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• Wurgensen Mauricio Quintero Galvis

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ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentado a: Álvaro Javier Cangrejo Tutor

Entregado por: Antony Jhan Iere Marin Quijano Código: Bryan Paul Muñoz Código: 1.151.942.211 Johana Marcela Benavidez Código: 1144130749 Nelson Gualteros Albarracín Código: 79’639.453

Grupo: 100412_170

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES 23 DE MARZO 2020

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN............................................................................................................................3 OBJETIVOS.....................................................................................................................................4 PASO 2.............................................................................................................................................5 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL................................5 PASO 3.............................................................................................................................................6 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA...........................................................6 EJERCICIOS 1 –ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS....................................6 EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS..........................17 EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER...........................................................30 PASO 4...........................................................................................................................................39 PRESENTACIÓN DE APORTES A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO.........39 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA..............................................................................39 PASO 5...........................................................................................................................................41 PRESENTACIÓN DE APORTES AL ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA................................................................................................41 PASO 8...........................................................................................................................................45 TABLA ENLACES VIDEOS EXPLICATIVOS..........................................................................45 CONCLUSIONES..........................................................................................................................46 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................................47

INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales, se clasifican por su orden determinado, por la mayor derivada de la ecuación. Las ecuaciones que tienen derivadas iguales o mayores que dos, se consideran ecuaciones diferenciales de orden superior; las ecuaciones diferenciales, lineales y de orden superior se pueden clasificar en; homogéneas cuando están igualadas a cero y no homogéneas cuando están igualadas a una función de x. Teniendo en cuenta lo anterior, se presenta el desarrollo de la guía de la unidad dos donde se da solución a los ejercicios planteados por la universidad. Siguiendo el orden tenemos en primer lugar los ejercicios del tipo ejercicios uno, sobre ecuaciones diferenciales homogéneas; en segundo lugar los ejercicios del tipo ejercicio dos sobre ecuaciones diferenciales no homogéneas; en tercer lugar los ejercicios del tipo tres, sobre ecuaciones de Cauchy Euler; en cuarto lugar se plantea la solución, más apropiada a la situación problema, de ecuaciones diferenciales de primer orden; por último se da el análisis y la solución a la situación problema planteada. Al finalizar la actividad, se entiende mejor la temática planteada en la unidad dos, que sin lugar a dudas será de vital importancia para continuar entendiendo de aquí en adelante otras áreas de formación relacionadas con nuestras carreras de ingeniería.

OBJETIVOS



Describir las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas y los diferentes métodos de solución.



Identificar los componentes de las ecuaciones diferenciales de orden superior y sus diferentes aplicaciones.



Entender en detalle la estructura de las ecuaciones lineales de segundo orden.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante

Rol a desarrollar

Bryan Paul Muñoz Cuadros

Revisor

Nelson Gualteros Albarracín

Entregas

Johana Benavidez

Alertas

Antony Marin

Evaluador

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 3Tipo de ejercicios

PASO 3 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

EJERCICIOS 1 –ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado). ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Nelson Gualteros Albarracín b.

15 ´ ´ 25 y −10 y ´ + y =0 6 6

Para cumplir la condición de ecuaciones diferenciales de orden superior debe de tener la forma y ' ' + P ( x ) y ' +Q ( x ) y=R ( x ) →(1) PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA a.

15 ´ ´ 25 y −10 y ´ + y=0 6 6

RAZÓN O EXPLICACIÓN Como se observa en la ecuación diferencial dada, se divide a ambos lados de la igualdad por

15 '' 25 y −10 y ' + y 6 6 0 = 15 15 6 6 y ´ ´−

Operando

60 ' 25 y + y=0 15 15

5 y ' ' −4 y' + y=0 3

→

15 6

Simplificando (2)

Como ya se tienen de la forma P ( x ) y ' + Q ( x ) y=R ( x ) →(1), se identifica

si se puede resolver por el método de homogéneas. Si R( x ) ≢ 0 “Si R(x ) es distinta a la constante cero” se llama homogénea. Como vemos que la ecuación dada es homogénea se procede a solucionar por el método de “Ecuaciones de orden superior, homogéneas con coeficientes constantes”.

