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• Juan David Sánchez

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1Un Modelo de Color

Eduard Sánchez Becerra 2011023583 Flavio Cesar Fonseca Tovar Halbert Lozano Velásquez Abril de 2020

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano. Algebra Lineal

ii Tabla de Contenido Objetivo General..............................................................................................................................1 Objetivos Específicos......................................................................................................................1 Introducción Actividad....................................................................................................................2 Desarrollo de Actividades................................................................................................................3 Actividad 1. Combinación de colores..............................................................................................6 Actividad 2. Transformación de colores........................................................................................12 Bibliografía....................................................................................................................................18

Objetivo General Aplicar los conocimientos del álgebra lineal para interpretar situaciones y dar solución a cuestionamientos planteados en ellas, aplicando estrategias, recursos y un lenguaje adecuado.

Objetivos Específicos Interpretar y comunicar relaciones entre los objetos matemáticos del álgebra lineal y un modelo de color, utilizando un lenguaje adecuado. Seleccionar y utilizar los procesos matemáticos adecuados para resolver e interpretar las variaciones en un modelo de color. Justificar los distintos modos de razonamiento, procesos y conclusiones realizados para resolver una situación problema.

Introducción Actividad Una imagen digital está compuesta por un número finito de elementos a los que les corresponde una ubicación y valor particular. A estos elementos se les conoce como píxeles, denominado como la unidad mínima de medida de una imagen digital. La resolución de una imagen es la cantidad de píxeles que contiene y de ello depende su calidad; esta característica se representa a través de dos valores numéricos donde el primero indica el número de píxeles que tiene la imagen de ancho (columnas) y, el segundo la cantidad que tiene de alto (filas). ¿Qué objeto matemático del álgebra lineal se puede asociar? En el procesamiento de imágenes, en particular para la característica de color, existen diferentes modelos, cuya elección depende de las intenciones o necesidades de procesamiento. Las transformaciones de color se aplican sobre cada píxel de la imagen. En el caso particular de esta actividad, se estudiarán los elementos básicos del modelo RGB. En el modelo de color RGB los colores se consiguen mezclando diferentes proporciones de rojo, verde y azul y se identifica cada color resultante con un vector de R" donde cada componente representa la intensidad de los colores rojo (R), verde (G) y azul (B) cuyos valores varían en una escala de 0 a 255. Las actividades que se plantean, les permitirá reconocer y explorar una de las aplicaciones de vectores y matrices.

Desarrollo de Actividades Para el desarrollo del trabajo se nos comparte una plataforma interactiva (https://www.geogebra.org/m/wwmwu64z) en donde encontramos tres secciones que son configurar colores, componer colores y transformar colores. Explorando la configuración de colores. Ingresar a la sección Configurar colores. Allí se encuentran tres barras horizontales nombradas con las letras a, b y c. Deslizar horizontalmente el botón correspondiente a cada letra y observar lo que

a sucede con el color de la figura y el vector b . c

()

Deslice los botones hasta asignar valores a las variables a, b y c de manera que

255 0 0 255 obtenga los vectores 0 , 255 , 0 , 255 . Describir el resultado del color que se 0 0 255 255

( ) ( ) ( )( )

obtiene para cada uno.

R/ Color asignado vector

255 0 Rojo. 0

( )

0 Color asignado vector 255 Verde. 0

( )

0 Color asignado vector 0 Azul. 255

( )

255 Color asignado vector 255 Blanco. 255

( )

¿Cuál es el vector que representa el color amarillo?

255 R/ Con el vector 255 obtenemos el color amarillo. 0

( )

Actividad 1. Combinación de colores. Ingresar a la sección Componer colores 1. Para cada uno de los vectores dados, asignar valores reales entre 0 y 1, con cuatro cifras decimales. ¿Qué cambios en el color produce la multiplicación de UN vector por un escalar?, por ejemplo:

De la anterior imagen se puede observar que al multiplicar un escalar por un vector sufren diferentes cambios en los colores, para los escalares asignados ente 0 y 1, para la primera multiplicación produce un color rojo, para el segundo caso un color verde y para el último caso un color azul, dando como resultado una tonalidad de color rosado.

x 90.9585 = y 144.789 z 179.316

()(

)

2. Describir el proceso matemático que se usa para obtener cualquier color a 255 0 0 , , partir de los vectores 0 255 0 . Esto es, identificar los objetos 0 0 255 matemáticos del álgebra lineal y las operaciones que se realizan entre ellos.

( )( ) ( )

La idea es multiplicar cada uno de los valores reales C 1 C 2 C 3, por cada uno de los vectores ya mencionados respectivamente, esto nos dará un valor para X, Y y Z, donde la combinación de estos resultados nos arroja un único color, la imagen uno muestra lo mencionado anteriormente, mientras la imagen dos nos muestra un poco mejor el resultado del color, ingresando cada uno de los valores obtenidos por la multiplicación de cada vector.

