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• Adrian Bardales

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 400  D) 50

SEMANA 1

SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR 1.

 200  E) 10

A)

Del gráfico adjunto, halle “  ”.

B)

C)

 100

RPTA.: A 5.



De la figura mostrada, calcule:

M

2x  y y

o yg



xº

5 3

A) 180º D) 450º

B) 360º E) 540º

2 13 2 D) 25

RPTA.: D 2.

A) 82 D) 2

6.

B) 80 E) 17

Convertir 37g sexagesimal. A) 33º 12 D) 33º 20

C) 37

3 20

al

B) 33º 15 E) 33º 24

En un triángulo ABC la suma de las medidas de A y B es 90 grados centesimales y la suma de las medidas de B y C en el sistema radial

A) 36º D) 63º

C) 33º18 7.

En la figura mostrada, halle la medida del ángulo AOB en radianes. A

3 xº 5

3 rad. 4

Halle

la

 4  D) 3

g

B) 99º E) 9º

C) 54º

RPTA.: C

Cuatro veces el número de grados centesimales de un cierto ángulo se diferencian de su número de grados sexagesimales en 155. ¿Cuál es ese ángulo en radianes?

A)

 6x  4 

es

diferencia de los ángulos internos C y A.

sistema

RPTA.: C

o

C)

RPTA.: D

RPTA.: A

4.

B)

Reducir:

1º 2 1g2m A  m 2 2

3.

1 15 7 E) 12

A)

C) 270º

 10  E) 20 B)

C)

 12

RPTA.: A B

Página 109

8.

Si los números “S”, ”C” y “R” representan lo convencional para un mismo ángulo. Determine el valor de “R”, si “S” y ”C” están relacionados de la siguiente manera: S = 6xx + 9 , C = 8xx  6

3 20 9 D) 10 A)

9 20 10 E) 9 B)

C)

*

12.

 20

A) 120g D) 150g

B) 130g E) 160g

 2  D) 5 A)

 3  E) 6 B)

C) 140g

C)

Si sumamos al complemento de un ángulo expresado en grados sexagesimales con el suplemento del mismo ángulo en grados centesimales se obtiene 195. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

 4  E) 8 B)

C)

 5

Siendo “S”, “C” y “R” los números de grados sexagesimales, centesimales y números de radianes de un mismo ángulo respectivamente. Reducir la expresión: M = S(  200) + C(180) + 20R A) 0 D) 0,246

14.

B) 0,0016 E) 2,1416

C) 1

RPTA.: A

Sabiendo que “S” y “R” son los números de grados sexagesimales y radianes de un ángulo, donde:

²S²  R²  179R 181

 4

Halle “R”.

RPTA.: C 11.

5 C)   3

RPTA.: B 13.

Si al número de grados sexagesimales que contiene un ángulo se le resta 13, y a su número de grados centesimales se le resta 2, se obtienen dos cantidades en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

E) 1*

 3  D) 6

RPTA.: C 10.

D) 5*

A)

La mitad del número que expresa la medida en grados sexagesimales de un ángulo excede en 52 al quíntuplo de su medida en radianes. Calcule dicho ángulo en grados centesimales.

22    Considere :   7   

B) 3

*

RPTA.: C

RPTA.: B 9.

*

3 A)   5

Se crea un nuevo sistema de medida angular “Asterisco”, tal que su unidad (1*) equivale a 1,5 veces el ángulo llano. Halle el equivalente de 5 ángulos rectos en este nuevo sistema. Página 110

A) 5 D) 1

B) 3 E) 2

C) 4

RPTA.: A

15.

Halle “C” a partir de la ecuación:

S6 C7 20 8   R  4 S5  C6  R 7 9 10 



siendo

“S”,

“C”

convencional

para

y

“R”

un

18.



º g m s  1º21   2º15   4º3   3   5   3   a0 bc de      

lo

mismo

ángulo. A) 20 D) 50

16.

B) 25 E) 10

o

RPTA.: C

10  ²  10  40 

C

A) 52g D) 45º

3 8 9 D) 8

g

D

B) 30º E) 135º

5 8 11 E) 8 B)

A) 1

B) 2

1 3

E) 3

C) 45g

C)

C)

1 2

RPTA.: E

Se inventan 2 sistemas de medición angular “x” e “y”, tal que: 25x < > 50g además 80y < > 90º. Determinar la relación de conversión entre estos 2 sistemas x/y. “” (equivale)

A)

bdse ace

D)

RPTA.: D 17.

Calcule: M  C) 40

A partir del gráfico mostrado, determine la medida del ángulo AOB, si “” toma su mínimo valor. B A

 45  9  º

Sabiendo que:

7 8

RPTA.: B

Página 111

22.

SEMANA 2

LONGITUD DE ARCO 19.

Calcule la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 1º y su radio mide 1800 cm.  m 2  D) m 10 A)

 m 5  E) m 20 B)

A) 19,2  m² C) 18,9  m² E) 14,4  m²

 m 8

C)

23.

Se muestra sectores circulares concéntricos, donde S representa área, obtener x. si S = 8L²

3L

E B

20º

D) 5

x

S

A

B) 3 C) 4

B) 4 L C) 5 L

Si CAE es un sector circular y  ED AB  BC. Halle : V   DC A) 2

2L

A) 2 L

B) 17,6  m² D) 12,6  m²

RPTA.: A

RPTA.: D 20.

Una regadera instalada en un parque, tiene un alcance de 8 m y barre un ángulo de 120g. Calcule el área del sector circular que genera esta regadera.

E) 6

D C

D) 6 L

RPTA.: B

E) 8 L

21.

RPTA.: C

24.

Si: AB + CD = 26. Halle el área del sector circular EOF. 4

A) 1

A

C

B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

o

2

4

E 4



Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m a su radio, se obtendrá un nuevo sector circular que tiene un área que es 49 veces el área del sector circular inicial. Determine el radio del nuevo sector. A) 2 m D) 7 m

D

B) 3 m E) 9 m

C) 5 m

RPTA.: D

F B

RPTA.: D

Página 112

25.

Halle el área sombreada:

28. A

A) 

C

B) 2  C) 3 

o

6

30º

D) 4  E) 5 

D B

29.

Calcule: E = x³  x²  1, si: x²

A

x (x + 1)

o

x (x - 1)

27.

B

B) C)

1 2

C) 3

RPTA.: E

E) 1

1 rad 4

A

o D E F

RPTA.: C 30.

D

S2  S3 Calcule: M  S1 Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas

n

m

C

C

E) 5

A

o

B

D) 4

2

D) 2

1 rad 2

De la figura mostrada, AOF, BOE y COD son sectores circulares, además:

B) 2

C) 7

En la figura, el trapecio circular ABCD y el sector circular COD m tienen igual área. Halle: n A)

E)

A) 1 B) 6 E) 9

2 2

D) 4 rad

C)

Calcule: M = (2x + z) y1

D

A) 5 D) 8

B) 2 rad

BC = DE = a, AB = EF = 2a, L CD  x, L BE  y, L AF Z   

C 5

A) 1 rad

RPTA.: B

RPTA.: C 26.

Se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser:

S2



2

B

S1

S3

RPTA.: A 12 7 D) 5 + 2 A)

13 2 E) 5  2 B)

C)

1 12

RPTA.: B Página 113

31.

Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando la rueda menor gira º la mayor gira g. ¿En qué relación se encuentra los radios? 3 7 3 D) 10 A)

8 13 9 E) 4 B)

C)

34.