15 ´ ´ 25 y −10 y ´ + y=0 6 6

Partimos de la ecuación dada. y=emx y ' =m e mx

Se halla el valor de mSe tiene

y '' =m2 emx 15 2 mx 25 m e −10 m emx + e mx =0 6 6

e mx

( 156 m −10 m+ 256 )=0 2

→ (3)

√

√

10 ± 100− m= 10 ± m=

√

5

Para que la igualdad se cumpla uno de los factores debe ser cero( 0). e mx =0 es diferente de cero, es necesario usar otro método de solución.

m= 2

−(−10 ) ± (−10 ) −4 2

Se factoriza e mx

Es una ecuación que se puede resolver por el método de ecuación cuadrática.

15 2 25 m −10 m+ =0 6 6

m=

Se remplaza en la ecuación dada.

( 156 )

( 156 )( 256 )

−b ± √ b2−4 ac 2a

Remplazamos a=

15 25 ; b=−10 ; c= 6 6

( 1253 )

5 175 3

Se tienen dos opciones m1 , m 2

10+ m1=

√

175 3

√

175 3

¿

6+ √ 21 x 3

→

( A)

6−√21 x 3

→

( B)

5 10−

m 2= 1

y 2=em x =e 2

Ahora se observa si cada solución cumple con la ecuación.

Remplazamos en la ecuación dada.

6+ √21 x 3

6+ 21 y= √ e 3

2

y '1' =

6+ √21 e 3

[(

6+ √ 21 e 3

15 6

6− √21 ≅ 0,4724 3

6 + √21 x 3

' 1

(

6+ √ 21 ≅ 3,5275 3

5

y 1=em x =e

y 1=e

¿

)

2

)

15 ´ ´ 25 y −10 y ´ + y=0 6 6

6+ √ 21 x 3

6+ √21 x 3

] ( −10

6+ √ 21 e 3

6+ √ 21 x 3

)

+

25 e 6

6 +√ 21 x 3

Realizando las operaciones indicadas se tiene que es igual a cero.

17801,3444−20185,6466+2384,3021=0 0=0

Se puede afirmar que y =e 1 solución de la ecuación A.

y 2=e

6−√21 y= e 3

es una

m2 x

( 6−3√ 21 ) e

y '2' =

3

6−√ 21 e 3

)

Ahora se comprueba la ecuación

6 − √21 x 3

2

[(

6 + √21 x 3

6− √ 21 x 3

' 2

15 6

=0

y 2=e

6− √ 21 x 3

6− √21 x 3

] (

6− √21 −10 e 3

1,3063−11,0592+ 9,7529=0

6− √ 21 x 3

)

25 + e 6

=e

6−√21 x 3

→

( B)

Remplazamos en la ecuación dada.

6− √ 21 x 3

15=0´ ´ 25 y −10 y ´ + y=0 6 6

Con lo que se comprueba que y =e 2

6− √ 21 x 3

es una solución de la ecuación dada. 0=0

15 ´ ´ 25 y −10 y ´ + y=0 6 6 Las soluciones de la ecuación dada son

15 ´ ´ 25 y −10 y ´ + y=0 6 6

y 1=e

6 + √21 x 3

y

y 2=e

6− √ 21 x 3

Y la solución general es: y=C 1 e

6 + √ 21 x 3

+C 2 e

6− √ 21 x 3

EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Nelson Gualteros Albarracín b.

3 ´´ 9 ´ x → y + y + 3 y=sin e 2 2 la ecuación no es homogénea.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Sabemos que R( x ) ≢ 0 esto quiere decir que

RAZÓN O EXPLICACIÓN

3 ´´ 9  b.  y + y ´ + 3 y=sin e x 2 2

Sabemos que R( x ) ≢ 0 esto quiere decir que la ecuación no es homogénea.

3 '' 9 ' y + y +3 y=0 2 2

Buscamos la solución general.

y=emx y '=memx

Remplazamos

y ' ' =m2 e mx 3 2 mx 9 mx m e + me +3 e mx =0 2 2

Se factoriza e mx

e mx

( 32 m + 92 m+ 3)=0

m=

Se obtiene una ecuación cuadrática la cual solucionamos.

2

−b ± √ b2−4 ac 2a

Desarrollo aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática.

