• Author / Uploaded
• Jimmy Alexander Ochoa Ruiz

Citation preview

Solucionario DE TRIGONOmetría Sistemas de medición angular

Sector circular

1. Hallamos el término “n”.

3. r

M

L= θR

r)

R

& n = c C + 1mc C + 2 mc C + 3 m ... c C + n m C C+1 C+2 C+n-1 S

θ rad

N r

O'

Luego, resolvemos: n = C + 1 C + 2 C + 3 ... C + n c m C c C + 1 mc C + 2 m c C + n - 1m S

n = 1 vuelta

+ θ(R

n = 1+ 1 1+ 1 1 1 + 1 ... 1 + c m C c C + 1mc C + 2 m c C + n - 1m S



Observamos: θ^R + r h n= L &1= & θ = 2 πr R+r 2 πr 2πr 2 Rr π l! = θR = MN R+r

n = C+n S C & nc 1 - 1 m = 1 S C

Clave C

Pero observamos:

S = 9k; C = 10k & n c 1 - 1 m = 1 9k 10k & k = n & S = 9a n k 90 90 n ` S = a k° 10

4. g

α α°

Clave C

2. Sabemos que S = 180R / C = 200R p p R

R

c

c

180 R .RR = R m p

c c

& q1R1 = q2R2

200R m p

a°R1 = (ag)R2 a°R1 = (a°) c 9 m R2 10 R1 9 ` = R 2 10

200R p

180 R = R m p

200R - R p

180 R = R m p

200 Rc p 1m

Clave C

180 R = Rc c m p & 180 = R p

Razones trigonométricas de ángulos agudos

200 - p .R p m

5.

200 - p p

M=

200 - p p

B

a M

4a

C α



Reemplazamos en M:

R2

Siendo q1 y q2 los ángulos que giran las ruedas en grados sexagesimales, tenemos:

C

Reemplazamos en S = R : & c 180 R m = R p

R1

R

200 - p p

5

` M = R Clave B

3a

3a

P a A

Q a D

β

a R

2a

N

2a

Interpretamos el gráfico: BM = AP = MC = BP = ND = a . 4 3 2

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

1

Luego: BM = a; AP = a; MC = 4a; BP = 3a; ND = 2a

2 Si tanq = m & cotq = d & cot2q = d 2 d m m

` tana + tanb = 5a + 4a = 11 3a 2a 3

2 & cot2q - 1 = d 2 - 1 m

Clave C 6.

2 2 cot2q - 1 = d -2m m

A

2 2 m(cot2q - 1) = d - m m

θ

C k 5 2θ

O

En el

2θ

k

` x = m(cot2q - 1)

B

D

2k

2 2 Pero d - m = x m

OCD

θ

k 5 k 5

θ

O'

Clave D

C

2θ

O

` cotq = k 5 + 2k = k

9. Podemos escribir la expresión así: 1 sen(2x + 20°) . =1 cos ^80° - 3xh

k D

2k

5 +2 Clave C

7. De acuerdo a los teoremas de base media y puntos medios, tenemos: θ

4k 37°

I

m

Clave A

& tanx = coty secy = cscx cotx = tany Luego reemplazamos en la expresión: coty + mcscx coty + ncscx = tany tany

3k

8k

Luego, tanq = 4k = 4 . 9k 9

& sen(x + 20°) = sen(10° + 20°) = sen30° = 1 2 10. Si x + y = 90°

6k

3k

8.

sen(2x + 20°) = cos(80° - 3x) & (2x + 20°) + (80° - 3x) = 90° 100° - x = 90° x = 10°

Clave A

& m=n

` m = 1 n

Clave C

M

Resolución de triángulos rectángulos

θ

d T

m

O

θ

x

S

Observamos que tanq = m ( MOT). d d tanq = ( ITS) m+x 2 & m = d & d 2 = m^m + xh & d = m + x d m+x m 2 & x = d -m m 2 2 x = d -m m

Q 11. A B α qsenα p

α

P

q

rsenα

psenα

α

Se observa que PR = QS.

R

t

tsenα D

r

α

S

C

& psena + rsena = qsena + tsena (p + r)sena = (q + t)sena

` p+r=q+t

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

2

14. Si |cosq| = -cosq

Ángulos verticales y horizontales

& cosq < 0 Si |tanq| = tanq & tanq $ 0 ` q ! III cuadrante

12. F

53° 60°



53° 200 m 60°

P

& Si |senq| =

C

5 & senq = - 5 3 3

Luego y = - 5 ; r = 3; x = -2



& M=

B

5 c 3 m + 9 c- 2 m = -3 - 6 = - 9 3 - 5 Clave C

En el

 FPB tenemos tan60° = 200 PB 200 3= & PB = 200 PB 3

PC 2 - PB 2

Clave E

150 2 - c 200 m = 95,74 m 3 2

BC =

16. senq = - 1 c1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1 m 2 3 3 5 5 7 2n - 1 2 n + 1

El espacio recorrido del barco es de 95,74 m en 30 segundos. & v =

A

a2 + (4k)2 = (a + 3k)2 a + 3k 5k & a = 7k 4k 6 y Luego tanq = = 4k 53° x - 7k O x 6 B 3k 24 θ ` tanq = a 7

FPC, tan53° = 200 PC 4 200 & PC = 150 = 3 PC PBC, BC =

(x; y)

Observamos: y = 4k

En el

En el

y

15.