Determine el área de la región sombreada, sabiendo que las áreas de los sectores AOB y COD son iguales ( y  en radianes)

o

9 10

 

R

RPTA.: C 32.

A

Se tienen dos ruedas conectadas por una faja; si hacemos girar la faja, se observa que las ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas si sus radios miden 3 m y 5m 1 1 1 A) B) C) 3 8 9 1 1 D) E) 4 10

B D

M C 1 R²      2 1 C) R²  ²  ² 2 1 R²    ² E) 2

1 R²      2 1 D) R²  ²    2

A)

B)

RPTA.: A

RPTA.: E 33.

En el sistema mostrado, si la

35.

3 de vuelta, entonces 4 la longitud recorrida por la rueda C es: rueda A da

Del gráfico, halle el número de vueltas que dará una ruedita de radio 1, al ir de A hasta B si CB = 8 y AOC es un sector circular.

A B 8

o 5

2

6 A

C A) 3,6  D) 18 

B) 36  9 E) 4

B

C A) 2 D) 5

C) 1,8 

B) 3 E) 6

C) 4

RPTA.: D

RPTA.: B

Página 114

36.

Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A hasta la posición B.

38.

Sobre una superficie curva de radio “R” gira una rueda cuyo radio es “r” (ver figura). Si dicha rueda da una vuelta al ir de “M” a “N”. Calcule la longitud del arco MN. ( O y O son centros).

20 r

r

o A

o

B

N

o

r

M A) 85 D) 10,5

B) 9 E) 11

C) 10

RPTA.: D 37.

O

De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie de radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la curva, si: m  AOB = 120º, r = 18u?

A)

E)

r A

B

A) 24 

B) 24,1

D) 24,3

E) 24,4

R r Rr

Rr R r 2Rr D) R r B)

C) 2Rr  R  r 

39.

B

240 r

R

B)

C) 24,2

C) D)

RPTA.: B

RPTA.: D

Dos móviles A y B parten al mismo tiempo y en las direcciones indicadas en la figura de los puntos P y Q respectivamente, si la velocidad de A es a la velocidad de B como 3 es a 7. Calcule cuando mide “” si se encuentran por 1era. vez en el punto R. A)

A

R r 2Rr

E)

 rad 5 R  rad 4  rad 10  rad 20 7 rad 10

P



Q

RPTA.: D

Página 115

SEMANA 3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I 40.

43.

Calcular: ctg  csc 

En un triángulo rectángulo ABC  A  90º , se cumple: cotC+ cotB=4. Calcule: M = 16senB.senC.cosB.CosC. 1 4 D) 2 A)

1 2 E) 4 B)

B 

C) 1



3 4 9 D) 4

5 4 11 E) 4

A)

B)

C C)

7 4

RPTA.: A

5 ; a  c  21 12 Calcular el perímetro del triángulo tgC 

B) 120 E) 136

12

D

En un triángulo rectángulo ABC  B  90º  si:

A) 90 D) 75

A

13

RPTA.: C 41.

En la figura adjunta se cumple AB BC  que: 4 3

44.

C) 150

Si: sen x  10º  cos x  40º Halle: E  tg3x  4 3  sen(x  10º ) A)

B) 2 3

3

C)

3 3

D) 4 3

RPTA.: A 42.

En un triángulo rectángulo si la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos. Calcule la suma de las tangentes trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo. A)2 D)5

B) 3 E) 6

E) 5 3

RPTA.: C 45.

C) 4

En un triángulo rectángulo ABC (C  90º )     2 Si: senB sec A   sen A.ctgB 3 Halle: E = ctg²B + sec²A A) 13 D) 19

RPTA.: C 46.

B) 15 E) 21

C) 17

RPTA.: C

En un triángulo rectángulo ABC  B  90º se cumple que: 

sen A 

 1 senC 1  0 2 



Halle:   tg A  csc C 2 A) 0 D) 2

Página 116

B) -1 E) 1

C) -2

RPTA.: A

47.

 2

Si: sen  cos   0

  tg10º tg20º tg30º...tg80º



A) 1 D) -1

      tan   cot 0  3   2 

50.

Del gráfico halle:

    M  sen   cos   tan 36º. tan  2    2 

A) 0 D) 2

W  sen  cos 

127º

9

C) 1

10

 RPTA.: C

48.

C)2

RPTA.: A

Calcule:

1 B) 2 2 3 E) 3

B) 0 E)-2

7 17  23 E) 17

A)1

En la figura calcule “tg”;

D)

Si: AM  MB

B) 7 17

C)

23 17

RPTA.: D 51.

A

Halle “ctg” del gráfico, si: AB  BC



B 120º

M

M

 B

A) D)

1 3 1 7

B) E)

1 2 3 2

C)



A

C

1

C

A) 2 3 D) 3 / 6

5

B) 3 3 E) 3 / 9

C)

3

RPTA.: B RPTA.: B

Si CD  3AD, halle: tg (tomar: sen37º=0,6)

52. 49.

Halle:

 Página 117

53º A

D

C

1 16 3 D) 16

1 8 1 E) 4

A)

B)

C)

3 8

2 2 7 7

A) D)

RPTA.: D 53.

Si el triángulo ABC es equilátero. Determine tg.

3 3 10 E) 10

B)

C)

5 5

RPTA.: A 55.

Halle tgx, si ABCD es un cuadrado. A

B x

B 37º

3a D 37º

a A



3 A) 5 3 D) 8

C

B) E)

3 6 3 9

C)

C

D

1 16 5 D) 16

1 8 7 E) 16

A)

3 7

B)

56. Si ABCD es un cuadrado y BM=2CM, BN=NA. Calcule sen . M

C

B

De la figura, calcule: ctg 



D

A

Página 118

B

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 A

N

3 16

RPTA.: C

RPTA.: C

54.

C)

M



45º

C

RPTA.:C 57.

RPTA.: B

Del gráfico. Halle: W  sec2   tg2 



A)5 D)

7 2

1 5 7 E) 3

B)

C) 1

RPTA.: A 58.

Si se verifica que:

sen(50º  x)  cos(40º x)  tan  x  10º  .tan(x  40º )  1

2  3x  Determine: M  sec 3x  cot    2  A)1 B)2 C) 3 D)4 E)5

RPTA.: E

SEMANA 4 59.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II

Siendo “” y " β" las medidas de 2 ángulos agudos tales que: cos 11. sec   1 cos . csc   1



Halle:

W  tg   37º30'.sen   52º30'

1 2

A)1

B)

D) 3

3 E) 3

C)

60.

3 2

En la Figura, S: Área. Halle “ sen  ” A) B)

26 26 26

S

Página 119

45º



2S

respectivamente de tal manera que AD =3 AB  CE = 4 BC . Halle el área de la región triangular DBE

5 26 26 26 D) 5 1 E) 5 C)

2 A) 638 2 D) 644

2 B) 640 2 E) 650

RPTA.: B

RPTA.: A 61.

B

64.

En la figura, halle: Sen; AD Si: BM  MC  3 M

2 C) 642

En la figura mostrada, evaluar el área de la región triangular AOB en términos de 

C

B



A 

45º

A

A) D)

1 10 1 10

B) E)

2 10 2

C)

4

o

A) 4Sen C) 2Cos2 E) 3Cos2

D

1

4 B) 8Sen2 D) 5Sen

RPTA.: B

10

10

RPTA.: A

65. 62.