3 9 a= ; b= ; c=3 2 2

m=

−9 ± 2

9 2 3 −4 ( 3) 2 2 3 2 2

√( )

auxiliar

()

Se remplaza

()

−9 81 ± −18 2 4 m= 3

√

→

−9 9 ± 2 4 m= 3

√

−9 3 ± 2 2 m= 3

De donde se obtiene m 1 y m 2

−9 3 −6 + 2 2 2 m 1= = =−1 3 3

Se hallan los valores de m1 y m2

−9 3 − 2 2 −6 m 2= = =−2 3 3 y 1=e−x ; y 2=e−2 x ;

y 1 ' =−e−x ; y 2 ' =−2e−2 x ;

y 1'' =e−x y 2' ' =4 e−2 x

La ecuación (1) es la solución de la ecuación homogénea. Ahora se busca una solución particular para la ecuación no homogénea.

3 '' 9 ' y + y +3 y=0 2 2 y h=c1 e− x +c 2 e−2 x → (1)

Hallamos los parámetros utilizando las fórmulas.

y p=u 1 e− x +u 2 e−2 x → (2)

u1=−∫

y2 f ( x ) ; w

u2=−∫

Sabiendo que se halla la solución general a la ecuación.

y1 f ( x ) w

U1 yU 2

Donde se sabe quién es y 1 ; y 2 y la función f (x), se procede a identificar en la ecuación dada que para este caso es.

f ( x )=sen e x Ahora se remplaza para hallar w

w=

y1 y1 '

w=

e−x e−2 x −e−x −2 e−2 x

| |

y2 y2'

| |

w=−2 e−3 x +e−3 x =−e−3 x f ( x )=sen e x ; y 1=e− x ; y 2=e−2 x ; w=−e−3 x −u1=∫

e−2 x ∗sen e x dx e−3 x

Para hallar U 1 se integra Integramos

u1=∫ e−2 x∗e 3 x∗sen e x ∗dx

Se simplifica

u1=∫ e x∗sen e x∗dx

Utilizando el método de sustitución

t=e x dt =e x dx

Sustituyendo

dt =dx ex u1=∫ e x sen ( t )

dt ex

Se simplifica

u1=∫ sen( t)dt

Se integra

u1=−cos ( t )+ c1

Volviendo a la variable inicial

u1=−cos ( e x )

Se remplaza

u2=∫

e− x sen e x dx e−3 x

Se procede a hallar u2 integrando.

u2=∫ e−x e3 x sen e x dx

Se simplifica.

u2=∫ e2 x sen e x dx

Se integra

t=e x

Antes de integrar se sustituye para simplificar.

dt=e x dx

dt =dx ex u2=∫ e2 x sen

( t )∗dt ex

Integrando

u2=∫ t∗sen ( t )∗dt

Se soluciona esta integral por partes

u=t du=dt

Usando

v=−cos ( t ) dv =sen ( t ) dt u2=−tcos ( t )−∫ −cos ( t )∗dt

Se integra

u2=−tcos ( t ) +∫ cos ( t )∗dt

Sabiendo que t=e x se remplaza

u2=−tcos ( t ) +sen ( t ) u2=−e x cos ( e x ) + sen ( e x )

Remplazando

y p=−cos ( e )∗e + ( −e cos ( e ) + sen ( e ) )∗e

Como ya se conoce u1 ⋀ u2 se remplazan en la ecuación (2), para hallar la solución particular.

y p=−e−x cos ( e x ) −e−x∗cos ( e x ) +e−2 x sen ( e x )

Operando quedaría.

y p=−2 e−x cos ( e x ) +e−2 x sen ( e x )

Simplificando

x

−x

x

x

x

−2 x

Para hallar la solución de la ecuación no homogénea, se usa la solución particular y la solución de la ecuación homogénea y se y= y h+ y p=c 1 e−x + c 2 e−2 x −2 e−x cos ( e x ) +e−2 x sen ( e x ) suman. Esta sería la solución de la ecuación no homogénea.

EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER.

De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado).

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Nelson Gualteros Albarracín

b.

