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TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRÍA Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180]. Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos. Ángulo trigonométrico: Supongamos el rayo 0A fijo y el rayo 0B móvil. Comenzamos con los dos rayos coincidiendo. Ahora, hagamos girar 0B alrededor de 0. En cada posición de giro, 0B determina un ángulo con 0A: el ángulo A0B. Se ha convenido considerar los ángulos generados en sentido contrario a las manecillas del reloj como positivos, y a los generados en el mismo sentido de las manecillas del reloj como negativos: de acuerdo con la ilustración de la derecha (Fig.1), el ángulo A0B es positivo y el ángulo A0B' es negativo.

Antes de iniciar el giro, los rayos 0A y 0B coinciden, formando un ángulo de 0° (en el sistema sexagesimal). Al girar 0B, en sentido contrario a las manecillas del reloj, irá generando un ángulo cada vez mayor y cuando vuelva a coincidir 0B con 0A se habrá efectuado un giro completo, generándose un ángulo giro cuya medida es de 360°. 0B puede continuar girando y engendrar un ángulo de cualquier medida; de lo anterior se deduce que 0A y 0B son los lados inicial y terminal, respectivamente, de una infinidad de ángulos.

Unidad de medida de los ángulos: los ángulos se expresan en grados sexagesimales, grados centesimales o en radianes. En el sistema sexagesimal se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales; y un ángulo de 1° sexagesimal es la medida de aquel que se genera cuando el giro, en el

1 360

mismo sentido de las manecillas del reloj, del lado terminal es de parte de una vuelta completa. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son: grado ° minuto ' segundo '' Radián: un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la misma longitud del radio de la circunferencia. En la (Fig.2), la longitud del radio r es igual a la del arco AB; el ángulo A0B mide 1pi radianes. En el sistema circular se utiliza como unidad de medida el "radián". En el sistema centesimal se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales". Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro.

La longitud de una circunferencia está dada por:

P  2  r

, donde r = radio

Como un radián es igual al radio, en una circunferencia hay ángulo giro es igual a 360° por lo tanto se tiene que:

2 

 rad

rad . 360 0  180 0

2 

radianes, también un

Con ello podemos llegar a la proporción:

 rad x  s 180 0 Donde x es un ángulo medido en radianes y s es el mismo ángulo medido en grados sexagesimales. De aquí se deducen las fórmulas para la conversión de ángulos de radianes a grados y viceversa.

s

x  180 0  rad

x y

Ángulo en posición normal: Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas en un sistema rectangular de ejes coordenados (Plano Cartesiano). Y cuyo vértice está en el origen de coordenadas (punto donde se intersectan los ejes). En la figura de la derecha se ilustra un ángulo en posición normal, el ángulo A0B.

s   rad 180 0

Y B

A

x

Círculo trigonométrico: Ejemplo: Calcule la medida de 135° medida en radianes. Solución:

x

135 0   rad 3   rad . 180 4

Ejercicios: Transformar a grados sexagesimales y/o radianes según corresponda:

a) rad

90°

b) 150°

c)

215°

d) -150°

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

e) 0,25



rad

f)

2   rad 3

g) -2,5

Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes: Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo. Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto





ABC, rectángulo en A



B y C ángulos agudos a: hipotenusa b: cateto, opuesto al c: cateto, opuesto al





B y adyacente al C y adyacente al

 

C B

al ángulo.

Teorema de Pitágoras: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".



ABC, rectángulo en A. a: hipotenusa B: cateto c: cateto a2 = b2 + c2 b 2 = a2 - c 2

Ejemplo 1: Hallar las razones trigonométricas del ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 5 m y uno de los catetos mide 3 m.

Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras.

c 2  5 2  32 c 2  25  9  16 c4 Una vez hallado el valor de este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones: Como a menor lado se opone menor ángulo, entonces lo que se pide son las razones del ángulo en B. Luego:

3 5 4 cos B  5 3 tan B  4

5 3 3 sec B  5 4 cot B  3

senB 



Ejemplo 2: Un ángulo agudo trigonométricas de este ángulo.

