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• Emilio Escobar Palacios

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Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniería

Trabajo Grupal Externo 1

0

Alumnos

:

Curso

: Ecuaciones Diferenciales

Profesor

:

Valdivia, 6 de mayo de 2016

Introducción:() Desarrollo: En este trabajo elaboraremos un paracaídas, este lo dejamos caer desde una cierta altura, nuestro objetivo es calcular el tiempo teórico que se demorara en llegar al suelo. Usando lo aprendido en la asignatura de Ecuaciones diferenciales, planteando un problema de valor inicial.

Información inicial: Forma del paracaídas: Elaboramos un paracaídas con una bolsa, cortada en forma de cuadrado, uniéndolo mediante cuatro cuerdas a una masa (en este caso es una huincha aisladora) (foto)

Datos del paracaídas: -Lado del cuadrado: 0,7[mt] -Masa: 0,06742[kg] 1

Experimento: Lanzamos el Paracaídas desde la escalera de emergencias del edificio 7000 de la facultad de ciencias de la ingeniería, UACH, grabándolo con un dispositivo móvil, para después ser analizado mediante el software físico Tracker, que nos da datos fundamentales de la altura y velocidad en función del tiempo.

Datos Experimento: -Altura del lanzamiento: 7,42[mt]

Obtención de los coeficientes de roce: El coeficiente de roce en el aire es la fuerza que se opone a la dirección del movimiento

La constante de proporcionalidad

k=

ρAδ 2 2



ρ

es la densidad del aire. Aunque la densidad del aire varía con la altura, en este

cálculo aproximado se utilizará su valor al nivel del mar de 1.29 kg/m3. 

A es el área de la sección transversal frontal expuesta al aire, que en nuestro caso es 0,5[m]∗0,5[m]=0.25 [m 2 ]



δ es un coeficiente que depende de la forma del objeto, nuestro paracaídas se asemeja a un cuadrado, y en la bibliografía, el coeficiente de esta figura es 1,05.

Esta caída libre se va a dividir en dos casos, el cálculo del coeficiente de roce en ambos es:

Caso 1, antes de la apertura del paracaídas: El área de el paracaídas cerrado es tan pequeña, que la constante de resistencia del aire tiende a 0, por lo tanto, para el cálculo en este caso, tomaremos k=0.

Caso 2, después de la apertura del paracaídas: k=

ρAδ 2

, δ=1,05 ,

2

A=0.49[m ] ,

ρ=1.29 [

kg ] m3

Reemplazando los términos en la ecuación: k=

1.05∗0.49∗1.29 2

Por lo tanto, en el caso 2, la constante de rozamiento es aprox.: 3

k =0.34

Análisis mediante el software Tracker:

I magen 1

tiempo(s)

velocidad(mt/ s)

0

0 4

0.1

1.048

0.3

1.28

1

1.74

1.5

1.67

2

2.16

2.5

2.13

3

2.03

3.5

2

3.9

1.96

Tabla 1

tiempo(s)

posicion(mt)

0

0

0.1

0.1

0.3

0.33

5

1

1.43

1.5

2.3

2

3.28

2.5

4.4

3

5.44

3.5

6.43

3.9

7.24

Tabla 2 Planteamiento de los PVI: Caso 1, antes de la apertura del paracaídas:

Figura 1 Como se ve en la figura 1, debido a que definimos que la constante de rozamiento tiende a 0, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo, sería la fuerza de gravedad(g), por la segunda ley de newton: 6

∑ f =m .∗a Donde m=masa del paracaídas, a=(dv/dt) aceleración de la caída. Reemplazando nuestros datos: m∗dv =m∗g dt

El Paracaídas está cerrado entre la velocidad 0[m/s] y 1,28[m/s], y la altura 0[mt] y 0.33[mt], por lo tanto, nuestro P.V.I del caso uno solo funciona en estos intervalos. P.V.I:

dv =g dt Sujeto a: v (0) =0 v (0,3) =1,28

Resolución P.V.I caso 1:

7

dv =g dt dv=gdt

∫ dv =∫ g dt v ( t )=g∗t+c Calculamos la constante c: v(0)=0, reemplazamos: 0=0+c Por lo tanto, la ecuación v(t) en el tiempo cuando el paracaídas está cerrado es: v ( t )=¿ Integramos v(t) respecto al tiempo para obtener x(t): x ( t )=g

t2 2

Analizamos que pasa con el tiempo cuando el paracaídas ha descendido 0,33[mt]. t2 0,33=9.8 2

t=0.26[ s] Por lo tanto, cuando ha descendido 0,33[mt], han pasado 0,26[s].

Caso 2, después de la apertura del paracaídas:

8

Figura 2. En este caso (analizando la figura 2) la constante de resistencia del aire (coeficiente de roce), como se explicó anteriormente actuara y valdrá k=0,34; por lo tanto, las fuerzas que actuaran serán la masa, fuerza de gravedad y el coeficiente de aire que es proporcional a la velocidad, por la segunda ley de newton:

∑ f =m∗a Aplicando las fuerzas: ma=mg−kv

a=g−

k v m

Esto es igual a: dv k + v =9.8 dt m

Como el paracaídas se abre cuando ha descendido 0,33 [mt] y lleva una velocidad de 1,28[mt/s], se planteará el P.V.I con los datos obtenidos del software Tracker:

9

P.V.I: dv k + v =g dt m Sujeto a: v (0) =1,28 v (3,9) =1,96

Resolución P.V.I caso 2: Utilizando el método de ecuaciones diferenciales lineales, que está dada por la fórmula de Leibniz, la cual es: q ( t ) e∫

p (t)dt

dt +C

∫¿ v (t)=e−∫ p t dt ¿ ( )

Reemplazando en esta ecuación: ∫ mk dt

ge

dt +C ∫¿ −∫

v ( t )=e

k

k dt m

¿

t

e m dt +C g∫ ¿ −k

t

v ( t )=e m ¿

10

−k

t

v ( t )=e m [

k

gm m t e +C ] k −k

v ( t )=

t gm +C e m k

Para calcular la constante C, tomaremos cuando la velocidad v=1,28[mt/s] y el tiempo t=0[s], entonces: 1,28=

(9,8)( 0,0674) +C 0,34 C=−0,663

Por lo tanto, la ecuación de velocidad con respecto al tiempo es: −0,34

v ( t )=

t (9,8)(0,0674) −0,663 e 0,0674 0,34

Para obtener la posición con respecto al tiempo se debe integrar la ecuación anterior, obteniendo: x ( t )=1,943 t+ 0,131e−5,04 t Como la altura del cual fue lanzado el paracaídas fue de 7,42[mt] y este P.V.I comienza desde que este está a 0,33[mt], por lo tanto, analizaremos cuando el paracaídas ha descendido 7,09[mt]: 7,09=1,943 t+ 0,131 e−5,04 t t=3,674 s

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Por ende, el tiempo que se demora nuestro paracaídas al llegar al suelo será la suma del tiempo obtenido en el primer y segundo P.V.I, dando como resultado 3,934[s].

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Conclusión Del trabajo realizado donde se utilizaron ciertos softwares para ayudarnos en los cálculos de algunos datos, se puede desprender que los resultados experimentales se asemejan a los teóricos. Cabe destacar el apoyo grupal para realizar la experiencia ya que involucra una serie de pasos, los cuales se agilizan al delegar ciertas tareas a cada integrante. Luego de realizar los cálculos se concluye que es de vital importancia tener la claridad sobre las fórmulas matemáticas que se aplicaron, ya que sin esto se puede volver engorroso el desarrollo de este.

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