• Author / Uploaded
• alexandra henao

Citation preview

ECUACIONES DIFERENCIALES

Fase 5. Discusión

Presentado por:

Grupo:

Tutor:

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia – UNAD 2018

INTRODUCCIÓN

En este trabajo de ecuaciones diferenciales se van a considerar las denominadas Ecuaciones diferenciales que tiene que ver con el Estudio de Series y Funciones Especiales, para lo cual fue necesario realizar lectura sobre conceptos como: Generalidades del estudio de series, solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias y Funciones especiales y series matemática. Inicialmente, desarrollamos 10 ejercicios distribuidos en los integrantes del grupo La gran mayoría de los modelos matemáticos que usa la ingeniería en todas sus especialidades y cada vez más también otras profesiones, están formulados como ecuaciones diferenciales, totales o en derivadas parciales. Tales ecuaciones, salvo simplificaciones efectuadas para adecuarlas a formas conocidas, carecen de solución exacta, en el sentido de obtener una expresión explícita que represente el comportamiento del sistema físico en estudio mediante combinaciones de funciones conocidas. De ninguna manera. Existe un método general para resolver analíticamente las ecuaciones diferenciales de segundo orden mediante desarrollos en series de potencias. Por supuesto, la solución también será una serie de potencias y los resultados serán tanto más cercanos al “verdadero valor” cuantos más términos sean considerados, una vez determinada la convergencia la serie resultado.

OBJETIVOS

General 

Identificar, analizar y solucionar ecuaciones diferenciales a partir de series de potencias y funciones especiales para desarrollar el trabajo individual y colaborativo. Aplicando métodos generales, teoremas y aplicaciones para encontrar procedimientos para encontrar métodos y procedimientos más adecuados de solución.

Específicos



Participar activamente en la realización de las actividades propuestas durante la unidad.



Activar el conocimiento y análisis de los elementos propuestos.



Revisar las características de las ecuaciones diferenciales, métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden.



Desarrollar los ejercicios tipo preguntas Saber Pro, que le permitan diferenciar y aplicar los métodos de solución como parte del proceso de autoaprendizaje.

SOLUCION DE LOS EJERCICIOS

1 2 3. El radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie es: ∞ (−2)𝑛 𝑥 𝑛 ∑ 4 √𝑛 𝑛=1 a. Conjunto (-1, 1) 𝑅 = 1 𝟏

b. Conjunto (-1/2, 1/2] 𝑹 = 𝟐 c. Conjunto {0} 𝑅 = 0 1 d. Conjunto [-1/2, 1/2] 𝑅 = 2 Solución

𝑎𝑛 + 1 =𝐿 𝑛→∞ 𝑎𝑛 lim

L 1, diverge ∞

∑ 𝑛=1

L=1, no concluye

(−2)𝑛 𝑥 𝑛 4

√𝑛

Criterio de la razón o del cociente: 𝑎𝑛+1 lim | |=𝐿 𝑛→∞ 𝑎𝑛

Sustitución:

(−2)𝑛+1 𝑥 𝑛+1 4 4 4 2𝑥 √𝑛 √𝑛 𝑛 + 1 √ lim | | = |2𝑥| lim |− 4 | | = lim |− 4 𝑛 𝑛 (−2) 𝑥 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ √𝑛 + 1 √𝑛 + 1 4 √𝑛 4 𝑛 √ 𝑛 = |2𝑥| lim ||− || = |2𝑥|(1) = |2𝑥| 𝑛→∞ 4 𝑛 +1 √ 𝑛

Para que la serie converja

|2𝑥| < 1 −1/2 < 𝑥 < 1/2

El radio de convergencia es R=1/2. Opción correcta B.

4. La solución general en series de potencias de la ecuación diferencial 𝑦´´(𝑥) + 8𝑥𝑦 ′ (𝑥) − 4𝑦(𝑥) = 0 es: 𝑥2

𝑥4

𝑥2

𝑥4

𝑥 6

𝑥3

𝑥 5

𝑥 7

a. 𝑦(𝑥) = 𝑐0 (1 − 2 + 24 − 720 … ) + 𝑐1 (𝑥 − 6 + 120 − 5040 … ) 𝑥6

𝑥3

𝑥5

𝑥7

b. 𝑦(𝑥) = 𝑐0 (1 − 2! + 4! − 6! … ) + 𝑐1 (𝑥 − 3! + 5! − 7! … ) 2

2

8

c. 𝑦(𝑥) = 𝑐0 (1 + 2𝑥 2 − 2𝑥 4 + 28𝑥 6 … ) + 𝑐1 (𝑥 − 3 𝑥 3 + 3 𝑥 5 − 7 𝑥 7 … ) 𝟐𝟖

𝟐

𝟐

𝟒

d. 𝒚(𝒙) = 𝒄𝟎 (𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝟏𝟓 𝒙𝟔 … ) + 𝒄𝟏 (𝒙 − 𝟑 𝒙𝟑 + 𝟑 𝒙𝟓 − 𝟕 𝒙𝟕 … )

Solución

Se propone una solución y sus primeras dos derivadas de la forma

∞

∞ 𝑛

𝑦(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛 𝑥 , 𝑛=0

𝑦

′ (𝑥)

= ∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛=0

∞ 𝑛−1

,

𝑦

′′ (𝑥)

= ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑥 𝑛−2 , 𝑛=0

Se reemplaza esta solución y sus derivadas en la ecuación diferencial

∞

∞

[∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑥

𝑛−2

∞

] + 8𝑥 [∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥

𝑛=0

𝑛=0

𝑛−1

] − 4 [∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ] = 0 𝑛=0

Se soluciona el producto de la segunda sumatoria

∞

∞

∞

[∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑥 𝑛−2 ] + 8 [∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ] − 4 [∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ] = 0 𝑛=0