csc B 

sen  tiene

3 5

Por teorema de Pitágoras buscamos el otro cateto del triángulo, que es 4

. Halla las restantes razones

5

3



Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonométricas y encontramos:

sen 

3 5

cos  

c.ad . 4  hip 5

tan  

c.op. 3  c.ad . 4

cot  

c.ad . 4  c.op. 3

sec  

hip 5  c.ad . 4

cos ec 

hip 5  c.op 3

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Ángulos

0°

30°

45°

60°

90°

/6

/4

/3

/2

180°

270°

(grados) Ángulos (radianes) sen cos tg ctg

2 0

1/2

1 0

1/2

1

0

-1

0

-1

0

1 1

3 /2

0 0

0

sec

1

2 2

cosec

-1 1

-1

Ángulos complementarios: En el triángulo rectángulo siguiente:

sen  sen(90 º  )  cos 



cos   cos(90º  )  sen

tan   tan( 90º  )  cot 



En estas relaciones, se cumplen con dos ángulos que son complementarios, que suman 90º, y se dicen que estas funciones son cofunciones una de la otra. Ejemplos de uso de las cofunciones:

  90º 

1) Calcular sen 30º. Sen 30º = sen (90º - 30º) = cos 60º = ½

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). Para resolver cualquier identidad trigonométrica, es necesario tener en cuenta las siguientes igualdades, las cuales podrán ser muy útiles para su resolución:

csc   tan  

1 sen

sen cos 

cot  

1 tan 

cot  

cos  sen

sec  

1 cos 

Las principales identidades trigonométricas que se utilizan en el cálculo de funciones trigonométricas son:

sen 2  cos 2   1 1  sen 2  cos 2  1  cos 2   sen 2 tan 2   1  sec 2  1  cot 2   csc 2  Otras identidades, como las que se muestran a continuación, muestran que el seno es una función impar y el coseno es una función par:

sen(  )   sen ( ) cos(  )  cos( ) Las siguientes identidades muestran que las funciones seno y coseno son periódicas con período

2 :

sen (  2 )  sen con(  2 )  cos 

Las siguientes identidades trigonométricas son consecuencia de las anteriores y se conocen como fórmulas de adición o resta:

sen      sen  cos   cos   sen cos      cos   cos  sen  sen tan   tan  tan       1 tan   tan  Si en las fórmulas de adición decimos que ángulo doble:

   , entonces obtenemos las fórmulas de

sen 2  2 sen cos 

cos 2  cos 2   sen 2 Si ahora utilizamos la identidad trigonométrica sen   cos siguientes fórmulas alternativas para el ángulo doble del coseno: 2

2

  1 , obtenemos las

cos 2  2 cos 2   1 cos 2  1  2 sen 2 Finalmente, a continuación se presentan las fórmulas de medio ángulo, que son útiles para el cálculo integral: 1  cos 2 cos 2   2 1  cos 2 sen 2  2

1  tan 2   sec 2 

Ejemplo 1: Resolver la identidad

Solución:

sen 



Ejemplo 2: Un ángulo agudo tiene trigonométricas de este ángulo.

3 5

. Halla las restantes razones

Solución: Usando las identidades básicas

Por la identidad

sen 2  cos 2   1

tenemos que:

cos 2   1  sen 2

 3   5

2

cos 2   1  

cos 2   1 

9 25



cos 2  

16 25

cos  

4 5

 Luego, usando estos dos valores, del seno y coseno, calculamos todas las demás funciones:

3 sen . 5 3 tan     cos  . 4 4 5

y así sucesivamente.

Ahora es tu turno Ejercicios:

1) tan   cot   sec   csc  tan   cot  2)  2 sen 2  1 tan   cot  1  cos  sen 3)  sen 1  sen

cos  

7 4

4) Si , encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y racionalizados. 5) En teoría de circuitos eléctricos se utiliza la expresión

1,2sen(t )  1,6 cos(t  2  1,6sen(t )  1,2 cos(t )  2 2L

Demuestre que es idéntica a

2,0 L

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS La expresión ´y es el seno de q,´ o y = sen q, es equivalente a la expresión q es el ángulo cuyo seno es igual a y, lo que se escribe como q = arcsen y, o también como q = sen -1 y. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccotg y, arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen q o q = arcsen y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de q, puesto que sen 30° = sen 150 ° = sen (30° + 360°)...= 1. Por tanto, si q = arcsen 1, entonces q = 30° + n360° y q = 150° + n360°, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor 30° se toma como valor principal o fundamental del arcsen 1. Para todas las funciones inversas, suele darse su valor principal. Hay distintas costumbres, pero la más común es que el valor principal del arcsen y, arccos y, arctg y, arccosec y, arcsec y y arccotg y, para y positiva es un ángulo entre 0° y 90°. Si y es negativa, se utilizan los siguientes rangos: -90° ≤ arcsen y; arctg y < 0° 90° < arccos y; arccotg y ≤ 0° -180° ≤ arcsec y; arccosec ≤ -90° Para hallar el valor de las funciones trigonométricas inversas es necesario el uso de una calculadora científica, las funciones inversas están situadas en las teclas de sen, cos y tan, pero como una segunda función. Esto se visualiza como sigue:

sen-1

cos-1

sen

cos

tan-1 tan

Luego, si tenemos la función sen(x) = y entonces x = sen -1(y) . Para lograr determinar el valor del ángulo debemos proceder de la siguiente forma: Por ejemplo si queremos determinar sen(x) = 0,245, entonces aplicamos las teclas siguientes:

shift

0,245

sen

=

14,18

Que es equivalente a 14,18° sexagesimales.



Ejemplo. El ángulo de fase en un circuito RC entre la reactancia capacitiva, XC y la resistencia R, cuando la resistencia esta en serie con la reactancia capacitiva, puede

encontrarse mediante el empleo de R = 40

 X    tan 1   C  R  



Solución: Reemplazando en la expresión

. Encuentre

 33    tan 1     40 

  39,52



cuando XC =33



y

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTANGULOS Resolver un triángulo significa encontrar el valor numérico de cada uno de sus tres lados y sus tres ángulos. En esta clase de problemas siempre se nos dan los valores de tres elementos, uno de los cuales es uno de los lados, y se nos pide hallar los otros tres. De la geometría plana elemental sabemos que "la suma de las medidas de los tres ángulos interiores en cualquier triángulo es igual a 180 grados". Así, para encontrar el valor del tercer ángulo, conocidos los otros dos, basta con utilizar la siguiente fórmula:

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo tienen un valor de 5 y 12 cms. Determine los otros elementos del triángulo.



C



5

12

Solución: Primero podemos calcular la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:

5 2  12 2  C 2 25  144  C 2 169  C 2 13  C

 y  Para determinar los valores de

aplicamos las funciones inversas:

5 13  5   sen 1    13    22,62  sen 

  90 0  22,62 0  67,38 0

 se puede obtener por diferencia, es decir:

Ahora es tu turno: 1) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora.



a) = 24º y c =16. b) a = 32.46 y b = 25,78 c) d)





B



= 24º y a =16 = 71º , c = 44

c

a



C

b

A

2) El tensor de un poste eléctrico está sujeto al piso en un punto a 15 pies de la base del poste y forma un ángulo de 68° con el nivel del piso. ¿a que altura del poste está sujeto el tensor?

TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO La ventaja que tienen estos teoremas es que se pueden aplicar a cualquier tipo de triángulo. Teoremas de los senos: “Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”

a b c   sen sen cos 

b

 a

 c



Aplicaciones: i)

Resolver un triángulo cuando conocemos un lado y dos ángulos.

ii)

Resolver un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Ejemplo: Resolver el triángulo de la figura

 12m 80° c

  Debemos comenzar determinando el valor de

aplicando el teorema de los senos:

sen sen(80)  8 12 8  sen (80) sen  12 sen  0,6565

  sen 1 (0,6565)   41

 Como

 = 41° , entonces

= 180° - ( 41° + 80° )

 = 59° Luego aplicamos nuevamente el teorema de los senos para determinar el valor de c:

sen (80) sen(59)  12 c 12  sen (59) c sen(80) c  10,44 m

Teorema del coseno

a 2  b 2  c 2  2  b  c  cos 

b

b 2  a 2  c 2  2  a  c  cos  2

a



c  a  b  2  a  b  cos  2



2

c



Aplicaciones: i)

Cuando conocemos los tres lados.

ii)

Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

iii)

Dos lados y el ángulo que forman.

Ejemplo: Resolver el triángulo de la figura: 108°

y x

z

Solución: Aplicamos el teorema del coseno para obtener el valor de Z.

z 2  700 2  1200 2  2  700  1200  cos(108) z 2  2449.148,5 z  1564,97 m Para hallar los otros valores procedemos aplicar el teorema de los senos ya explicado.