95, 74 m = 3, 19 m = 11, 48 km 30 s s h

Clave B

senq = - 1 c1 - 1 m 2 2n + 1 & senq = - 1 c 2n m = - n = x / cos q < 0 2 2n + 1 2n + 1 r & q ! IIIC; y < 0 x=-n r = 2n + 1 x2 + y2 = r2

Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud (posición normal)

y = - n + 1 . 3n + 1

Luego:

13. Si q ! IVC & cosq = 1 4

M= 4

15

n + 1 - n + 1 3n + 1 + ^2n + 1h E ; -n -n 3n + 1

M = n + 1 - c 2n + 1 m = - n = - 1 n n n

θ

1

También  cscq $ ( - ) cotq $ ( - ) secq $  ( + )

Clave A

17. Si p < q < 2p & π < θ < π 2 2 q & ! IIC & csc q es (+) 2 2

4 - c- 4 m 15 sec q csc q Luego M = = 1 - cot q 1 1-c m 15 4+ 4 15 = 4 & M= 1 1+ 15

Si 0 < a < p & 2p < 2p + a < 3p & p < 2π + α < 3π 2 2 2 π α + & d IIIC & tan c 2π + α m es (+) 2 2 ` (+) + (+) = (+) Clave E

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

Clave D

3

B y 20. 18. Sabemos que sena = - 15 & a ! IIIC, y senq = , entonces: r 17 B x2 = 172 - (-15)2 & x2 = 64 Observamos: & x = -8; (x < 0) A + B + C = 180° C A + B = 180° - C A C Como a y q son coterminales, entonces A / A + C = 180° - B Reemplazamos en E: tana = tanq = - 15 = 15 8 -8 3 tan c 180° - C m A partir del gráfico a - q = 2p & tan(a - q) = 0 2 2 csc 2B E= C csc 2 ^180° - Bh@ 6 15 15 15 cot ` M = + +0 = 2 8 8 4 Clave A 3 tan c90° - C m 2 2 csc 2B E= C csc 360° - 2Bh ^ cot Reducción al primer cuadrante 2

3 cot C 2 - 2 csc 2B E= C - csc 2B cot 2

19. Observamos lo siguiente: • sec(a - 85p) = sec(-(85p - a))

= sec(85p - a)



= sec(84p + p - a)



= sec(p - a)

E=3+2=5 Clave E 21. Al ser un triángulo, se cumple:

• csc c α - 39π m = csc ;- c 39π - αmE 2 2 = - csc c 39π - αm 2 = - csc c18π + 3π - αm 2 3π = - csc c - αm 2

A + B + C = 180° A + C = 180° - B Reemplazamos en M: csc ; 1 ^180° - B + 3BhE 2 M= sec 6180° - B + 2B@ M=

• tan c α - 73π m = - tan c 73π - αm 2 2 = - tan a36π + π - αk 2 = - tan a π - αk ++ 2

csc ^90° + Bh = sec B = - 1 sec ^180° + Bh - sec B

22. asen c26π + 3π - θm cos a38π + π + θk = 1 2 2

• cos(a - 73p) = cos(73p - a)

asen c 3π - θm cos a π + θk = 1 2 2



= cos(72p + p - a)



= cos(p - a)

(-acosq)(-senq) = 1 asenqcosq = 1 senqcosq = 1 a

Reemplazamos en la expresión: M=

M=

Clave D

3π 6sec ^π - αh@;- csc c 2 - αmE

... (I)

Luego calculamos S: S = tanq + cotq

- tan a π - αk cos ^π - αh 2

S = senq + cos q cos q senq

(-sec a) (-sec a) = sec a cot a (-cos a) - cot acos a 2

2 2 S = sen q + cos q senq cos q

- sen π - 3 3 = 2 M = - sen4α = 1 4 cos α cos 4 π c m 3 2

S=

` M = - 8 3 Clave D

1 senq cos q

A partir de (I) obtenemos S = 1 = a. 1 a

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

Clave E

4

23. De acuerdo a los datos, observamos:

A partir del gráfico: y

y

1

α

30° x

π 13 b

r

x

a

-1 # sena # 1

3 # sena - 1 # 1 345° 2 2 2

sombreado, sen p = a ; 13 r a también cosa = r En el

-1 2 De donde 0 # csena - 1 m # 9 2 4

& Cumple con la siguiente condición: cosa = -sen p 13

2 0 $ - csena - 1 m $ - 9 4 2



& a es el ángulo buscado.

Formamos k:

Luego a = 2p + 3p - p = 89p 2 13 26

1 $ 1 - sena - 1 2 $ - 2 c m 2 4 4 ` 1 $ k$-2 4 k ! ; - 2; 1 E 4

Clave B

Circunferencia trigonométrica 24. Transformamos la expresión:

Clave A

W = cos[(senq+ 1)2- 1]

26.

