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INGENIERIA INDUSTRIAL PROBABILIDAD Y ESTADISTICA UNIDAD 2 .

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

UNIDAD DE COMPETENCIA

Aplica conocimientos básicos de la probabilidad para la resolución de problemas.

TEMARIO     

 



Teoría de conjuntos Análisis combinatorio o Técnicas de Conteo Introducción a la probabilidad Teoría de la probabilidad Axiomas y Teoremas Probabilidad Probabilidad Independiente Probabilidad Condicional Teorema de Bayes

Teoría de conjuntos

Conjuntos Conjunto: Es una colección de objetos, entes, cosas, elementos, etc. con características y cualidades propias bien definidas.

Conjuntos, cont… Especificación de conjuntos: a)

Por numeración o extensión: consiste en enumerar cada uno de sus elementos mediante comas y encerrarlo mediante llaves. A = {a, e, i, o, u}, B= {rojo, amarillo, azul}

b) por comprensión o descripción: consiste en establecer aquellas propiedades que caracterizan los elementos en el conjunto. A = {x | x es una vocal}, B= {x: x es un color primario}

Operaciones

Operaciones

Ejemplo 1 En cierta facultad se entrevistaron a 100 estudiantes de los cuales 50 estudian matemáticas, 40 estudian probabilidad y 20 no estudian ninguna de las dos. ¿Cuántos jóvenes estudian ambas materias?

M 40

P 10

30

20

Ejemplo 2 Resultado En una empresa se está estudiando la situación socioeconómica de sus 400 empleados, obteniéndose la siguiente información: 140 tienen automóvil propio, 130 tienen casa propia, 160 cuentan con televisión, 50 tienen automóvil y casa propia , 70 cuentan con automóvil y televisión, 40 con casa y televisión, 20 automóvil y casa pero no televisión. Determinar el número de empleados que: a) tienen automóvil, casa y televisión . b) no tienen ninguna de las tres cosa. c) tienen por lo menos una de las tres cosas.

A

50 40

20 30

80 10

70

TV

C 100

Actividad El Departamento de préstamo del Instituto de Seguridad Social para Trabajadores del Estado ha efectuado una encuesta entre sus afiliados, como parte de un estudio para la determinación de prioridades en la asignación de préstamos personales. Se obtuvieron 2,600 respuestas con los siguientes resultados: 800 afiliados son casados,

1,000 afiliados habitan en vivienda arrendada, 950 afiliados perciben ingresos inferiores a $ 1,500 mensuales, 200 afiliados son casados, no habitan en vivienda arrendada y perciben ingresos superiores a $1500 mensuales, 350 afiliados son casados y habitan en vivienda arrendada, 230 afiliados son solteros, habitan en vivienda arrendada y tienen inferiores a $ 1,500 mensuales, 350 afiliados son casados, y perciben ingresos inferiores a $1,500

ingresos mensuales.

cont… Se pretende determinar: 

a) ¿Cuántos afiliados son casados, habitan en vivienda arrendada y perciben ingresos inferiores a $1500 mensuales?.



b) ¿Cuántos afiliados son solteros, habitan en vivienda propia y perciben ingresos superiores a $1500 mensuales?.



c) ¿Cuántos afiliados son solteros, habitan en vivienda arrendada y perciben ingresos superiores a $1500 mensuales?.

Análisis combinatorio Son técnicas para determinar el número de resultados posibles de un experimento o el número de elementos en un conjunto sin enumerarlos directamente. Las técnicas mas utilizadas son:   



Diagrama de árbol Principio de la Multiplicativo/ Aditivo Permutaciones Combinaciones

Diagrama de árbol Es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una secuencia de experimentos o eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito de formas. se construye de izquierda a derecha y las ramas que se formen serán los posibles resultados del evento.

6

5

4

4

3

2 4

3

3

2

Ejemplo:

2 2

2 1

0

4

3

1

Adriana tiene tiempo para jugar a la ruleta como máximo 5 veces, en cada juego ella gana o pierde $1. Ella empieza con $1 y dejara de jugar si pierde todo su dinero. ¿ De cuantas maneras puede ocurrir la apuesta?.

4

0 1

2

1 0

2 0

2

Resultado S = {123456, 123454, 123434, 123432, 123234, 123232, 123212,123210, 121234, 121232, 121212, 121210, 1210, 10} son 14 diferentes formas en que pueden ocurrir las apuestas.

Combinaciones Es un arreglo de n objetos, tomado r a la vez, cualquier selección de r objetos donde el orden no cuenta, se denota y se define como:

n

c

 r =  

n (n  1)(n  2).........(n  r  1) n n! =  = r! r ! (n  r ) ! r

Ejemplo 

 



Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger tiene. Cuantas maneras si las 3 primeras preguntas son obligatorias. Cuantas si tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas.

Resultado

c  45  c  c   21  c  c   25

10

8

3

3

7

5

5

4

5

4

n! (n  r )!

Permutación 

Cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dado tomando todos los elementos o una parte r de ellos se denomina permutación de los objetos.

n! n Pr  (n  r ) !