Aplicaciones: Desde el suelo se observa la altura de una torre de alta tensión que se encuentra en la cima de una colina que se encuentra a 250 m de distancia, obteniéndose un ángulo de elevación de 48° con respecto a la torre y de 43,7° con respecto a la colina. ¿Cuál es la altura de la torre?

250 m

Primero determinamos la distancia desde el punto de observación a la cima de la colina (hipotenusa del triángulo ). Para ello aplicamos una función trigonométrica que nos relacione el ángulo ( 36° ) con la distancia (cateto = 250 m ) y la hipotenusa. Esta función es el coseno, por lo cuál:

250 m H 250 m H cos( 43,7) H  345,8 m

cos( 43,7) 

De la misma forma podemos encontrar la distancia del punto de observación a la cima de la torre.

250 m H' 250 m H'  cos( 48)

cos( 48) 

H '  373,6 m

Como la diferencia entre los ángulos de elevación es de 4,3° podemos aplicar el teorema del coseno para determinar la altura de la torre:

h 2  373,6 2  345,8 2  2  373,6  345,8  cos( 4,3) h 2  1500 m 2 h  38,7 m Ahora te toca a ti: Ejercicios: i)

Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm. y el ángulo opuesto a ese lado, mide 42º. Calcula:



,

 a) el lado AC b) el lado BC c) el ángulo Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y

ii)

tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. iii)

Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?

TRIGONOMETRIA ANALITICA Funciones trigonométricas definidas mediante una circunferencia unitaria Sea U una circunferencia unitaria, esto es, perteneciente a un circulo trigonométrico. La ecuación de esta circunferencia es x2 + y2 = 1



Dado cualquier número real t, denotamos por un ángulo en posición normal cuya medida en radianes es t. Obsérvese la figura de abajo P(t) denota el punto de intersección del lado final de



con U. 

El número real t, que es la longitud del arco



Se puede asociar a cada t



AP

de U, es la medida en radianes del ángulo

IR, un punto único P(t) de la circunferencia unitaria U.

Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenadas ( X, Y ) de P(t)

Si t es un número real y P(x,y) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a t, entonces:

sen (t )  y y tan( t )  , x  0 x 1 sec(t )  , x  0 x

cos(t ) x , y0 y 1 csc(t )  , y  0 y cot( t ) 

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Deducción de los valores de las funciones trigonométricas para arcos notables Para t = 0 En este caso las coordenadas de P son x = 1 e y = 0; y las funciones se deducen a partir de su definición. La cotangente y la cosecante no están definidas para t = 0 (la división por 0 no existe).

Para t

 6

=   PP '   3  sup uesto ' OA bi sec a a POP  

Como el lo cuál

POP ' POP

tiene

luego

OP  OP '  r

'

t=

 6

OPP '  OP ' P  POP '  60

y

con

PP  r  1 '

equilátero, luego

 AP  y 

1 2  1 OA  x  1     2

2

2

Por lo cuál

x

3 2

( Pitágoras )

t Para

Como

 4

 4

es la mitad de

 2

por lo tanto

OP

biseca el primer cuadrante, se tiene

OA  AP

OAP

entonces un triángulo isósceles , con (ecuación de la circunferencia unitaria , entonces :

esto es x = y . Como x2 + y2 = 1

2x 2  1 2 2

x y

t Para En el

 3

POB

OP  OB

se tiene que

, por ser radios por lo tanto

OPB  OBP



Como el cuál

POB

POB  60

PB   (

es equilátero donde

Por lo tanto

1 OA  x  2

AP

3

OPB  OBP  POB

) por lo tanto

es altura de

OPB

además

 1   2

AP  y  12   , además

y

3 2

2

AP

biseca a

, por lo

OB  r  1

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Vamos a observar, mediante las gráficas de las funciones trigonométricas, lo que sucede con las coordenadas de P(x, y) cuando P se mueve a lo largo de la circunferencia unitaria U. El dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de los números reales. El codominio del seno y el coseno es [-1, 1]. Las funciones tangente y secante tienen denominador x, por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales x = 0; esto es, para

Las funciones cotangente y cosecante tienen denominador y; por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales y = 0; esto es, para El codominio de las funciones tangente y cotangente consta de todos los números reales; mientras que, el codominio de las funciones secante y cosecante es

y = sen (x)

y = cos (x)

y = tan(x)

y = sec (x)

y = cot (x)

y = csc (x)