Se tiene un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares y sus bases miden 4 y 12. Halle la altura de dicho trapecio si el producto de sus diagonales es 80. A) 4 D) 7

63.

B) 5 E) 8

Si ABCD es un cuadrado, donde: CD  3ED y además: mBEA   , Calcule: Csc C

E

D



C) 6

RPTA.: B

El área de un triángulo ABC es 64  2 , se prolongan AB y BC hasta los puntos D y E Página 120

B

A

110 3 145 10

A) D)

B) E)

121 4 160 12

RPTA.: D RPTA.: C

66.

C) 2sen  3cos D) 3sen  2cos E) 2sen  3cos

130 9

C)

68.

En la figura, halle “X” en términos de ””, “  ” y “m”.

En la figura ABCD es un cuadrado, M y N son puntos medios. Determine " cot " .



B

A

X

 m

D

A) 2 1 D) 2

1 C) m ctg  tg  1 D) m tg  ctg  E) m.ctg  tg

C

N

B) 1 1 E) 3

A) m ctg  tg  B) m  tg  ctg 

M



C) 3

RPTA.: C RPTA.: C

69. 67.

En la figura halle DE en términos de “m” y “”.

Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.

B



E

3

 A

2

D m

A) m  sen  csc B) m  cos  sen

x

2 2 C) m  cos   sen 

A) 3 cos   2Sen B) 2 cos   3Sen

2 D) m  cos   sen 2 E) m  cos  sen 

Página 121

RPTA.: E

73.

Halle “ Csc ” del gráfico: 5u

70.

C)

5 1 2 5 +1

E)

5

A)

B) D)

 53º

5 1 2 5 1

(Tomar sen 37º = 0,6) 56 65 65 D) 33 A)

RPTA.: B 71.

Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º . Nos acercamos una distancia “x” y el ángulo de elevación tiene por tangente 4. Si la altura del edificio es “h”. x Halle: h (Tomar: sen 37º = 0,6)  A) 1,21 3  D) 2,13 2

 B) 1,08 2  E) 3,01 5

Una persona colocada a la orilla del rio ve un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de elevación de 60º se aleja 40mts, y nuevo ángulo de elevación mide 30º ¿Cuál es la altura del árbol? A) 43,6 D) 36,4

B) 30,6 E) 38,4

33 65 15 E) 14 B)

C)

65 56

RPTA.: C

 C) 1,08 3

RPTA.: C 72.

9u

Una hormiga observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación “”, si se acerca hacia él una distancia igual a su altura y mira lo alto de dicho poste nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es el complemento del anterior. Halle: “tg”.

SEMANA 5

GEOMETRÍA ANALÍTICA 74.

Sean: A (-2;5); B (3;-2) y C (10;b); puntos del plano. Si d (A, B) = d (B,C), Halle el valor de b, si es negativo. A) -3 D) -8

75.

C) 34,6

RPTA.: C

Página 122

B) -5 E) -9

C) -7

RPTA.:C

Dado el punto A (-2;5) y B (m;8). Halle la suma de valores de “m” si la distancia de AB es 5. A) -1 D) -4

B) -2 E) -6

C) -3

RPTA.: D

79. 76.

Los vértices de un cuadrado ABCD son: A(2;3) y C(5;7) Halle el área del cuadrado. A)

5 2

D)

35 2

15 2 45 E) 2 B)

C)

Cuál de los siguientes triángulos ABC, tienen mayor área. a) A (-5,0), B (1,2) y C (1,-2) b) A (1,1), B (6-4) y C (5,3) c) A (2,0) , B (6,0) y C (4,12)

25 2

A) a C) c

B) b D) Todos tiene igual área

RPTA.:C

RPTA.: C 77.

Se tiene un triángulo equilátero cuyos vértices son: A (-1;2) y B (2;6). Determine el perímetro de dicho triangulo. A) 20 D) 11

78.

B) 15 E) 12

B) 4 E) -6

Encontrar las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento AB , si: A  2;4  ,B(4;7) Dar como respuesta el cercano a “B” A)  0;5

C) 10

D)  2;5

RPTA.: B

Tres vértices de un paralelogramo son: A(-1;4), B( 1;-1) y C(6;1). Si la ordenada del cuarto vértice “D” es “6”, Halle su abscisa. A) 5 D) -4

80.

B)  0;5

E)  2; 6

más

C)  2;6

RPTA.: C 81.

C) 6

RPTA.: B

Se tiene B (6;-2), distancia baricentro

el triángulo A (4,8), C (-10; 6). Halle la del vértice “B” al del triángulo.

A) 2 6

B) 6 2

D) 6 6

E) 3 6

C) 5 3

RPTA.:B 82.

Si los puntos medios de los lados de un triángulo son (2;1) , (3;-2) y (-1; -3). Calcule el área de dicho triángulo. 2 A) 14

2 B) 28

2 D) 40

2 E) 20

2 C) 18

RPTA.: B

Página 123

83.

Se tiene un cuadrilátero cuyas coordenadas son: A(-3;-1); B (-2,4); C (5;3) y D . Si M es el punto de intersección de sus diagonales, halle la suma de las coordenadas del punto N, si es punto medio de CD . Donde:

las abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto. A) (6;0) ó (1;0) B) (3;0) ó (7;0) C) (6;0) ó (-1;0) D) (3;0) ó (8;0) E) (-3;0) ó (1;0)

AM  MC;MD  2BM A) 3 D) 6

84.

B) 4 E) 7

C) 5

17.

RPTA.: C

B) 4, 5 3

D) 5, 6 3

E) 6, 5 3

 3 22   4 4  1 5 B)  ;  4 4 A)  ;

 7 21   4 4  2 1 D)  ;  4 4 C)  ;

C) 5, 5 3

RPTA.: E 85.

E)

18.

Los puntos medios de los lados de un triángulo son P (2;5), Q (4;2) y R (1;1) . Halle las coordenadas de los tres vértices. Indique como respuesta la suma de las abscisas y las ordenadas de los tres vértices. A) 7 D) 12

B) 8 E) 15

B(-3;-2)

Se tiene los vértices de un triangulo  ABC : Y A (2;3) ; radio de la circunferencia circunscrita al triangulo ABC.

RPTA.: E 86.

3S

B (4;5) y C (-2;-2). Determinar el

D)  7;18

 8;19

C

RPTA.: A

B)  4;16

C)  6;17

P

E) 

B (2; 5) se prolonga hasta C (x;y), sabiendo que AC  3AB, A)  3;15

S

 5 6  ;   4 4 

El segmento que une A (1; 2) con

Halle las coordenadas de C.

Halle el punto “P” de la figura A(2,8)

Dos vértices de un triángulo equilátero son (-2;9) y (3;-3). Cuánto mide la altura relativa a dicho lado. A) 4, 5 3

RPTA.: A

A) C) E)

82 85 2 115 2 41 85 2

42 15 2 127 D) 2 B)

C) 10

RPTA.: E 16. Dado los puntos M (2;2) y N (5;-2). Determine en el eje de Página 124

SEMANA 6

RPTA.: A

91.

LA RECTA 87.

Halle la diferencia de m1  m2 : si: L1 : 2x  4y  12  0

L1 : 3x  2y  14  0 L 2 : x  3y  1  0

L 2 : 3x  y  5  0 A) 2 D) 3,5

88.

B) 2,5 E) 4

Una recta que pasa por el origen y por la intersección de las rectas L1 y L 2 . Halle la ecuación.