1 3 ´´´ 3 2 ´´ x y − x y + 3 x y ´ −3 y=0 2 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Para solucionar esta ecuación se plantea

1 3 ´´´ 3 2 ´´ ´   x y − x y + 3 x y −3 y=0 2 2

de la siguiente forma. Como no se conoce el valor de m se

y=x m

halla; se sabe que x >0 debe ser positivo.

y ' =m xm −1 y ' ' =m ( m−1 ) x m−2

Se deriva a “ y” las veces que se pide.

y ' ' ' =m ( m−1 ) ( m−2 ) x m −3 1 3 3 Teniendo las derivadas se remplaza en la x ( m ( m−1 ) ( m−2 ) x m −3 ) − x 2 ( m ( m−1 ) x m−2) + 3 x ( m x m −1 ) −3 xm =0 2 2 ecuación dada. 1 m 3 x ( m ( m−1 ) ( m−2 ) )− xm ( m ( m−1 ) ) +3 x m ( m )−3 x m =0 Distribuimos y operamos 2 2 1 m 3 3 x ( m −3 m2 +2 m )− x m ( m 2−m ) +3 x m m−3 xm =0 2 2

(

1 3 3 2 3 3 m − m +m− m2 + m+3 m−3 x m =0 2 2 2 2

)

Se factoriza x m Dividiendo por x m

1 3 3 2 3 3 m − m +m− m 2 + m+ 3 m−3=0 2 2 2 2

Así tenemos una ecuación de tercer grado, la cual se resuelve, sumando términos semejantes.

1 3 11 m −3 m 2+ m−3=0 2 2

Se soluciona usando la división sintética.

1 2

−3 1 2 −5 2

1 2 1 2

1 2

11 2 −5 2

1

−3

D3= {± 1,3 }

m=1

3

3

0

−5 2

3

3 2

−3

−1

0

3

D3= {± 1,3 }

m=3

Volvemos a dividir los coeficiente obtenidos.

1 m−1=0 2

Despejamos m

1 m= =2 1 2

Así m tiene tres valores

m 1=1; m 2=3 ; m 3=2

así

y 1=x 1 ; y 2=x 3; y 3=x 2

Como estas soluciones son linealmente independientes, las sumamos para hallar la combinación general. Donde c 1 ; c 2 ; c 3 arbitrarias.

y=c1 x+ c 2 x 3 +c 3 x 2

son

constantes

EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Problema: La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 m es θ=0,2 rad y la velocidad angular inicial

d2θ +10 θ=0: Si para t=0, d t2

dθ rad =1 , Al determine θ en función de t para el dt s

movimiento se tiene: a. θ ( t )=0,5 cos √ 10 t+

1 sin √ 10t √ 10

b. θ ( t )=0,2 cos √ 10t +

1 sin √ 10 t √ 10

c. θ ( t )=0,5 cos √ 10 t−

1 sin √ 10 t √ 10

d. θ ( t )=0,2 cos √ 10t−

1 sin √ 10 t √ 10

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

 t=0 θ=0,2 rad =1

Planteamiento inicial.

θ0 =0,2 rad θ '0 =

dθ 1 rad = dt s

d2θ +100=0 dt

Ecuación del movimiento del péndulo

dθ 2 +100=0 dt

( )

Se busca una ecuación característica similar.

r 2 +10=0

Cuya solución es una raíz imaginaria, por lo tanto se tendrá la ecuación de la siguiente forma, para la función desplazamiento.

r =± √−10

⟹ r =± √ 10 i

θ ( t )=c 1 sen ( √ 10 t ) +c 2 cos ( √ 10 t ) θ' ( t ) =

dθ =c 1 cos ( √10 t )∗√ 10−c 2 sen ( √ 10 t ) dt 2

Ecuación para la función desplazamiento. Se deriva la expresión para tener la (1) - Ecuación de velocidad angular

d θ '' θ ( t )= 2 =−10 c 1 sen ( √ 10 t )−10 c 2 cos ( √ 10 ) dt

(2) - Ecuación aceleración angular.

