONES HOMOGÉNEAS) El principio de superposición se ocupa principalmente de la ecuación diferencial lineal homogénea. El nombre de esta teoría se mantiene así por su similitud con el principio de superposición aplicado en física y otras áreas de la ciencia, en el cual se estudia; si existen dos estímulos en un sistema lineal, entonces el resultado neto de su fuerza en algún momento y en algún lugar será equivalente a la sumatoria de las fuerzas de estos dos estímulos tomados independientemente. Sean y1, y2,…, yk soluciones de una ecuación diferencial homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I. Entonces la combinación lineal y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x)+ …+ck yk (x)donde ci, i = 1, 2,…, k, son constantes arbitrarias, también es una solución en el intervalo.

Nota: (A) y(x) = cy1 (x) también es solución si y1 (x) es una solución. (B) Una ED lineal homogénea siempre posee la solución trivial y(x) = 0.

2.1.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL WRONSKIANO Un conjunto de funciones f1 (x), f2 (x),…, fn (x)es linealmente dependiente en un intervalo I, si existen ciertas constantes c1 , c2 , …, cn no todas nulas, tales que: c1 f1 (x) + c2 f2 (x) +… + cn fn (x) = 0 Si el conjunto no es linealmente dependiente, entonces es linealmente independiente. En otras palabras, si el conjunto es linealmente independiente, cuando: c1 f1 (x) + c2 f2 (x) +… + cn fn (x) = 0 Entonces necesariamente c1 = c2 =… = cn = 0.

WRONSKIANO Supongamos que cada una de las funciones f1 (x), f2 (x),…, fn (x) posee al menos n – 1 derivadas. El determinante:

2.1.6 SOLUCION GENERAL DE LAS ECUACIONES HOMOGENEAS

EJEMPLOS:

1.- Las funciones y1 = ex, y2 = e2x, y3 = e3x son soluciones de y‟‟‟ – 6y”+ 11y‟–6y = 0 en (-∞, ∞).Como:

Para todo valor real de x. y = c1 ex + c2 e2x + c3 e3x es la solución general en (-∞, ∞).

2.- Las funciones y1 = e3x, y2 = e-3x son soluciones de y”–9y = 0 en (-∞, ∞) Observa que:

Para todo x. Luego son independientes. Así que y = c1 y1 + c2 y2 es la solución general.

2.1.6.1REDUCCIÓN DE ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN A UNA DE PRIMER ORDEN, CONSTRUCCIÓN DE UNA SEGUNDA SOLUCIÓN A PARTIR DE UNA CONOCIDA. Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución, y2, de:

en un intervalo Z a partir de una solución yr no trivial. Buscamos una segunda solución, y&), de la ecuación (1) tal que yr y y2 sean linealmente independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son linealmente independientes, su relacióny2/yr es no constante en r; esto es, yz/y~= u(x) o yz = u(x)yl(x). La idea es determinar la función u(x) sustituyendo yz(x) = u(x)yr(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación lineal de primer orden para hallar ü.

2.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS Para entender el procedimiento de solución de la ecuación diferencial homogénea lineal un formato general para denotar una ecuación diferencial como una ecuación diferencial homogénea es el que se indica a continuación,

el nombre se mantiene así porque si colocamos los términos que contienen la función indefinida y los diferenciales de la función indefinida en un lado de la ecuación diferencial, entonces el otro lado de la ecuación es igual a cero. Esto puede verse claramente en la ecuación dada más arriba. Por este motivo, se le conoce como homogénea. La ecuación se llama lineal porque el diferencial de la función indefinida y la función indefinida en sí aparecen solos y no formando parte de alguna otra función compleja. Determinar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea es una tarea bastante fácil que puede realizarse siguiendo unos pasos simples, uno tras otro, es importante que entiendas el paso previo antes de pasar al siguiente.

2.2.1 ECUACIÓN CARACTERÍSTICA PARA ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN (RAÍCES REALES Y DISTINTA, RAÍCES REALES E IGUALES, RAÍCES COMPLEJAS, RAÍCES CONJUGADAS) Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

Ecuación o polinomio auxiliar: Para n = 2,

Las dos raíces del polinomio auxiliar son:

Caso 1: Raíces reales y distintas. La solución general es:

Caso 2: Raíces reales repetidas.

Caso 3: Raíces complejas conjugadas

Escribimos

Solución general es

una

Usando la formula de euler:

Como: Es solución tomando en cuenta C1 = C2 = 1 y C1 = 1, C2 = -1, tenemos dos soluciones:

2.3 SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES, NO HOMOGÉNEAS

Ejemplo:

2.3.1 MÉTODO POR COEFICIENTES INDETERMINADOS Si queremos resolver:

Se debe pasar por dos etapas: i) Determinar la función complementaria, yc. ii) Establecer cualquier solución particular, yp, de la ecuación no homogénea. Tenemos que hallar y = yc + yp . Veamos cómo hacerlo, en este caso general, mediante el método conocido como de coeficientes indeterminados.

2.3.2 METODO DE VARIACIÓN PARAMETROS El método de variación de las constantes o método de variación de parámetros se emplea para resolver una ecuación lineal no homogénea de orden n. Consiste en obtener primero la solución general de la ecuación homogénea y buscar a continuación una solución de la ecuación completa que tenga la forma de la solución general de la ecuación homogénea pero considerando las constantes como funciones a determinar.

La ecuación no homogénea que se quiere resolver y sea

la solución general de la ecuación homogénea asociada en el intervalo (a, b). Se supone que una solución particular de la ecuación completa es de la forma

ϕ(x) funciones que hay que determinar. Para ello es necesario imponer condiciones.

2.4 APLICACIONES Circuito LC Un condensador es un componente eléctrico capaz de almacenar carga estableciéndose como consecuencia de ello una diferencia de potencial entre sus extremos. Una autoinducción es otro componente que reacciona a las variaciones de la corriente eléctrica que la recorre, creando asimismo una diferencia de potencial entre sus extremos. Para el condensador, la relación entre la diferencia de potencial vC y la carga q viene dada por

Donde C es una constante positiva característica de cada condensador llamada capacidad. Para la autoinducción, la relación entre la diferencia de potencial vL y la variación de la corriente viene

dada por la Ley de Faraday donde i es la intensidad de la corriente y L una constante positiva característica de cada autoinducción, llamada inductancia. Supongamos que cargamos un condensador con una carga q, y a continuación lo conectamos con una autoinducción.

El condensador comenzará a descargarse, estableciéndose un transporte de carga, es decir una corriente eléctrica variable con el tiempo a través de la autoinducción. Como inicialmente la corriente era cero y ahora no lo es, la

autoinducción reaccionará oponiendo una diferencia de potencial entre sus extremos. De acuerdo con la ley de Kirchhoff de las tensiones