A) 4y-x=0 B) x-4y=0 C) 4y+x=0 D) x+4y=0 E) x+y=0

C) 3

RPTA.: D

De la figura, halle: “K”



RPTA.: A

y

92.

(k;7a)

0

x

(3a;0)

A) 0 D) -3

93. A) 6a D) 9a

89.

B) 7a E) 10a

C) 8a

y  3x  5 y  4x  2

1 7

D) -7

B)  E) 1

1 7

RPTA.: C

B) x-y-7=0 D) x-y+7=0

RPTA.: C 94.

C) 7

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el baricentro del triángulo ABC, y el origen de coordenadas.

Si: A (3; 1), B (5; 7), C (7; 2)

Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x  y  8  0 ; 3x  2y  9  0 A) 4x+y-10=0 C) 4x+y+10=0 E) 2x+y – 8=0

C) -2

Halle la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB; si:

A) x+y+7=0 C) x+y-7=0 E) x+y=0

RPTA.: C 90.

B) -1 E) -4

A  1;3  B  4;8 

RPTA.: E

Determine la pendiente la recta, cuya ecuación es: y  mx  5 , para que pase por el punto de intersección de las rectas:

A)

Si la ecuación lineal de la recta L es: 5x+3y–4=0 y el punto (2;k) pertenece a dicha recta. Hallar: K

B)4x+y-2=0 D)4x-y+2=0

RPTA.: A

Página 125

A) 2x-5y=0 C) 5x-2y=0 E) 3x-5y=1

B) 2x+5y=0 D) 5x-2y=0

RPTA.: B

95.

Si la recta L1 : ax  2y  6  b  0 pasa por el punto P (2;-5) y es paralela a la recta L 2 : 3x  y  8  0 . Halle: “a + b” A) 10

C)2

D) -2

96.

RPTA.: A 99.

B) -10 E) 0

RPTA.: A

L1 : x  By  C  0  B  0 

A) 127º

B) 120º

D) 135º

E) 143º

C) 150º

es

RPTA.: D

perpendicular a la recta L 2 : 2kx  3ky  5  0; (k  0). Si

100. Calcule Ud., el área que se forma

Si

al graficar: y  x  5 ;y  10

(C ; l)  L1 . Halle B  C

1 A) 3 D) 

97.

Halle la medida del ángulo obtuso que forman dos rectas, cuyas 6 17 pendientes valen “ ” y “ ” 11 5 respectivamente.

2 C) 3

B) 1

1 3

A) 50 µ²

B) 75µ²

C) 100 µ²

D) 150 µ²

E) 200 µ²

E) -1

RPTA.: C

RPTA.: E

Calcule el área de la región triangular formada por la intersección de las rectas.

101. En la figura, halle la ecuación de la recta L. L (8;12) 4k

L1 : y  2 ; L 2 : 4x  5y  10  0 y el eje Y.

3k

2 A) 20 

2 B) 12 

2 D) 10 

2 E) 24 

B

(-3;6)

2 C) 25 

A

RPTA.: D 98.

Una recta L1 pasa por los puntos (3;2) y (-4;-7)

y otra recta L 2

que pasa por el punto (-6;1) y el punto A cuya ordenada es -5. Halle la abscisa de A sabiendo que

L1 es perpendicular a L 2 .

(5;-2)

A) 46x  5y  56  0 B) 46x  3y  40  0 C) 46x  5y  36  0 D) 46x  5y  36  0 E) 45x  5y  35  0

12 7 3 D) 7 A)

7 12 12 E) 11 B)

C)

5 7

RPTA.: C

Página 126

SEMANA 7

105. Si: tg  

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL 2 102. Si: cos  

15 4 1 D)  4 A)

E  csc  

1 4

3 29 10 29 C)  10 3 29 E)  10

C)

 15 4

106. Si

E) 4

RPTA.: E

B)

2 3

A) 12,85 D) 9,35

y

un

ángulo

de

4to

24 , halle: 25

B) 12,15 E) 8,35

C) 10,35

RPTA.: D

b 107. Si



D) 2

x

E) 3

RPTA.: E 104. Halle

“n”

del

gráfico,

ctg   0,333...

si

y

A) 1



B) 2

x

1 2 1 2

2Ctg 2  2

Ctg 

y   III C Halle: G 

17 sen   cos 

A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

RPTA.: B O

C) -2

E) 

es

V  5 senb  6 tgb  12 sec b

(-3;2)

C) 1

D)

“b”

cuadrante y cosb 

M  tan   tan  1 3

7 29 10 11 29 D)  10 B) 

RPTA.: D

103. De la figura mostrada, determine:

A)

29 cos   29 ctg  4

A) 

sec   csc  1  ctg 

B)

sen   0



Halle:

1 ,   IV C 16

Calcule: M 

5 2

P(n-1;4n-1)

RPTA.: C Página 127

108. Si:

sen  

1 2

110. Siendo “  y  ” son las medidas de dos ángulos en posición normal, tal que:     360º ,

; tg   0

90º    180º cos   cos  Calcule: E  sen   sen  1 Dado que: tg    2

Halle:

H  csc   3 ctg  A) 1 D) -1

B) 5 E) 3

C) 4

RPTA.: D A)

109. Del gráfico calcule “ cot  ” y

1 2

D)  2

B) 

111. Siendo “  ” y "  " dos ángulos positivos del IC y menores de una vuelta para los cuales se cumple que:

Cos  2     0

x

4 B) 7

5 C) 7 4 7 RPTA.: E

E  25 sen   tg  y (24; 7)  x 

(-4; -8)

B) 3 E) 9

Halle el valor de:

k

10. Del gráfico calcule:

A) 1 D) 7

2

RPTA.: D



E) 

C)

2

E) -1

53º

3 A) 7 3 D)  7

1

C) 5

RPTA.: E

Página 128

5 sen       3 cos  5 cos   3 sen     

A) sen D) 4

B) 2 E) 1

C) cos 

RPTA.: D

112. En la figura AOB es un cuarto de circunferencia. Halle: " tg  "

114. Halle: ctg 

37º

y A



53º

o

B

A)

x



D)

C) 

B)

24 7

E)

5 4

C)

3 4

1 4

7 24

RPTA.: D

RPTA.: E 113. Halle: Ctg 

B) 

7 4

D) 

7 24 24 E)  7

A) 1

5 4

115. Si: ABCD es un cuadrado. Halle: M=4 ctg -tg 

C

Y

D



o

60º

X

37º  x

B

A) 1 D) 4 A) 1  C)

3

2 1

B)

B) 2 E) 5

C) 3

RPTA.: C

3 1

D) 1

RPTA.: A

Página 129

(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( (III) cos 6  cos1  cos5 ( (IV) cos 2  cos 4  cos 3 (

SEMANA 8

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

A) FFVV C) VVFV E) VFVF

116. ¿Qué valores puede tomar “x”

para que se cumpla: Sen  

x 2 x 1  siendo  un 3 2

arco del tercer cuadrante? A)

1 3 ; 5 5

D)

0;

2 5

B)

1 2 ; 5 5

E)

0;

C) 1;

1 5

120. Halle el mínimo valor de: E  5 cos a  3 sen2 b siendo “a” y

“b” ángulos diferentes.