Resolveremos inicialmente las operaciones independientemente

Se realiza la operación multiplicación de un escalar 255 0.2002 ×255 51.051 0.2002 0 = 0.2002 ×0 = 0 0 0.2002 ×0 0

( )( ( )(

)( ) )( )

0 0.2004 ×0 0 0.2004 255 = 0.2004 ×255 = 51.102 0 0.2004 ×0 0

0.2006

0 0.2006× 0 0 = = 0 0.2006× 0 0 255 0.2006× 255 51.153

( )(

)( )

El resultado sería 51.051 0 0 51.051 ¿ + + = 0 51.102 0 51.102 0 0 51.153 51.153

( )( )( ) ( ) a 3. Seleccione un vector b cuyos componentes sean valores numéricos entre 0 y c

()

255 e identifique el color correspondiente en la sección Configurar Colores. ¿Es posible obtener el color seleccionado como resultado de mezclar

tonalidades de los colores correspondientes a los vectores , esto es existen valores reales C 1 C 2 C 3, tales que 255 0 0 a C 1 0 +C 2 255 +C 3 0 = b 0 0 255 c

( ) ( ) ( )()

255 0 0 0 , 255 , 0 ? 0 0 255

( )( ) ( )

Sea el vector correspondiente cuyas componentes sean valores numéricos entre 0 116 y 255, esto es; 51 200

( )

Por lo tanto, el color correspondiente asociado al vector descrito es el morado. Ahora veamos si es posible obtener el color seleccionado como resultado de mezclar tonalidades 255 0 0 , , de los colores correspondientes a los vectores 0 255 0 0 0 255

( )( ) ( )

Para c 1 , c2 , c 3 Є R, tales que 255 0 0 a c 1 0 +c 2 255 +c 3 0 = b 0 0 255 c

( ) ( ) ( ) ()

Así: 255 0 0 116 c 1 0 +c 2 255 +c 3 0 = 51 0 0 255 200

( ) ( ) ( )( )

255 c 1=116 Al realizar la operación indicada se llega, al sistema de ecuaciones 255 c 2=51 255 c3 =200

{

De lo anterior se tiene, c 1=

116 =0.4549 255

c 2=

51 =0.2 255

c 3=

200 =0.7843 255

Luego al ingresar los valores de estos escalares a la opción de componer colores se revisa lo siguiente:

De la anterior figura se puede observar que si es posible obtener el color seleccionado.

4. ¿Existen valores reales C 1 C 2 C 3 permitan generar cualquier color a partir de 255 0 60 los vectores 0 , 255 , 0 0 195 255

( )( ) ( )

Ingresar a la sección transformar colores. R/ Para cual quiera valores reales C 1 C 2 C 3a partir de los vectores asociados ,

255 0 , 0 255 0 195

( )( )

60 0 se pueden generar cualquier color. 255

( )

Actividad 2. Transformación de colores. 5. ¿Qué características debe cumplir la matriz para que no altere el color original? a. Sean los valores asignados de las componentes del vector x = 0, y = 2, z = 8, para que la matriz no altere el color original; ahora veamos las diferentes características.

Si la matriz es nula o matriz cero, con los vectores asignados, no altera el color original:

b. Si la matriz es la identidad, con los vectores asignados, no altera el color original:

c. Si es la matriz diagonal, con los vectores asignados, no altera el color original:

Observación: Nótese que cuando los valores asignados de las componentes del vector son pares el color orinal no se altera, independientemente del tipo de matriz Cuando los valores asignados de las componentes del vector son impares, se altera el color original independientemente del tipo de matriz.

6. ¿Qué características debe cumplir la matriz para modificar sólo la componente del vector asociado al rojo?, ¿sólo la componente del vector asociado al verde? y ¿sólo la componente del vector asociado al azul? Justificar la respuesta. 1 Rojo: Sean los valores asignados de las componentes del vector 0 con matriz de la 0 siguiente forma:

()

Verde sean los valores asignados de las componentes del vector siguiente forma:

10 3 con matriz de la 2

()

0 Azul sean los valores asignados de las componentes del vector 0 con matriz de la 1 siguiente forma:

()

1 1 1 7. Dada la matriz 0 1 1 ¿cuál es el vector asociado al color original de tal 0 0 1

(

)

manera que el color final sea el blanco? Apoyar el resultado con el proceso matemático correspondiente. 0 Dado el vector asociado 0 3

()

0 De lo anterior se tiene el vector asociado 0 al color original de tal manera que el color 3 final sea el blanco.

()

Bibliografía ÁLGEBRA LINEAL MODALIDAD VIRTUAL. (2019). Obtenido de Politecnico Grancolombiano Instituto Universitario.