Como q ! R & -1 # senq # 1 0 # senq + 1 # 2 -1 # (senq + 1)2 - 1 # 3 Analizamos en la C.T.:

3

O α θ M 1 α P cotα Q Luego P = (-cotq; -1).

y

cos3

O cos(-1)

y

C.T.

x

A(1; 0)

Observamos: A = (1; 0) P = (-cota; -1)

x

Además, q = 180° + a cotq = cot(180° + a) & cotq = cota

Como M es punto medio de PA, entonces,

-1

M = c 1 - cot q; - 1 m 2 2

Observamos:

Clave C

cos3 # cos(senq + 1)2 # cos0

27. y

cos3 # cos[(senq + 1)2 - 1] # 1 & Wmín = cos3 Clave D 25. Sea sena - sen2a = k

θ

1 S = θ

S

& k = -(sen a - sena)

x secθ

2 k = - ;sen 2 a - 2sena c 1 m + c 1 m E + 1 2 2 4

& 2S = tanq - q & 2S + q = tanq

2 Entonces, k = 1 - csena - 1 m . 2 4

Entonces M = (tanq)cotq = 1

2

A partir de la gráfica:

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

q^ 1h2 ^ 1h sec q senq 2 2

Clave D

5

28.

Comparamos (a) y (b): 1+k=3 / k-1=1 k = 2 k=2 & Cumple ` k = 2

y α

P

B R

Clave C H

A' Q

O

A x

2 2 3 3 6 6 30. sen a - cos a = ^sen ah - ^cos ah 2 2 2sen a - 1 2sen a - 1 ^sen3 a - cos3 ah^sen3 a + cos3 ah = 2sen 2 a - 1

B'

Factorizamos la diferencia y la suma de cubos:

Se observa que PH = sena / PR = |cosa| = - cosa A'H = A'O - HO = 1 - PR & A'H = 1 + cosa (HO = PR) El área que se pide es la suma de áreas de los triángulos A'PQ y PBQ. & S = SDPA'Q + SDPBQ S = PQ.A'H + PQ.PR 2 2 ^2senah^1 + cos ah ^2senah^- cos ah S = + 2 2 S = sena + senacosa - senacosa ` S = sena

- ^1 - sen 2 bh - cos 2 b = 1 - 3sen 2 b 1 - 3sen 2 b ... (a)

^2sen 2 a - 1h^1 - sen 2 a cos 2 ah = 1 - sen2acos2a ^2sen 2 a - 1h

32.

f(senx + cosx) = 4senxcosx - 6senx - 6cosx + 9

f(senx + cosx) = 2(sen2x + cos2x) + 4senxcosx - 6(senx + cosx) + 9 - 2(sen2x + cos2x)

sec2a - 1 = 2tan2b - k sec2a = 2tan2b - k + 1 12 = 2tan2b - k + 1 cos a 1 1 cos2a = = 2 tan 2 b - k + 1 2sen 2 b -k+1 cos 2 b cos 2 b 2sen b - k^1 - sen 2 bh + ^1 - sen 2 bh 2

cos 2 b ^1 + khsen 2 b - ^k - 1h

=

f(senx + cosx) = 4senxcosx - 6(senx + cosx) + 9

tan2a = 2tan2b - k

& cos2a =

^sen2 a - cos2 ah^1 - sen2 a cos2 ah 6sen2 a - ^1 - sen2 ah@^1 - sen2 a cos2 ah = 2sen2 a - 1 2sen2 a - 1

Clave D

De (I), obtenemos:

cos2a =

=

Operamos por identidades auxiliares: 1 - (1 - 2sen2xcos2x) = (b - a)sen2xcos2x & 2sen2xcos2x = (b - a)sen2xcos2x 2 = b -a ` F = (b - a)2 = 22 = 4

cos2a(1 - 3sen2b) = -cos2b

cos 2 b 3sen 2 b - 1

^sena - cos ah^1 + sena cos ah^sena + cos ah^1 - sena cos ah 2sen 2 a - 1

(2 - cos4x) - (1 + sen4x) = bsen2xcos2x - acos2xsen2x 1 - (sen4x + cos4x) = (b - a)sen2xcos2x

cos2a - 3cos2asen2b = -cos2b

& cos2a =

=

31. Si restamos la expresión (2) - la expresión (1), obtenemos:

29. De (II), obtenemos:

cos2a =

^sena - cos ah^sen2 a + sena cos a + cos 2 ah^sena + cos ah^sen2 a - sena cos a + cos2 ah 2sen 2 a - 1

6 6 ` sen a 2- cos a = 1 - sen2acos2a 2sen a - 1

Clave B

Identidades trigonométricas

=

... (b)

& f(senx + cosx) = 2(sen2x + cos2x + 2senxcosx) - 6(senx + cosx) + 9 - 2 & f(senx + cosx) = 2(senx + cosx)2 - 6(senx + cosx) + 7 Luego reemplazamos: 2 fc 1 m = 2c 1 m - 6c 1 m + 7 = 9 2 2 2 2 2 f c- 1 m = 2 c- 1 m - 6 c- 1 m + 7 = 21 2 2 2 2

` f c 1 m + f c- 1 m = 9 + 21 = 30 = 15 2 2 2 2 2

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

Clave D

6

33. E = E= E=

61 - ^1 - senxh@61 - ^1 - cos xh + ^1 - senxh@ 61 - ^1 - cos xh - ^1 - senxh@

& A2 = B2cos2a + 1 - cos2a & A2 - 1 = cos2a(B2 - 1) 2 & cos2a = A2 - 1 B -1

senx 61 - senx + cos x @^senx + cos x + 1h 6cos x + senx - 1@^senx + cos x + 1h senx 6^1 + cos xh - sen x @ 2senx cos x 2

cosa = !

