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Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante Rol a desarrollar Dagoberto Gonzalez Alertas Velez

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla los ejercicios a en todos los tres tipos propuestos. Marcela Gómez Alvarez Entregas El estudiante desarrolla los ejercicios b en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios c en todos los tres tipos propuestos. Edgar Esteban Otero Revisor El estudiante desarrolla los Sierra ejercicios d en todos los tres tipos propuestos. Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Adriana Granados Compilador El estudiante desarrolla los ejercicios a en todos los tres tipos propuestos. Ejercicios 1 – Solución Ecuaciones Diferenciales por series de potencia. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de series de potencia (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso 2, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) a. 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0 b. 𝑦 ′′ − 𝑥 2 + 𝑦 ′ = 0 c. 𝑦 ′′ − 2𝑥 = 0 d. 𝑦′ − 9𝑥𝑦 = 0 e. 𝑦 ′′ + 𝑦 = 3𝑥 2 Antes de iniciar no olvide consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 157-165).

Ejercicios 2. Transformada de Laplace Calcular la transformada de Laplace (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionado en la tabla del paso 2, debe indicar la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) a. ℒ{𝜋 + cos 3𝑡} b. ℒ{2𝑡 + 𝜋𝑒 3𝑡 } c. ℒ{𝑡 2 − sin 𝜋𝑡} d. ℒ{sinh 2𝑡} e. ℒ{𝑡 2 𝑒 2𝑡 } Ejercicios 3. de Laplace.

Solución Ecuaciones Diferenciales con transformada

Dar solución a las siguientes Ecuaciones diferenciales por transformada de Laplace (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionado en la tabla del paso 2, debe indicar la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) a. 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ = 𝑒 𝑡 sin 𝑡 ; 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0. b. 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥; 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 2 c. 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ = 7; 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0 d. 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡); 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0 e. 𝑦 ′′′ + 2𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 2𝑦 = sen(3t); 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0, 𝑦′′(0) = 0 Apreciados estudiantes, tengan presente que los ejercicios deben ser presentados utilizando el editor de ecuaciones de Word y deben ser publicados en el foro. Antes de iniciar no olvide consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 179-185). Ejercicios a desarrollar de manera colaborativa.

Ejercicio 4. Situación problema. A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

Problema: Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de 𝑥𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ = 𝑥𝑦 con 𝑦 (1) = 1 y en 𝑦 ′(1) = 0. A. 1 + 𝑥 + B.

C. D.

1 2

𝑥2 −

2

𝑥3 + 9

𝑥4

− 44

𝑥5

−5

𝑥5

…

3! 4! 5! 5! 4 3 𝑥4 𝑥5 2 1 + 𝑥 + 2 𝑥 + 3! 𝑥 + 10 4! − 40 5! + ⋯ 1 2 𝑥4 𝑥5 𝑥5 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + 9 − 44 − 5 … 2 3! 4! 5! 5! 4 3 𝑥4 𝑥5 𝑥5 2 1 + 𝑥 + 𝑥 − 3! 𝑥 + 9 4! − 22 5! − 15 5! … 1

Apreciados estudiantes, tengan presente que los ejercicios deben ser presentados utilizando el editor de ecuaciones de Word y cada estudiante debe hacer mínimo un aporte significativo al análisis del desarrollo presentado. Ejercicio 5. Análisis y evaluación de la solución de una situación planteada. A continuación, se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, debe realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si luego del debate el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, se debe realizar la observación y corrección al error o

errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación problema: La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en serie es: 𝑑𝑖 1 t 𝐿 + 𝑅𝑖 + ∫ i(τ)dτ = E(t) 𝑑𝑡 𝑐 0 Utilizando la transformada de Laplace encuentre i(t), si L = 0.05H; R = 1 Ω ; c=0.02 F y E(t) = 50[t 3 𝑒 −𝑡 ]V e i(0) = 0 Solución planteada: 1. Se reemplazan los valores t 𝑑𝑖 1 0.005 + 𝑖 + ∫ i(τ)dτ = 50[t 3 + 𝑒 −𝑡 ] 𝑑𝑡 0.02 0 2. Se divide por 0.005 t 𝑑𝑖 + 200𝑖 + 1000 ∫ i(τ)dτ = 10000t 3 − 10000𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 0

3. A cada término se le halla la transformada de Laplace

𝑠𝐼(𝑠) + 𝑖(0) + 200𝐼(𝑠) + 1000

𝐼(𝑠) 30000 10000 = − 𝑠 𝑠2 𝑠−1

4. Se agrupan los términos de I(s) 𝑠 2 + 200𝑠 + 1000 3 1 𝐼(𝑠) ( ) = 10000 ( 2 − ) 𝑠 𝑠 𝑠−1 5. Se factoriza el numerador del lado izquierdo y se despeja I(s). Se reescribe el resultado para aplicar Transformada inversa.

𝐼(𝑠) =

𝐼(𝑠) = 10000 [

10000𝑠 3 1 ( 2− ) 2 𝑠(𝑠 + 100) 𝑠 𝑠−1 1 3 1 − + ] 2 2 (𝑠 + 100) (𝑠 + 100) 𝑠−1

6. Se aplica la transformada inversa para hallar i(t) 𝑖(𝑡) = 20000[𝑡𝑒 −100𝑡 − 3(𝑡 − 1)𝑒 −100(𝑡−1) − 𝑒 −𝑡 ] Con esto se obtiene finalmente la corriente en función del tiempo.