Ejemplo 1

Resultado



Una compañía ha creado 3 nuevas plazas y tiene 10 candidatos para ocuparlos. De cuantas maneras diferentes se pueden ocupar los puestos?.

10 !   720 10 P3 (10  3) !

10 9

8

= 720

EJEMPLO 

Cuatro matrimonios compran 8 lugares para un concierto ¿en cuantas formas diferentes pueden sentarse?

RESULTADOS 8

P

8



8!  8! (8  8) !

a) sin restricciones a)

b) si se sientan por parejas

b)

c)

c) si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de las mujeres

8!=40,320 4!2!2!2!2!=384 4!4!=576

Introducción a la probabilidad

Introducción 

La probabilidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios, cuando éstos se comparan con los fenómenos determinísticos.



Las probabilidades se plantean con respecto a un evento, tomando en consideración cómo se relacionan entre sí diversos eventos.



Dado un espacio muestral S, el objetivo de la probabilidad es asignar a cada evento A un número P(A), qué recibe el nombre de probabilidad del evento A, que proporciona una medida precisa de la probabilidad de que el evento A ocurra.

Espacio muestral y eventos 

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico y suele representarse por medio de la letra S.



Un evento es cualquier colección (subconjunto) de resultados contenida en el espacio muestral S.

Enfoque clásico de la probabilidad Se aplica cuando todos los resultados posibles son igualmente probables. Por consiguiente se puede afirmar que si hay N posibilidades igualmente probables, de las cuales una debe ocurrir y n se consideran favorables o como “acierto”, entonces la probabilidad de lograr un acierto está dad por la razón:

n P( A)  N

Ejemplo 

Adriana tiene tiempo para jugar a la ruleta como máximo 5 veces, en cada juego ella gana o pierde $1. Ella empieza con $1 y dejara de jugar si pierde todo su dinero. ¿ Cuál es la probabilidad de que la apuesta termine antes cinco juegos?.

Resultado Número de elementos de S =14 S = {123456, 123454, 123434, 123432, 123234, 123232, 123212,123210, 121234, 121232, 121212, 121210, 1210, 10}

Número de elementos de A = 2 A= {1210, 10} Entonces la probabilidad

2 P( A)   0.1428  14.28% 14

Probabilidad como frecuencia relativa

En muchas situaciones prácticas, los resultados posibles de un experimento no son igualmente probables para ello es necesario obtener algunos datos empíricos en un intento de estimar las probabilidades.

P( A) 

No. de veces que ocurre un evento No.total de ensayos

Ejemplo 1 Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. a)

b)

Cual es la probabilidad de que elija obligatoriamente las 3 primeras preguntas?. Cual es la probabilidad de que conteste 4 de las 5 primeras preguntas?.

Resultado No. De Veces que ocurre S 10

No. De Veces que ocurre A No. De Veces que ocurre B

 c  c   21 3 3 7

25 b) P ( B )   0.555  55.5% 45

5

 c  c   25 5

21 a) P( A)   0.466  46.6% 45

 45 8

c

4 5

4

Ejemplo 2 Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se sienten por parejas?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres.

Resultado No. De Veces que ocurre S = 8!=40,320 No. De Veces que ocurre A =4!2!2!2!2!=384 No. De Veces que ocurre B =4!4!= 576

384 P( A)   0.00952  0.952% a) 40320 576 b) P( B)   0.0142  1.42% 40320

Ejemplo 3 De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian español y 20 estudian francés y español. Si se escoge un estudiante al zar, halle la probabilidad de que el estudiante, a) estudie francés y español y, b) No estudie francés ni español

Resultado F

40

20 a) P( A)   0.166  16.6% 120

E

20

30 30

30 b) P ( B )   0.25  25% 120

Axiomas y teoremas de probabilidad Con fundamento en la definición de probabilidad, se pueden establecer los tres axiomas siguientes que servirán de base para desarrollar la teoría probabilística.  Axioma I.  Axioma II.  Axioma III. Si A1, A2, ..., An son n eventos mutuamente excluyentes, entonces

P( A)  0 P( S )  1 n

P( A1  A2  A3 ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )   P( Ai ) i 1

P( A)  1  P( A' )

Teoremas 

Teorema I. Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y P(A) su probabilidad, entonces:



Teorema II. Si A y B son dos eventos cualesquiera de un experimento aleatorio y P(A) y P(B) sus probabilidades respectivas entonces: '

P( A)  1  P( A )

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)

Cont…. 

Teorema III. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes de un experimento aleatorio y P(A) y P(B) sus probabilidades respectivas entonces:

P( A  B)  P( A)  P( B)

Actividad Tres estudiantes A,B,C intervienen en una prueba de natación. A y B tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de C. Hallar la probabilidad de que gane B ó C.

Actividad Se sabe que 2/3 de los reclusos en una cierta prisión federal son menores de 25 años. Si también se sabe que 3/5 partes del total son hombres y 5/8 mujeres o de 25 años o mayores. ¿Cuál es la probabilidad de que un prisionero que se seleccione al azar sea mujer y de al menos 25 años?.