3 5

A) -4 D) -7

C)

1 ;2 2 1 ;2 2



B)

 2;

toma la expresión:

1 2

D) 2;2 RPTA.: C

118. Indique

el producto de los valores mínimo y máximo de la expresión:

E

4 sen x  3 4  sen x

A)

7 3

D)

7 4

B)

1 5

C)

2 5

Q  4  3 cos 2   2 sen 3  ;   

B) 36 E) 20

C) -6

121. Calcule el valor máximo que

E) 1;1

A) 18 D) 40

B) -5 E) -8

RPTA.: E

1-2x  "  "  IIIC ; 3

Halle la variación de “x” A)

B) VVFF D) FVFV RPTA.: B

RPTA.: C 117. Si: sen  

) ) )

E)

3 5

RPTA.: B

C) 9

122. Si:

RPTA.: A

x  IV C

y

cos x 

3a  1 4

Entre que límites está “a” A) C)

1 ;1 3 1  ;1 2



B)

 1;1

D)

1  ;1 4 E)

 1; 2

RPTA.: A 119. Determine la veracidad (V) o

falsedad (F) de c/u de las siguientes proposiciones (I) sen2 > sen1 > sen3

(

) Página 130

123. Calcule el intervalo y  (2 sen x  1)(2 sen x  1)

A)   2; 3 C)   1; 3 E)   1; 2

de

     2

B)  0; 3 D)   1; 4

C)

, si x  0;30

C)

1 3 ; 2 2

E) B)

3 ;1 2

D)

3 1 ; 2 2

D)

y

csc  

1 1

1 O

A) C)

9 ;10 2 3 3 ; 4 4

B)

3 2 ; 5 5

x 

C.T.

D)

3 7 ; 5 5

E)

 2 5  3 ; 6 

la circunferencia trigonométrica mostrada halle el área de la región sombreada.

sen  2 sen  1 determine la variación de “ csc 2  ”

y

5 3 6 2 5 ; 3 6 ;

127. En

RPTA.: C   II C



RPTA.: C

E)  1;1

125. Si

B)

2 5  ; 3 6  

124. Halle los valores de cos  x  30 

1 ;1 2

2 sen  1 3 1  2 2

1

 2 5  ; A)   3 6 

RPTA.: C

A)



9 ;4 4

RPTA.: E

A) B) C) D) E)

1,5.sen .cos  2 1,5.sen .cos  2 3.sen  .cos  2 3.sen .cos  2 sen .cos  2

RPTA.: A

126. Determine la extensión de “  ”

que cumple con: Página 131

128. En

la

sen  

figura 5 7

halle

PR ,

si:

130. Halle

el área de la región sombreada en términos de “  ”. y

y



x2  y2  1

P 1 A



R

x

x

1 C.T.

7 11 11 C) 7 10 D) 7

A)

A) 1  cos  C) 1  sen  E) 2 sen 

7 10

B)

RPTA.: C 129. En

la circunferencia trigonométrica determine el área de la región en término de “  “ siendo OP  PB . y M 

RPTA.: C 131. Si: , entonces todos los valores de “x” en 0;  que verifique la desigualdad, se encuentran comprendido en: 2

E) 2

B) 1  sen  D) 1  cos 

´

3 tg x  1

 

A)  ;  3 2   2 3  ;   3 2

C)  

E)  0; 6

Q

    D)  ;  6 3

RPTA.: D

o A P

  

B)   ;  4 3

C.T.

B’  sen  sen  cos  B) 2 cos   1 2 2 2 cos  sen cos  C) D) 2 sen   1 2sen  1 1  2 cos  .sen  E) sen 

A)

RPTA.: B Página 132

SEMANA 9

2 2 A) sec  csc  B) sec   csc  C) tg   ctg  D) tg   c tg  E) 1 RPTA.: C

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO SIMPLE 132. Simplifique:

W

133.

 cos   sen    sec   Csc  



B) -2

D) 1

E) -1

C)

 sec

2

 csc

2

1 2

RPTA.: E

Simplifique:



2

2





4

2

x  cos2 x  ctg2x  sen4x

A) 1

2 B) tg x

2 D) sec x

2 E) csc x

2 C) ctg x

B) 2 cos b E) ctg b

C)

b2  4

D)

Si:

C) tg b

RPTA.: C



B)  4  b2 b2  4

139. Calcule: sen x cos x

cosb  tgb senb  sec b  tgb

135. Indique el expresión:

4  b2

RPTA.: D

134. Simplifique:

A) 2 sen b D) sec b

A)

E)  b2  4

RPTA.: B

equivalente

P  sen2 x  cos2 x A) B) C) D) E)



138. Si: tg x  ctg x  b Calcule: E  tg x  ctg x

x  sen x  tg x  cos x 2



E  tg  1  ctg2   ctg  1  tg2  A) sen  B) cos  C) tg  D) sen 30º E) sen 180º RPTA.: E

tg   ctg 

A) 2

Q

137. Reducir:

de

2

a2  b2 ab ab C) 2 a  b2 a2 E) ab A)

la

   tg x  ctg x 

a b  sen x cos x

2

sen6 x  cos6 x 1  sen2 x  cos2 x 1  sen2 x  cos2 x 1  3 sen2 x cos2 x sen6 x  cos6 x

b2  a2 ab ab D) 2 a  b2 B)

RPTA.: D

RPTA.: E

140. Reduce:

E   sen   cos    tg  ctg    csc 

136. Simplifique:

P  sen2   tg   cos2  ctg   2 sen  cos  Página 133

A) sen 

B) cos 

C) sec  E) 1

D) csc 

RPTA.: B 2 2 146. Si: 2 ctg x  3 ctg y  1

RPTA.: C 2 2 141. Si: sen x  sen y 

Halle:

2 2 Halle: sen x  csc y

1 8

A  cos2 x cos2 y  sen2 x sen2 y 1 8 9 D) 8 A)

5 8 11 E) 8 B)

C)

B)

D) 2

7 8

C)

2 3

RPTA.: C

147. Indique el equivalente de : 2

RPTA.: C

E  4 sen6 x  cos6 x   3 cos2 x  sen2 x  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RPTA.: A 143. Halle el valor de “A” si:

sec4 x  sec2 x  tg4 x  A

2 2 B) sen x  cos x 2 2 C) sen x  csc x 2 2 D) sec x  csc x E) 1

2

RPTA.: D 148. Si: csc x  ctg x  3;Halle : " tg x " A)

B) ctg x 2 D) tg x

3 4

D) 

RPTA.: D

2

 cos x 1   sen x 1  W       1  sen x ctg x   1  cos x tg x  2 2 A) sec x  cos x

142. Reduce:

A) tg x 2 C) ctg x E) 1

1 3 1 E) 9

A) 1

B)  4 3

E)

3 4

C)

4 3

1 3

RPTA.: B 149. Si: cos x  cos x  1  0 . 2 2 Halle: W  sec x  ctg x 2

2 144. Si: 12 cos x  23 senx  22 Entonces “sen x” es:

5 A) 4 4 D) 5

2 B) 3 2 5 E) ; 3 4

A) 0 D) -1

1 C) 3

B) 1 E) -2

C) 2

RPTA.: C

RPTA.: B 2 150. Si: sen x  sen x  1 2 Calcule: E  1  cos x

145. Simplifique:

V  sec6 x  tg6 x  3tg4 x  3tg2 x A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

2 A) sen x

2 B) cos x

2 C) tg x

2 D) ctg x

2 E) csc x

Página 134

RPTA.: D 151. Simplifique:

 1  cov x   1  vers x  cov x   1 vers x  cov x 

E

A) vers x C) 2 -vers x E) 2 + cov x

2 156. Si: csc   csc   1 Halle:

H  ctg2   1  ctg    ctg   1

A) 1 D) 4

B) cov x D)2-cov x

B) 2 E) 0

RPTA.: A

RPTA.: C 152. Simplifique: k  1 

cos x 1  sen x C) 1- sen x cos x E) 1  sen x

C) 3

2  2 cos x sen x  cos x  1

1  sen x cos x D) 1 + sen x

A)

B)

RPTA.: B tg x  sen x  A tgB x 2 2 ctg x  cos x 2

153. Si:

2

Halle: (A + B) A) 3 D) 8

B) 6 E) 10

C) 7

RPTA.: C 154. Reducir:

H  1  tg2 x  tg4 x  tg6 x  tg8 x  ……………  2 A) sen x

2 B) cos x

2 D) ctg x

E) 1

2 C) tg x

RPTA.: B SEMANA 10

3 3 155. Si: sen x  csc x  7

ARCO COMPUESTO

3 3 Calcule: sen x  csc x

157. Simplifique:

A)

51

B)

53

D)

59

E)

61

C)

57

P

RPTA.: B Página 135

sen  15º     cos   cos  15º     sen cos   cos  15º    sen   sen  15º    A) 2  3

B) 2  3

C) 2 3

D)

3 2

162. Si: x  y  16º Halle:

3 6

E)

24  tg x  tg y   7 tg  tg y

RPTA.: B

158. Siendo:

7 24 1 D)  3 A) 

tg  3x  2y   4  tg  2x  3y   5

Halle: “ tg  x  y  ” A)

1 21

B) -1

E) 

159. Resolver: E  A) 0,5 D) 1

1 10

RPTA.: D

A)

4 5

1 5 4 D) 5

RPTA.: B

 sen acos b 

2 5 1 E) 6 B)

E) 7

RPTA.: E

B)  2 5

E)

3 5

5 2

C)

RPTA.: B

164. Reduce:

    M  sen   x   cos   x   cos2 x 3  6  1 7 7 A)  B) C)  2 4 4 1 1 D) E)  4 4 RPTA.: E

C)

3 5

3 5

RPTA.: B

165. Halle “ tg  ” de la figura. 161. Calcule: E  21 tg 8º 75 sen 16º (asumir: tg 37º = 0,75) A) 23 D) 26

B) 24 E) 27

2 5

C) -1

Halle: sen (a – b)

A)

3 5

D) 

160. Si:

sen  a+b  

1 3

4 sec      Calcule: tg   tg 

tg 89º tg 1º tg 88º

B) 2 E) 0

C)

sec     

163. Si:

1 21

7 24

C)

1 10 D) 

B)

53º

C) 25

RPTA.: B Página 136



RPTA.: C 1 18

A) -18

B) 

1 D) 18

E) 1

169. Dado: sen  2x  y   2 sen y

C) 18

Halle: tg(x  y)  ctg x

A) 1 D) 4 RPTA.: C

RPTA.: A

166. De la figura mostrada, calcular: tg 

170.

B) 2 E) 5

Reduce:

 sen 3x  cos 3x   sen 2x  cos 2x   cos x A) sen 2x D) sen 5x

B) sen 3x E) sen 6x

171. Si: ctg x  2  tg y

 4

Halle: E 

5 5 3 55 D) 3 A) 

B)  E)

55 3

4 3

C)

5 3

C) D) E)

5 14 3 7 1 7 3 14 1 2

2 cos  x  y 

sen  x  y   sen  x  y 

A) 1

B) 2

1 D) 2

1 E)  2

C) -2

RPTA.: B

167. En la figura, halle : tg 

B)

C) sen 4x

RPTA.: D

3

A)

C) 3

172. Reducir:

Q

sec  90º   sen(180º ) tg  270º     cos(90º ) ctg  360º   csc  180º  

b

A) 0 D) 3

5b

C)-1

E) 1 RPTA.: C



2b

5b

RPTA.: A

168. Reducir:

tg 3   tg 5   tg 8   tg 3 tg 5 tg 8  A) 2 tg 3 C) 2 tg 8  E) 4 tg 5 

B) -3

173. Calcule el valor aproximado:

M  5  sen127º  sec2 240º 2 tg3 315º

A)-2 D) -6

B) 2 tg 5  D) 4 tg 3 

B) 2 E) 0

C) 6 RPTA.: A

174. Simplifique: Página 137

 3  tg    x  cos   x  sec  2  x   2  R  3    ctg   x  sen  2  x  csc   x   2  2  A) -1 D)+1

175. Si    Calcule:

B) -2 E) 2

C) -3

RPTA.: A

 3

sen  15    cos  92      927    1683   sec     csc     2   2  3 1 1 A)  B)  C) 16 16 16 3 5 D) 16 E) 16 P

RPTA.: A

SEMANA 11

ÁNGULO DOBLE 176. Si: sen x  cos x  Halle: H  sen 2x A)  Página 138

1 5

B) 

2 5

1 5

C) 

3 5

D) 

4 5

E)

5 8

2 E) tg 

D) 1

RPTA.: A

RPTA.: D 181. Halle “x”

1 177. Si: tg   3 Halle: “ c os 2 ”

1 5 4 D) 5

x

2 5 5 E) 12

A)

B)

C)



3 5

RPTA.: D 1 3 3 178. Si: sen x cos x  sen x cos x  8 2 Halle: H  sen 4x  1 1 4 3 D) 4

5 4 2 E) 5

A)

B)

C)

5 8

17 A) 15 1 15 4 D) 15

9 40 11 D) 40

A) -

 6 H  16 sen  cos  cos 2  cos 4 

D)  3

E) 

B)

E)

5 18 RPTA.: A

5 18 1 E) 25 B) 

C) 

E = 1  4 cos 2 x1  cos 2 x 1  cos 4 x 

1 3 1 D) 12

3 2

A)

Reducir

1 6 1 E) 18 B)

C)

G  tg10  2 tg20  4 ctg 40

A) tg 

C) tg 20º

184. Hallar el máximo valor de:

cos 2  sen 4   1  cos 2    1  cos 4   B) tg2

1 9

RPTA.: C

RPTA.: B 180. Reducir: H 

1 40

RPTA.: A

1 C)  2

B) ctg 10º E) 1

C)

1 183. Si cos 4 x  3

RPTA.: D

A) tg 50º D) ctg 20º

8 15

Halle E = ctg 2 

179. Si:  

B) 2

4

  182. Si: tg      9 4 

RPTA.: B

A) 1

1



C) ctg  Página 139



E = 6  sen2 xc os2 x  2 senx  cos x

9 4 19 D) 4

A)

13 4 15 E) 4 B)

C)

25 4



2

RPTA.: C 185. Si cos2 2x  cos3 2x  cos 2x  1 Halle: 2 3 E = tgx  tg x  tg x Si x  0;

 4

A) 4 D) 1

B) 5 E) 3

C) 2

RPTA.: D 186. Reducir G = A) sen 4  C) cos 2

4 tg 1  tg2 

2

2 sec4   sec6  B) sen2 D) cos 4

2 E) sen 4 

RPTA.: A

SEMANA 12

ÁNGULO MITAD (ARCO) 1 ; x  180º;270º 8 x Halle: H  sen   2

187. Si: cos x  

A) Página 140

1 2

B)

3 4

C)

5 7

D)

1 8

E)

192. Si: tg   3;   III c

1 5



RPTA.: B

Halle: H  ctg  45º 



4 188. Si: cos    ;  180º;270º 5

1 3 C) 3  10 A)