2

Clave A

(1 + cosx) 2 - (1 + cosx) (1 - cosx) E= 2cosx E=

36. Si sec2x = ntanx

^1 + cosxh6^1 + cosxh - ^1 - cosxh@ 2 cos x

&

E = 1 + cosx ` E = 2 - versx Clave C 34. De (I), obtenemos:

... (III)

... (IV)

2

Clave C 35. A partir de la condición, tenemos: tana = Btanq senα = Bsenθ cos α cos θ 2 2 2 & sen2 α = B sen2 θ cos α cos θ

4 4 x - tan 4 xsen 4 x M = tan x + sen 2 tan x - sen 2 x

4 4 x - tan 4 xsen 4 x M = tan x + sen 2 tan x^1 - cos 2 xh 1 44 2 44 3 sen2 x Dividimos:

M = tan2xcsc2x + cot2xsen2x - tan2xsen2x Luego operamos: 2 2 M = sen2 x . 12 + cos 2 x .sen 2 x - tan 2 xsen 2 x cos x sen x sen x

sen2acos2q = B2sen2qcos2a

sen2a(1 - sen2q) = B2sen2qcos2a

2 sen a = sen2 a (B2cos2a + 1 - cos2a) A

1- 1 n = n-1 1 + 2c 1m n + 2 n

4 4 4 4 M = tan x + sen x -2 tan xsen x tan 2 x - sen2 x . cos 2 x cos x

` 3n4 + 4m - 6n2 = 1

2

Reemplazamos (I) en E y obtenemos:

37. Efectuamos:

2 4 2 c n - 1 m = 1 - m & n - 2n + 1 = 1 - m 2 3 4 3

En (I), obtenemos:

^senx + cosxh^sen 2 x - senx cosx + cos 2 xh ^senx + cosxh3

Clave C

Reemplazamos (IV) en (III):

Si sena = Asenq & senq = sena A

& E =

E=

Elevamos al cuadrado la ecuación (II): (senx + cosx)2 = n2

sen2a = B2sen2qcos2a + sen2asen2q

... (I)

& E = 1 - senx cos x2 = 1 - senx cos x ^senx + cosxh 1 + 2senx cos x

sen6x + cos6x = m & 1 - 3sen2xcos2x = m & 1 - m = 3(senxcosx)2

& 1 + 2senxcosx = n2 & 2senxcosx = n2 - 1 2 senxcosx = n - 1 2

1 = nsenx & senxcosx = 1 n cos x cos 2 x

3 3 Si E = sen x + cos x3 ^senx + cosxh

E = 1 + 1 - versx

& (senxcosx)2 = 1 - m 3

1 - A2 1 - B2

... (I)

M = sec2x + cos2x - (sec2x - 1)sen2x M = sec2x + cos2x - tan2x + sen2x M = cos2x + sen2x + sec2x - tan2x 1 ` M = 2

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

1 Clave E

7

38. Expresamos W en términos de tanx y cotx: 2

Luego asignamos variables a AB y BC, de acuerdo a la proporcionalidad y semejanza.

2

W = 1 + tan x + 1 + cot x + 2(tanx + cotx) & W = 2 + tan 2 x + 12 + 2 c tanx + 1 m tanx tan x 144 244 3 144 244 3 ^ ah ^ bh De acuerdo a la propiedad de los números reales indicada en el enunciado, las expresiones señaladas (a) y (b) cumplen:

& Por propiedad (a + b) + q = 90° & tan(a + b) = cotq tan α + tan β = cot θ 1 - tan α tan β 2h + p 4p 5h = cot q p 1 - 2h . 4p 5h 5 h 2 + 2p 2 &cotq = 9hp 2p hp c 5h + m h p cotq = 9hp p 5 c h m + 2a k p h cotq = 9



tan2x + 12 $ 2 / ctanx + 1 m $ 2 tanx tan x Aplicamos a la expresión obtenida en W: W $ 2 + 2 + 2(2) & W $ 8 ` Wmín.= 8 Clave D

Ángulos compuestos

Por la propiedad de números reales, obtenemos: p 5 c h m + 2a k $ 2 5 # 2 p h

39. Si cota, cotb y cotg están en progresión aritmética, debe cumplirse lo siguiente:

Luego, para que cotq asuma el valor mínimo, el numerador en (a) también debe ser mínimo.

cotb - cota = cotg - cotb & 2cotb = cota + cotg

p & 5 c h m + 2 a k = 2 10 h p & cot q^mín.h = 2 10 9

Y se sabe que tanb = 2senasengcsc(a + g). &

1 = 1 tan β 2senαsenγ csc ^α + γh

cotb = 2cotb =

sen^α + γh 2senαsenγ

41.

= cotg + cota ` 2cotb = cotg + cota Entonces se demuestra que cota, cotb y cotg están en P.A.

D

k p

C h

Sea AE = 2k 3k ED = 3k β 5h DC = k E

2k A

2p

2h

α

4p

M

θ

B

A

Clave D 3k

4k

4k

senα cos γ + senγ cos α senαsenγ

40.