Actividad Una clase de 10 hombres y 20 mujeres, de los cuales la mitad de las mujeres y la mitad de los hombres tienen ojos cafés. Encuentre la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre ó tenga ojos cafés.

Actividad Una empresa desea contratar a cinco personas de un conjunto de 20, ocho hombres y 12 mujeres. ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno sea hombre?

Probabilidad condicional 

Las probabilidades asignadas a varios eventos dependen de lo conocido de la situación experimental al realizarse la asignación. .



Para dos eventos A y B, con P(B)>0, la probabilidad condicional de A al ocurrir B está definida por: P( A  B) P( A / B)  P( B)

Ejemplo La probabilidad de que un automóvil al que se le llena el tanque de gasolina necesite también un cambio de aceite es de 0.25; la de que requiera un nuevo filtro de aceite, de 0.40 y de que le hagan falta tanto cambio de aceite como de filtro, de 0.14. a) Si debe cambiarse el aceite ¿cuál es la probabilidad de que necesite un filtro nuevo? b) Si necesita un filtro nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que requiera que se le cambie el aceite? R= a) 0.56 b) 0.35

Actividad 



Se lanza un dado. Si el número es impar ¿Cuáles la probabilidad de que sea primo? Se lanza un par de dados. Si los números resultan diferentes, hallar la probabilidad de que la suma sea par.

Actividad En el último grado de la escuela , en un grupo de 100 alumnos se encontró que 42 cursaron Matemáticas, 68 Sicología, 54 Historia, 22 Matemáticas e Historia,25 Matemáticas y Sicología, 7 Historia pero no Matemáticas ni Sicología, 10 las tres materias y 8 ninguna de las tres. Si se selecciona un estudiante aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que  Una persona inscrita en Sicología haya estudiado las tres materias;  Una persona que no se inscribió en Sicología haya tomado Historia y Matemáticas

Teorema o regla de Bayes 



El cálculo de una probabilidad posterior , a partir de probabilidades anteriores dadas y las probabilidades condicionales , ocupan una posición central en la probabilidad elemental. Sea A1, A2, ..., Ak un conjunto de k eventos mutuamente excluyentes con P( Ai )> 0 para i=1,2,3,...,k. Entonces para cualquier otro evento B para el qué P(B)>0, tenemos: P( A j / B) 

P( A j  B) P( B)



P( B j / A) P( A j ) K

 P( B / A )  P( A ) i 1

i

i



 



Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Solución Sea D = "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

Resultado a)

b)

P(D) = P(A) P(D/A) + P(B)P(D/B) + P(C) P(D/C) = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 Debemos calcular P (B/D). Por el teorema de Bayes,

Cont….. 

Calculamos P (A/D) y P (C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

Actividad Se sabe que un suero de la verdad que se aplica a un sospechoso es 90% confiable cuando la persona es culpable y 99% cuando es inocente. En otras palabras, 10% de los culpables se juzgan inocentes por el uso de este suero y 1% los inocentes, culpables. Si se selecciona un individuo de un grupo de sospechosos, de los cuales solo un 5% ha cometido un crimen, y el suero indica que es culpable, ¿Cuál es la probabilidad de que sea inocente?

Actividad Cuatro máquinas traga monedas, se arreglan de tal modo que el jugador gana tres veces de cada veinte veces que juega, sin embargo, una de las máquinas está descompuesta y paga 6 veces de cada 20. Si usted juega y gana, ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido la máquina que está descompuesta?.

Independencia 



A y B se consideran eventos independientes, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene relación con la probabilidad de que ocurra el otro. Dos eventos A y B de un experimento aleatorio son independientes si :

P( A / B)  P( A)



Esto es A y B son independientes si y sólo si:

P( A  B)  P( A)  P( B)

Ejemplo Si la probabilidad de que una Respuesta persona cometa un error al hacer su declaración de a) (0.1) (0.1) (0.1) (0.1) = 0.0001 impuestos es de 0.1, b) (0.1) (0.1) (0.9) (0.9) = 0.0081 encuentre la probabilidad de que a) Cuatro personas totalmente ajenas una a la otra se equivoquen; b) El señor Pérez y la señora Alvarado lo hagan y que el señor González y la señora Jiménez no.

Actividad Una escuela determinó que la probabilidad de que un egresado apruebe su examen recepcional en el primer intento es de 0.7, que lo apruebe en el segundo es de 0.8, y la probabilidad de que lo apruebe en la tercera oportunidad es de 0.9. Encuentre la probabilidad de que un egresado a) repruebe el examen en la tercera oportunidad, b) apruebe el examen en la segunda oportunidad, c) apruebe el examen en la tercera oportunidad.

Actividad Un jefe de oficina está fuera de su área de trabajo el 15% del tiempo y su auxiliar esta en su lugar de trabajo el 90% del tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que el jefe reciba una orden y que su auxiliar no le ayude?

GRACIAS