 Halle: cos 2

10 A) 10 5 D) 5

10 B)  10 5 E) 6

B) - 2 E) 8

3 2

190. Calcule:

1  cos100º sen80º  2 2 cos 40º

A) 1 D)

1 2

B) -1 E) 

C) 0

E) -1

1 3

RPTA.: A

A) 1

B) -1

1 D) 2

1 E) 3

C) 0

 sen   ctg    1 2 E  sen  tg    cos  2

  x A  sen x tg x  ctg    1 2  

E)

D) 0

C)

195. Simplifique:

191. Reduce:

D) 0

B)

RPTA.: A RPTA.: C

B) ctg x

1 2

A) 1

x tg    ctg x 2 194. Reduce: M  x ctg x  ctg   2

1 2

A) tg x

RPTA.: D

C) -5

RPTA.: C

H

D) 3  10

x csc    2 csc x 2 193. Simplifique: A  x x sec    ctg   2 4

 Halle: E  tg   2 A) -1 D) 6

B) 3  10

E) 1

1 C) 2

RPTA.: B 189. Si: csc   2, 6;    

 2 

A) sen 

  2

C) 1

C) tg 

1 2

E) 1

RPTA.: A

196. Reduce: Página 141

B) cos 

  2

D) ctg 

RPTA.: B

x x E  ctg    2 cos2    ctg x 2 2 A) 1 D) tg x

B) cos x E) ctg x

R

A)

B)

C)

2 2

D) 1

E)

1  sen 

C) sen x A) 1

RPTA.: C 197. Calcule: E  sen112º 30 ' 2 2 2

2  1  cos    2  1  cos  

D)

B) 2

1 2

E)

C) 3

1 4 RPTA.: B

2 2 2

1 4 RPTA.: B

x x  tg    2 csc x  2 4 x Halle: H  cos   2

198. Si: tg 

A)

1 2

D)

4 5 1 E) 6 B)

2 3

C)

2 2

RPTA.: C

199. Reduce:

ÁNGULO TRIPLE 1 201. Si: sen x  ; “x” es agudo . 4

  E  tg    2 tg    4 ctg  4 2

Halle: sen 3 x A) tg 

  2

C) ctg 

  2

B) tg 

1 8 3 D) 16

1 16 9 E) 16

A)

  4

D) ctg 

E) 1

B)

C)

11 16

RPTA.: C RPTA.: D

16. Si:   3 



Halle: cos 

200. Simplifique: Página 142

cos  

1 3

19 27 23 D)  27

A) 

20 27 25 E)  27 B) 

C) 

22 27

E) 6  5

RPTA.: A 207. Reduce:

V  tg20º  tg30º tg10º tg2 50º

RPTA.: D 202. Si: tg  

2 A)  3 2 D)  6

A) tg 40º D) tg 10º

2; halle tg3 2 B)  4 2 E)  7

2 C)  5

A) 1 D) - 1

B) 2 E) 0

tg3x  tg2x  tg x cos 2x A) 2 tg3x B) 4 tg 2x C) ctg x 1 D) 1 E) 2 RPTA.: A

sen3x sen x

209. Halle: “m” si:

C) 3

RPTA.: C

3 3 1 D) 3

A)

B) 3 E)

C) 1

1 2 RPTA.: A

RPTA.: A 210. Reduce:

2 4

E 

Halle: cos 3a

3 2 8 9 2 D) 8

m ctg20º  tg10º tg 40º

B) 4 cos 2x D) 16 cos 2x

205. Si: sen  30º a 

A)

RPTA.: B

R

sen2 3x cos2 3x A   204. Simplificar: sen2 x cos2 x A) 8 cos 2x C) 2 cos 2x E) 1

C) tg 60º

208. Simplifique:

RPTA.: C 2 203. Reducir: M  4 sen x 

B) tg 50º E) tg 20º

5 2 8 11 2 E) 8 B)

C)

sen 3x  sen x sen2 2x sen x  sen 2x cos x

A) sen 2x C) cos 2x E) sen 8x

7 2 8

B) sen 4x D) cos 4x

RPTA.: C RPTA.: B

211. Reducir:

206. Halle: E  ctg18º  ctg36º A) 2  5

B) 3  5

C) 4  5

D) 5  5

G  tg3x  2 sen x sec 3x

A) 1 D) 0

B) tg x 2 E) tg x

C) ctg x

RPTA.: B Página 143

212. Si: tg  15º x   2 Halle: ctg 3x

11 9 16 D) 9

13 9 17 E) 9

A)

B)

C)

14 9

RPTA.: B 213. Reducir:

E   sec 20º 1  sec 40º 1  tg20º  ctg2 10º A) 1 D)

B) 2

3 3

E)

C)

3

1 3 RPTA.: C

214. Si: x 

 18  2 tg8x  tg2x    sec 8x  1 

Reducir: G   A)

B) 1

3

C)

2 D) 2 3

E) 3

RPTA.: A

SEMANA 13

TRANSFORMACIONES 215. Simplificar:

E

sen5 a  sen3 a cos 3 a  cos 5 a

A) tg 8a D) ctg 4a

B) tg 4a E) ctg a

C) tg a RPTA.: D

sen  1  . sen5  5 Halle: M  tg3   ctg2 

216. Si:

Página 144

A) 5 2 D) 3

A) cos  a  b  sen  a  b 

1 B) 5 3 E) 2

B) sen  a  b  sen  a  b 

C) 1

C) sen  a  b  cos  a  b  D) c os  a  b  cos  a  b 

E) 2 cos  a  b  sen  a  b 

RPTA.: E 217. Reduce:

V 

2 sen x  3 sen3x  sen5x 4 sen x

RPTA.: D 221. Transforme a monomio:

2 A) 4 cos x 4 C) 4 cos x 4 E) 4 sen x

V  cos 3 a cos 2 a  sen 4 a sen a

3 B) 4 cos x 2 D) 4 sen x

A) sen a cos 2 a B) sen a sen 2 a C) cos a cos 2 a D) cos a sen 2 a E) cos a cos 4 a

RPTA.: C 218. A qué es igual: E  ctg a  tg3 a A) B) C) D) E)

RPTA.: C

4 sen2 a sen2 a  sen a 2 cos 2 a sen 4 a  sen2 a 4 sen2 a sen 4 a  sen2 a 2 cos 4 a sen 4 a  sen2a 4 sen 4 a cos 4 a  sen2 a

222. Determine la suma del máximo y mínimo valor de:

M  sen  2x  10º  sen  20º 2 x 

A)

3 2

D) 

2 2

3 2 5 E) 2 B) 

C)

2 2

RPTA.: B RPTA.: D

219. Sabiendo que:

sen7 x  sen x cos5 x  cos 3 x ;B  cos7 x  cos x sen5 x  sen3 x Luego: A

A) AB = 1 C) A + B = 0

1 , 5 Halle: V  sen  60º x   cos  30º x 

223. Si: cos 2 x 

B) A-B = 0 A 1 D) B

A) 0,15 D) 0,35

E) A = 2 B RPTA.: C

B) 0,25 E) 0,70

C) 0,45

RPTA.: D

224. Reducir

sen2 x  cos 3 x  sen x  cos 4 x cos 5 x  cos 2 x  cos 4 x  cos 3 x A) tg 2 x B) – tg 2 x C) ctg 2x D) – ctg 2x E) 1 M