3k

D x

senα cos γ senγ. cos α = + senα.senγ senα.senγ

... (a)

4k β

α

C

8k

B

MC = 3k CB = 4k AB = 8k Observamos que x = a + b. & tanx = tan(a + b) ` tanx = 22 7

4+4 tanα + tanβ 6 5 tanx = = 1 - tanαtanβ 1 4 4 - c m 5 6 Clave C

42. Factorizamos: W=

2tanA + 3tanB - tanC^1 + tanAtanBh tanA + 4tanB - 2tanC^1 + tanAtanBh

Si B - A = C & tan(B - A) = tanC

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

8

tanB - tanA = tanC 1 + tanBtanA

Ángulos múltiples

tanB - tanA = tanC(1 + tanAtanB)

... (a)

Reemplazamos (a) en W: W=

45. Sabemos que x + y = p & y = p - x,

2tanA + 3tanB - ^tanB - tanAh tanA + 4tanB - 2^tanB - tanAh



W = 3tanA + 2tanB 3tanA + 2tanB

& senxseny = 3 & senxsen(p - x) = 3 4 4 & sen2x = 3 4

... (I)

Luego:

` W = 1

cos2(x - y) = cos2(x - p + x)

Clave A

cos2(x - y) = cos(4x - 2p) cos2(x - y) = cos4x

43. Sabemos lo siguiente: tan(24° + 21°) = tan 24° + tan 21° 1 - tan 24° tan 21°

Pero, además, cos4x = 2cos22x - 1. De (I), obtenemos cos2x = 1 - 2sen2x = 1 - 2 c 3 m 4 & cos2x = - 1 2

1 & 1 - tan24°tan21° = tan24° + tan21° & 1 = tan21° + tan24° + tan21°tan24° N & N = 1 Además:

Reemplazamos en (II): 2 cos4x = 2 c- 1 m - 1 = - 1 2 2

Clave C

tan(63° - 3°) = tan63° - tan3° 1 + tan63°tan3° 3

46.

& 3 + 3 tan63°tan3°= tan63° - tan3°

& M=

M

3

a 2

P

3 = tan63°- tan3°- 3 tan63°tan3°

... (II)

a

Q

α

S

a R

2

` N . M2 = 1. 3 = 3 Clave C 44. Factorizamos E=

3 en el numerador y

P

2 en el denominador:

3 ^ 3 sen7° + cos7°h 2 c 1 sen8° - 1 cos8°m 2 2

S

a

θ

θ

a 2

R

Entonces, tenemos: a = 2q & tan(a) = tan(2q)

2 3 ^sen7° cos30° + cos7°sen30°h

E =- 6

Q α

2 3 c 3 sen7° + 1 cos7°m 2 2 E= - 2 ^sen45° cos8° - cos45°sen8°h E=

Si q el ángulo PRS, luego m+QSR = q.

tana = 2tanq2 = 1 - tan q

- 2 sen^45° - 8°h sen^30° + 7°h =- 6 sen37°

2c 2 m 2

2

1-c 2 m 2

=

2 1- 1 2

` tana = 2 2 Clave B

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

Clave C

9

47. Por propiedad, resulta cota - tana = 2cot2a.

tanq =

& tana = cota - 2cot2a Si aplicamos esta propiedad a cada uno de los términos de la serie dada, obtenemos: 1 tan x = 1 cot x - cot x a k a k 2 2 2 2

tan10°

& tanq = tan10°tan50°tan70° tanq = tan10°tan(60° - 10°)tan(60° + 10°) Por propiedad resulta: tan3q = tanqtan(60° - q)tan(60° + q)

1 tan x = 1 cot x - 1 cot x a k a k a k 4 4 4 4 2 2

Tenemos que q = 3(10°) & q = 30° ` x = 20°

1 tan x = 1 cot x - 1 cot x a k a k a k 8 8 8 8 4 4 h

Clave E

1 tan x = 1 cot x - 1 cot x c nm c n m n - 1 c n - 1m 2n 2 2n 2 2 2

50. Factorizamos:

Sumamos ambos miembros:

W = 4(1 - 2sen29°) -

F = 1n cot c xn m - cot x 2 2

Clave A

48. Operamos en F: F=2

1

. cot 40°. cot 20° cot10° SS tan 50° tan 70° S

W = 4cos18° W =

csc 2 q + 1 - csc q senq

cos18°

3 cos18°

3 cos18°

^4cos 2 18° - 3h . cos18° cos18° cos18°

3 & W = 4cos 18° 2- 3cos18° cos 18°

2

F = 2 csc q = 2cscq Si ksen q = cos q 2 2 q 1 & k = cot 0 = tan q 2 2 k

W =

cos3^18°h cos 2 18°

W = cos254° = sen236° = 2sen182°cos18° cos 18° cos 18° cos 18°

Por propiedad, resulta: tan q + cot q = 2cscq 2 2 1 & k + = 2cscq = F k

` W = 2tan18° Clave C

` F = k + k-1

Transformaciones trigonométricas Clave B

49.