θi=θ0=c 1 sen ( √ 10∗0 ) +c 2 cos ( √ 10∗0 )

Con las condiciones iniciales se puede decir que para t i=0 ; θ(t )=θ( 0)

θ0 =c 2 ⟹ c 2=θcos θ' ( t ) con t=0 ⟹ θ ' (0) θ' ( 0 )= √10 c 1 cos ( √ 10∗0 ) −√ 10 c2 sen ( √ 10∗0 ) Si se tiene la velocidad angular inicial

θ ' ( 0 ) =√ 10 c 1 c 1=

1 ∗θ ' (0) √ 10

θ ( t )=

1 θ ( 0 ) sen ( √ 10 t ) +θ 0 cos ( √10 t ) √10

θ0 =0,2 rad

Se sustituye ambas constantes en la función desplazamiento (1) Los parámetros iniciales son

t=0 ⟹ t i θ' cos=1 c 1=

rad 1

1 rad 1 rad ∗1 = s √ 10 √ 10 s

Se halla c 1 y c 2

c 2=0,2 rad 1 rad sen ( √10 t )+ 0,2rad cos ( √ 10 t ) √ 10 s θ ( t )=0,2 cos √ 10t +

1 sin √ 10 t √ 10

La respuesta a la ecuación sería.

Escrita de otra manera la respuesta correcta sería la b.

PASO 5 PRESENTACIÓN DE APORTES AL ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA A continuación, se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si considera que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, debe realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si luego del debate el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, se debe

realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.

Situación problema:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA Solución planteada: Enunciado: La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son m 1 y m2. Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son k 1 y k 2. El movimiento horizontal del suelo es y . Para el caso en que las masas son idénticas

( m1=m2=m) y las rigideces son idénticas

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

( k 1=k 2 =k ) obtenga un modelo de ecuación del

edificio

y

encuentre

su

solución

homogénea. Se tiene la siguiente situación:

Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton: m x¨1 +2 k x 1−k x 2=ky m x¨2−k x1 +k x 2=0 Dividiendo la ecuación entre m y asumiendo α=

k el resultado es: m Error de signo de algunos términos: x¨1−2 α x 1+ α x 2=α y x¨2+ α x 1−α x 2=0

(1) (2)

Ahora para tener una ecuación en términos sólo de x 1 se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener:

x ''1 +2 α x 1−α x 2=αy x ''2 −α x 1+ α x2 =0 En estén punto podemos ver que la expresión a derivar tiene un error en los signos, pero la derivada es correcta: d 4 x1 d2 x1 d2 x2 d2 y +2 α −α =α dt 4 dt 2 dt 2 dt 2

d 4 x1 d2 x1 d2 x2 d2 y +2 α 2 −α 2 =−α 2 dt 4 dt dt dt

Al sustituir las ecuaciones verificamos:

Ahora sustituyendo x¨2 de la ecuación (2) y x 2 de la ecuación (1) se obtiene:

d 4 x1 d2 x1 2 d2 y 2 +3 α + α x =α y+ α 1 dt 4 dt 2 dt 2

d 4 x1 d2 x1 2 d2 y 2 +3 α + α x =α y+ α 1 dt 4 dt 2 dt 2

Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: 𝛽4 +3𝛼𝛽2 + 𝛼2 = 0.

Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: β 4 +3 α β 2 +α 2=0. Como no −3 α ± √ 9 α 2−4 α 2 −3 ± √5 hay ningún término en β 3 ni β, esta ecuación β 2= = α ( Correcto ) 2 2 2 es cuadrática en β y se puede usar la

(

)

fórmula cuadrática: Entonces, las raíces características son −3 α ± √ 9 α 2−4 α 2 −3 ± √ 5 β= = α 2 2

(

2

)

Entonces, las raíces características son:

β=± 0,618 i

β=± 1,618 i

√

k m

√

k m

imaginarias: β=± 0,618 β=± 1,618

√ √

k i m k i m

la solución homogénea será entonces:

Como estas raíces son imaginarias, la x ( t )=C sen 0,618 k t +C cos 0,618 k t +C sen 1,618 k t+ 1 1 2 3 m m m solución homogénea tiene la forma:

√

x 1 ( t )=C 1 sin 0,618

√

√

m m m m t +C 2 cos 0,618 t+C 3 sin1,618 t+C 4 cososcilaciones 1,618 t La solución contiene k k k k con velocidad

√

√

√

√

La

solución

frecuencias 0,618

√

contiene en

oscilaciones

radianes

k k y −1,618 m m

√

de

con

angular en rad/s de 0,618

√

k k y 1,618 m m

√