220. Transforme a producto

V  cos2 a  cos2 b  1 Página 145

D) 70

RPTA.: D

E) 76 RPTA.: E

225. En un triángulo ABC, reducir:

sen2 A  sen2 B  M , si: A  B  sen2A  sen2B 4 1  tanC 2 1 C) 2 E) – tan C

B) 

A)

228. A qué es igual:

2 2   arc tg    arc tg   3 5  13   14  A) arc tg  B) arc tg     11   11 

1  tanC 2

 15    11 

C) arc tg 

D) tan C

 16    11 

D) arc tg 

 17    11 

E) arc tg 

RPTA.: C

RPTA.: D 229. Determine el valor de: 1  M  sen  2 arc tan  4  1 4 8 D) 17

2 7 7 E) 2

A)

B)

C)

8 19

RPTA.: D

SEMANA 14

230. Halle:

F.T. INVERSA



  arc ctg

226. Calcule: Q  cos 4 arc tg 2

A) 0 7 D) 9

B) - 1 7 E)  9



 6 2 D) 3 A)

C) 1

 3 5 E) 6 B)

C) 

231. Simplifique:

227. Calcule el valor de:

M

M  sec2  arc tg5  csc2  arc ctg7  B) 50



6 sen arc tag  1 

RPTA.: E RPTA.: E

A) 20



arc sen  1  arc tg(0)  arc cos  1

arc cos  0   arc tg  1  arc sen  1

A) 6

C) 56 Página 146

B) -6

C)

1 6

D) 

1 6

E) 1

D)

 4

5 8

E)

RPTA.: B 236. Evalué:

   arc ctg3  4 

232. Calcule: tg 

A) 1

B)

D) 

1 2

1 2

RPTA.: A

 2  6 2 arc ctg 1  2  arc sen    4   A) 120º B) 240º C) 60º D) 210º E) 150º RPTA.: D



C) -1

E) 2



RPTA.: B 233. Halle:

  arc ctg  2,5   arc tg  2,333...

 3  D) 2 A)

B)

 6

C)

 4

E)  RPTA.: C

SEMANA 15

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

234. Determine el valor de:

M

A)

2 arc tan 4  8  arc sen    17 

1 2

B) 1

D) 2

E)

237. Halle la suma de las 3 soluciones positivas

C)

primeras de la 2 ecuación: sen  5x  10º   2

3 2

5 2

A) 111º D) 132º

B) 133º E) 123º

RPTA.: B 235. Reduce:

 13  4 3  arc tg 2 3  arc tg    11  



A)

3 4



B)

7 4

C)

C) 122º

RPTA.: E

238. Indique el número de soluciones positivas y menores a una vuelta de la ecuación: sec x  cos x  sen x A) 1 D) 4

5 4 Página 147

B) 2 E) 5

C) 3

  K    12   3   K   C)   12   4   K   D)   18   2   K   E)   12   2

B) 

239. Halle la suma de las soluciones de la ecuación: ctg x – csc 2x = 1 Para ángulos positivos menores de 360º A) 360º D) 660º

B) 630º E) 810º

C) 450º

RPTA.: B 240. Resolver: sen x  cos x  tg x  sec x La solución de la ecuación es: (K es un número entero)   4     C) k    12     E) k    4  

A) k  

  6     D) k    18   

B) k  

RPTA.: A 243. Determinar todas las soluciones de la ecuación: 1  tg x 3  ctg x   k  1  tg x 3  ctg x   4     C) K    12     E) K    4  

A) k  

RPTA.: E

  6     D) K    18   

B) K  

RPTA.: B

241. Determine la suma de soluciones de la ecuación: sen x  3 cos x  1 ;x  0;2  2 3 3 D) 2

A)

3 5  E) 6

B)

C)

244. Resolver la ecuación: 3  1  cos x   sen2 x;n  

5 3

A) { 2  n } B) {  n } D)  4  n

  4 

E)  n RPTA.: A

RPTA.: C 242. Halle uno de los valores de x que satisfacen la ecuación cos 5x  3 sen5x  2 cos x  0 (K es un número entero)

  2 

C)  n

245. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica 3 cos2 5x  sen2 3 x  cos 2x ,  k   2 

A)  2K  1

  K   A)   12   2



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  2

  4    C)  2K  1  3    D)  2K  1  5    E)  2K  1  8  



B)  2K  1

 3

E) k    

RPTA.: B

RPTA.: B 246. Resolver la ecuación trigonométrica: 0,5cos2 x  3 senx cos x  0,5 sen2 x  0, k    k     6  2  k     C)  3  2   E) k    6 

 3     k  D)   12   2 

B)  k   

A) 

RPTA.: D

247. Dado el sistema:  xy 2 cos x 



SEMANA 16

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS



3  2 cos y

Indique una solución general de y   k      24      B) k    12      C) k    10     D) k    6 

248. En un triángulo ABC, si: A = 60°; b  4 7; c  6 7 . Halle el lado “a”



A) k  

A) 7 D) 14

B) 10 E) 20

C) 13

RPTA.: D 249. Los lados de un triángulo son proporcionales a los números 3;5 y 7. Siendo “  ” la medida de su

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menor ángulo " s ec  " . 7 13 14 D) 13

interno;

6 13 13 E) 14

A)

B)

C)

halle

13 7

A) 6 D) 9

RPTA.: D

A 2 A C) ctg 2 A E) 2 ctg 2

251. En un triángulo uno de sus lados mide 20 cm y los ángulos internos adyacentes con él miden 16° y 37°. Halle su perímetro.

A 2 A D) 2 tg 2

A) tg

B) 130 m D) 0,13 m

B) 24 cm E) 50 cm

RPTA.: B

B  C B  C  2cx tg   tg     2   2  bc

RPTA.: D

A) 22 cm D) 44 cm

C) 8

254. En un triángulo ABC, determine el valor de x para que verifique la siguiente expresión:

250. En un triángulo ABC, se conoce que: A = 120°, b = 7 cm y c = 8 cm. Halle la longitud del lado a. A) 13 m C) 1,3 m E) 0,013 m

B) 7 E) 10

B) 4tg

RPTA.: C 255. En un triángulo ABC, BC = a, AC = b, AB = c Simplifique: M  a2 cos  2A  2C   b2  cos  2B  2C   b2

C) 42 cm a2 2 C) a2 2 E) 2 a

b2 2 D) b2

A)

RPTA.: C

B)

RPTA.: C 252. En un triángulo ABC, simplifique la expresión: E  b cos B  c  cos C A) b cos (B-C) C) c cos (B-C) E) b sen (B-C)

256. En un triángulo ABC,  A + B = 72° A - B =36° ab Halle: W  ab

B) a cos (B-C) D) a sen (B-C)

A)

5 5 1 E) 5 B)

5

D) 5

RPTA.: B

si:

C)1

RPTA.: A

253. Halle “x” en la figura: 257. En un triángulo ABC, BC = a, AB = c, AB = c si 4 c  2 a2  b2 c2  a4  a2b2  b4  0



x



Halle la medida del ángulo agudo C. 5

3

A) 90° Página 150

B) 60°

C) 45°

D) 30°

E) 15°

RPTA.: B 258. En un triángulo ABC (BC = a; AC = b, AB = c) inscrito en una circunferencia de radio R, se cumple m  C= 45º , además a2  b2  2 2 R 2 Calcule: M  tg2A  3 tg2B A) -1 D) 1

B) -2 E) 2

C) 0

RPTA.: B

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