51. Realizamos transformaciones en el numerador y reducimos el denominador:

B 40° D

A

En el

10° 10°

a

x θ

acot10°

 AHB,

cot20° =

acotθcot40°

acot10° acotqcot40°

H

acotθ

C

2 (2sen4x cos x) f = 2sen4x cos x = sen2x cos 2x 2sen2x cos 2x f = 4sen4xcosx = 4cosx sen4x Sin embargo, debemos hacer la restricción de sen4x ! 0, para lo cual 4x ! kp; k ! Z & x ! kp . 4 y

cot10° cotq = cot 20° cot 40°

3π 4

& tanq = cot 20° cot 40° cot10°

π

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

π 2

- 2 2 x

10

53. N = cos6q + cos2q + cos4q

Observamos que x ! 3p 4 & cosx ! - 2 2 p Si < x < p, 2

N = 2cos4qcos2q + cos4q N = cos4q(2cos2q + 1) Operamos a partir del siguiente dato: tan 4q = k tan 3q

& -1 < cosx < 0 / cosx ! - 2 2

tan 4q - tan 3q = k - 1 tan 3q

-4 < 4cosx < 0 / 4cosx ! - 2 2 Entonces,

/ f!-2 2

-4 < f < 0

` f ! G-4; 0H - "- 2 2 , Clave A 52.

x

Sean: h h = longitud de la escalera x = distancia a hallar y h z = distancia entre la pared α y el pie de la escalera β p

... (I)

z

x+y & x + y = ztana & x = ztana - y tana = z y tanb = & y = (p + z)tanb p+z Luego x = ztana - (p + z)tanb

... (a)

senq = k-1 cos 4q^senq^2 cos 2q + 1hh cos4q(2cos2q + 1) =

1 k-1

... (II)

Clave A

54. 2H = (2sen220°) - (2cos240°) + (2sen280°) 2H = (1 - cos40°) - (1 + cos80°) + (1 - cos160°)

... (I)

2H = 1 - [cos160° + cos80° + cos40°]

... (II)

2H = 1 - [cos(180° - 20°) + 2cos60°cos20°]

Igualamos (I) y (II): pcosα z= cosβ - cosα

2H = 1 - ;- cos 20° + 2. 1 cos 20°E 2 2H = 1

Reemplazamos este valor en (a):

` H = 1 2

pcosα x= (tana - tanb) - ptanb cosβ - cosα Reducimos la expresión en función de senos y cosenos: senα - senβ x = pc m cos β - cos α J α+β α-β N m sen c mO K 2 cos c 2 2 O x = pK β+α β-α O K K - 2sen c m sen c mO 2 2 P L R V S cos c α + β m W 2 W = pcot α + β x = p SS c m α+β W 2 mW S sen c 2 T X α+β ` La distancia es pcot c m. 2

sen^4q - 3qh = k-1 sen3q cos 4q

Reemplazamos (II) en (I). ` N = 1 k-1

También,

cosa = z & h = z h cos a p+z p+z cosb = & h= h cos b

sen4q cos 3q - sen3q cos 4q cos 4q cos 3q = k-1 sen3q cos 3q



Tenemos:

sen4q - sen3q cos 4q cos 3q = k - 1 tan 3q

Clave D

55. cos 8x - cos 7x = cos 3x - cos 2x

- 2sen a x k sen c 15x m 2 2 x 5 - 2sen a k sen c x m 2 2

sen c3 c 5x mm 2 = 5 x sen c m 2 Por propiedad, resulta sen3a = sena[2cos2a + 1]. sen 5x 62 cos 5x + 1@ 5 x 2 & sen c3 c mm = 2 sen c 5x m 2 Clave D

= 2cos5x + 1

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

11

Comparamos el resultado con Pcos5x + Q.

Además, cscx - cotx = tan x . 2

& P = 2; Q = 1 ` P + Q = 3 Clave D 56. M = 1 + 2cos20° & M 2 2 2 & M 2 M 2 M 2

= 1 + cos20° + cos20° 2 = cos60° + cos20° + cos20°   = 2cos40°cos20° + cos20°

58. f(x) = [2cos(px) - 1]2 - 1 A partir del dato, 4 # x < 3 & 4p # px < 3p 3 3

= cos20°(2cos40° + 1)

& -1 < cos(px) # 1

3 2cos40° + 1 = sen60° = sen20° 2sen20°

` M =

3 & M = cos20° 2sen20° 2

Clave E D



a B



En el

ABC AC = acscy

... (1)

En el

ADC AC = 2acsc(x - y)

... (2)

Como las expresiones (1) y (2) son iguales: & acscy = 2acsc(x - y) sen^x - yh =2 seny

Por proporciones, obtenemos: sen^x - yh + seny 2 + 1 = sen^x - yh - seny 2 - 1 Transformamos a productos: 2sen a x k cos a x - yk 2 2 =3 2sen a x - yk cos a x k 2 2 tan a x k cot a x - yk = 3 2 2 tan a x k = 3 tan a x - yk 2 2

0 # [2cos(px) - 1]2 < 9

-1 # f(x) < 8

` Ran(f) = [-1; 8H

m+DAC = x - y



πx

-1 # [2cos(px) - 1]2 - 1 < 8

Si CB = a / DC = 2a

&

4π 3

-3 < 2cos(px) - 1 # 1

C

A

+1 x

Luego, operamos: -2 < 2cos(px) # 2

2a

x-y x y

y

3π -1

3 cot20°

57.

Clave E

Funciones trigonométricas

Pero observamos lo siguiente:



tan a x k 2 3 Luego, reemplazamos en W: W = = 1. 3 x tan 2

59. Analizamos las siguientes restricciones:

Clave B

• Para senx; x ! R • Para cotx y cscx; x ! np ; n ! Z • También debe cumplirse que senx - 1 $ 0 & senx $ 1 senx = 1 0 senx > 1 absurdo p 5p & x = ; ... 2 2

Es decir, x = (4k + 1) p , k ! Z. 2 Como las tres restricciones se deben cumplir simultáneamente: & Dom(f) = %^4k + 1h p / ; k ! Z 2 Ahora, hallamos el rango evaluando un punto cualquiera del dominio, dado que el periodo de f es p. Evaluamos x = p . 2 p & f(x) = sen + cot p + sen p - 1 + csc p 2 2 2 2 & f(x) = 1 + 0 + 0 + 1 = 2 ` Ran(f) = {2}

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

Clave B

12

Funciones trigonométricas inversas 60. Sea a = arcsen

7 & sena = 30

Resolución de triángulos oblicuángulos C

7 30

62.

Luego obtenemos: M = cot * 1 arctan 6cos 2a@4 2 S

B

a-b = a+b

Sea arctan c 8 m = q 15

17 θ

& M = cot q 2 M = cot q = cscq + cotq 2

& 3 c 3 m = tan c A - B m 5 3 2 & tan c A - B m = 3 2 5

Clave D

Por arco doble, resulta: 2 tan c A - B m 2 tan(A - B) = 2 A-B 1 - tan c m 2

Ecuaciones trigonométricas 61. Si tenemos: 3tan2x - 4tan3x = tan23xtan2x

2c 3 m 5 & tan(A - B) = 2 1-c 3 m 5

& 3tan2x - 3tan3x - tan3x = tan23xtan2x

- 3(tan3x - tan2x) = tan3x(1 + tan3xtan2x) ^tan 3x - tan 2xh -3 = tan 3x ^1 + tan 3x tan 2xh -3tan(3x - 2x) = tan3x

-3tanx = tan3x



3 x -3tanx = 3 tan x - tan 2 1 - 3tan x



^A - Bh 2 ^A + Bh tan 2 tan

^A - Bh tan 3 2 & = 5 tan c 60° m 2

8

15

& M = 17 + 15 = 32 = 4 8 8 8

` tan(A - B) = 5 3 11 63.

2 - 3 = 3 - tan 2x 1 - 3tan x

2

A

c

Por teorema de tangentes, obtenemos:

2

7 E1 30

M = cot ' 1 arctan c 8 m1 15 2



b

b = 0,25a & b = 1 a 4

M = cot ' 1 arctan 61 - 2sen 2 a@1 2 M = cot ' 1 arctan ;1 - 2 2

120°

a

Clave A

B

2

-3 + 9tan x = 3 - tan x

180º - 4α

10tan2x = 6 tan2x = 3 5

x

& tanx = ! 3 5

P 180º - 3α

6 α

En el triángulo ABC se aplica la ley de senos: 5 x = sen2a sen^180º - 4ah 1 4 44 2 4 44 3 sen4a

Luego x = kp ! arctan f 3 p 5

A

` x = kp ! arccos c 10 m 4



α

2α 5

Clave B

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

C

x=

5 2cos2a

... (I)

13

En el triángulo APC, obtenemos por ley de senos:

Aplicamos la propiedad de proporciones:

6 = 5 sen2a sen^180 - 3ah



a+b+c = a senA + senB + senC senA

& 6sen3a = 5sen2a

Reemplazamos en J: J=0

6sena(2cos2a + 1) = 5(2senacosa)

Clave A

2

6(2(2cos a - 1) + 1) = 10cosa cosa = 3 4



A

66.

Reemplazamos en (I): C

5 5 x= = 2^2 cos 2 a - 1h 2 c2 3 2 - 1m c m 4 ` x = 20

64. A partir de la propiedad, obtenemos:

sen(a + b)sen(a - b) = sen2a - sen2b sen 2 A - sen 2 B + sen 2 B - sen 2 C + sen 2 ^A + Ch & E = abcos^A + Bh

& E =

120 - A

60°

tan c A + B m ^2 3 + 2 h + ^ 2 3 - 2 h 4 3 2 a+b = = = a - b tan A - B c m ^2 3 + 2 h - ^ 2 3 - 2 h 2 2 2 &

sen^A + Chsen^A - Ch + sen 2 ^A + Ch abcos^A + Bh sen^A + Ch6sen^A - Ch + sen^A + Ch@ abcos^A + Bh 1 44 2 44 3 -cosC

tan ^60°h = 2 3 & tan ^A - 60°h = 2 2 tan ^A - 60°h 2 & A - p = arctan 2 3 2 p & A = + arctan 2 3 2

67. Resolviendo las ecuaciones agrupadas de dos en dos, obtenemos tres coordenadas que serían tres puntos pertenecientes a la circunferencia circunscrita. P1 = (6; 2) P2 = (7; 1) P3 = (8; -2)

& E = 2senBsenA - ab Por propiedad, a = 2RsenA, b = 2RsenB

P1(6; 2) P2(7; 1)

Clave B

x P3(8; -2)

65. J = bcosA + ccosA + acosC + bcosC + acosB + ccosB - a senA + senB + senC senA J=

^bcosC + ccosBh + ^ccos A + acosCh + ^bcos A + acosBh - a senA + senB + senC senA

Por la ley de proyecciones, obtenemos: J=

a+b+c - a senA + senB + senC senA

Por la ley de senos: a = b = c senA senB senC

Clave B

Secciones cónicas

senB 6 44 7 44 8 sen^A + Ch2senAcosC & E = - abcosC

2 b . a E = 2R 2R = - 1 2 - ab 2R

B

a=2 3 + 2

Por la ley de tangentes, obtenemos: Clave A

& E =

A

b=2 3 - 2

Sea la ecuación de la circunferencia: C: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Al sustituir las coordenadas halladas en la ecuación, obtenemos el siguiente sistema: 6D + 2E + F = -40 7D + E + F = -50 8D - 2E + F = -68

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

14

Resolvemos el sistema. D = -6 E=4 F = -12

Si B pertenece a la elipse: 2 2 & n + L /4 = 1 & n2 + L2 = 4 4 1

A partir de la figura, resulta: tan30° = L/2 = 1 n 3 2 n & L= ... (II) 3

Sustituimos estos valores y obtenemos: C: x2 + y2 - 6x + 4y - 12 = 0

Clave C y

68.

Reemplazamos (II) en (I) y obtenemos: 2 n2 + 4 n = 4 3 &n=2 3 7 En (II),

L: 3x + y − 3 = 0 C2(h1; k1)

B(3; 4)

A(1; 2)

C1(h; k)

T

x

4 3 7 = 4 L= 3 7

Se observa que C1A = C1B y C1A = C1T. 2

2

2

BC # OE Luego, ADOBC = = 2 & ADOBC = 4 3 u2 7

2

(h - 1) + (k - 2) = (h - 3) + (k - 4) / (h - 1)2 + (k - 2)2 = c 3h + k - 3 m 10

2

Desarrollando y simplificando, obtenemos: h+k=5 h2 + 9k2 - 6hk - 2h - 34k + 41 = 0

y

2

L: x − y + 1 = 0

& B1 = (3; 4)

/

& |CB1| = b

x + y - 3x - 7y + 12 = 0 Clave C

|1 - 3| = b & b = 2

69. Siendo L el lado del triángulo, el eje x corta al lado BC en dos partes iguales.

Reemplazamos en (a),

y

71.

P A

B(n; L/2)

O

30°

x

B1(n; 4) ! L & n - 4 + 1 = 0 & n = 3

Desarrollamos las ecuaciones y obtenemos: 2

B1(n; 4)

V2(1; 1)

2

& (x - 4)2 + (y - 1)2 = 10 / c x - 3 m + cy - 7 m = 10 2 2 4

2

V1(1; 7)

C(1; 4)

Luego en (x - h)2 + (y - k)2 = y2

x + y - 8x - 2y + 7 = 0

Clave A

^x - hh2 ^y - kh2 + = 1 ... (a) b2 a2

Si r = 3h + k - 3 , reemplazamos para (h; k) y (h1; k1), y obtenemos: 10 r = 10 / r1 = 10 2

2

2 3 4 # 7 7 2

70. Tenemos la recta L: x - y + 1 = 0.

Resolvemos este sistema: h = 4 y h1= 3/2 k = 1 y k1 = 7/2

2

... (I)

60° 60°

E

| BE | = | EC | x

C(n; -L/2)

(2; 3)

4

^x - 1h2 ^y - 4h2 + =1 4 9

2

2

Clave B

2

(x - 2) + (y - 3) = 4

V

4 B

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

15

L. R. = |4p| = 8 & p = -2

Límites y derivadas de funciones trigonométricas

& V = (4; 3) = (h; k) 2

P: (y - k) = 4p(x - h)

73. Reemplazamos B = C:

(y - 3)2 = 4(-2)(x - 4)

` P: y2 - 6y + 8x - 23 = 0 Clave B

F

P

(2n; 4n) 5n

4n 37°

Entonces, transformamos los productos a sumas en el numerador:

L: 3x - 4y + 20 = 0

y

72.

mL = 3 = tanq 4 & q = 37°



lím

2sen^A + Bh cos B - 2sen^A + Ch cos C 2sen^B - Ch

lím

sen^A + 2Bh + senA - 6sen^A + 2Ch + senA @ 2sen^B - Ch

lím

sen^A + 2Bh - sen^A + 2Ch 2sen^B - Ch

lím

2sen^B - Ch cos ^A + B + Ch 2sen^B - Ch

B"C

B"C

53° 2n V

3n

x

B"C

F ! L & 3(2n) - 4(4n) + 20 = 0

lím = 0 (indeterminado) 0

B"C

& n=2

B"C

& V = (2n; 0) = (4; 0) = (h; k) d(V; F) = p = 4n & p = 8

lím cos(A + B + C) = cos(A + 2C)

B"C

2 

P:  (x-h) = 4p(y-k)

Clave B

(x-4)2= 32 (y-0) P: x2 - 32y - 8x + 16 = 0 Clave A

Solucionario - Banco de preguntas de Trigonometría - 5.° de Secundaria

16