𝑛=0

𝑛=0

La primera sumatoria se coloca con el mismo grado de las otras dos

∞

∞

∞

[ ∑ (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑐𝑛+2 𝑥 𝑛 ] + 8 [∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ] − 4 [∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ] = 0 𝑛=−2

𝑛=0

𝑛=0

∞

∞

∞

[∑(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑐𝑛+2 𝑥 𝑛 ] + 8 [∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ] − 4 [∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 ] = 0 𝑛=0

𝑛=0

𝑛=0

Se igualan los coeficientes de las sumatorias a cero

(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑐𝑛+2 + 8𝑛𝑐𝑛 − 4𝑐𝑛 = 0

De aquí se obtiene la ecuación de recurrencia

(4 − 8𝑛)𝑐𝑛 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

𝑐𝑛+2 =

De esta ecuación se obtienen los coeficientes

𝑛=0

𝑛=1

→

𝑐2 = 2𝑐0

2 𝑐3 = − 𝑐1 3

→

𝑛=2

→

𝑐4 = −𝑐2 = −2𝑐0

𝑛=3

→

2 𝑐5 = −𝑐3 = 𝑐1 3

𝑛=4

→

𝑐6 = −

14 28 𝑐4 = 𝑐 15 15 0

Con esto la solución de la ecuación diferencial es

𝑦(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + ⋯

2 2 28 𝑦(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 2𝑐0 𝑥 2 − 𝑐1 𝑥 3 − 2𝑐0 𝑥 4 + 𝑐1 𝑥 5 + 𝑐0 𝑥 6 − ⋯ 3 3 15

𝑦(𝑥) = 𝑐0 (1 + 2𝑥 2 − 2𝑥 4 +

28 6 2 2 𝑥 − ⋯ ) + 𝑐1 (𝑥 − 𝑥 3 + 𝑥 5 − ⋯ ) 15 3 3

Como se observa la opción correcta es la D.

5 6 7 8 9 10

SOLUCION DE LAS ACTIVIDADES GRUPALES:

Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: La carga 𝑞 en el condensador de un circuito sencillo RLC queda descrita mediante la ecuación 1

𝐿𝑞 ′′ (𝑡) + 𝑅𝑞 ′ (𝑡) + 𝐶 𝑞(𝑡) = 𝐸(𝑡), donde L es la inductancia, R la resistencia, C la capacitancia del circuito y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se aumenta con la temperatura, supongamos que la resistencia se calienta cambiando su valor de modo que 𝑅 = 𝑡

(1 + 8) Ω. Si 𝐶 = 4 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠, 𝐿 = 0.25 𝐻𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜𝑠 y la fuente de voltaje está apagada, además teniendo en cuenta las condiciones iniciales donde la carga 𝑞(0) = 2 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏𝑠 y la corriente 𝑑𝑞 𝑑𝑡

(0) = 0 𝐴, obtenga los primeros 5 términos de la solución en serie de potencias en torno a t=0

para la carga del condensador.

Solución Condiciones iniciales 𝑞(0) = 2[𝐶],

𝑑𝑞 (0) = 0[𝐴] 𝑑𝑡

Datos del problema 𝑡 𝑅 = (1 + ) [Ω], 𝐶 = 4[𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠] 8

1

𝐿𝑞 ′′ (𝑡) + 𝑅𝑞 ′ (𝑡) + 𝐶 𝑞(𝑡) = 𝐸(𝑡) ∞

→

𝐿 = 0.25[𝐻𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜𝑠]

→

0.25𝑞 ′′ (𝑡) + (1 + 8) 𝑞 ′ (𝑡) + 4 𝑞(𝑡)

𝑡

∞

𝑞(𝑡) = ∑ 𝑐𝑛 𝑡

𝑛

→

𝑞

′ (𝑡)

𝐸 = 0[𝑉]

1

∞

= ∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑡

𝑛=0

→

𝑛−1

→ 𝑞

′′ (𝑡)

= ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑡 𝑛−2 ,

𝑛=0

𝑛=0

Se reemplaza en la ecuación diferencial ∞

∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

𝑛=0

𝑡 1 0.25 (∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑡 𝑛−2 ) + (1 + ) (∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑡 𝑛−1 ) + (∑ 𝑐𝑛 𝑡 𝑛 ) = 0 8 4

∞

∞

0.25 ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑐𝑛 𝑡

𝑛−2

𝑛=2

+ ∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑡 𝑛=1

∞

𝑛−1

∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

1 1 + ∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑡 𝑛 + ∑ 𝑐𝑛 𝑡 𝑛 = 0 8 4

∞

∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

1 1 0.25 ∑(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑐𝑛+2 𝑡 + ∑(𝑛 + 1)𝑐𝑛+1 𝑡 + ∑ 𝑛𝑐𝑛 𝑡 𝑛−1 + ∑ 𝑐𝑛 𝑡 𝑛 = 0 8 4 𝑛

𝑛=0

𝑛

𝑛=0

1 1 0.25(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑐𝑛+2 + (𝑛 + 1)𝑐𝑛+1 + 𝑛𝑐𝑛 + 𝑐𝑛 = 0 8 4 𝑐𝑛+2

1 1 (𝑛 + 1)𝑐𝑛+1 + ( 𝑛 + ) 𝑐𝑛 8 4 =− 0.25(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

→

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂

De la ecuación de recurrencia se obtienen los siguiente valores para los coeficientes:

𝑛=0

→

𝑐2 = −

1 𝑐1 + (4) 𝑐0

𝟏 = −𝟐𝒄𝟏 − 𝒄𝟎 0.25(2)(1) 𝟐

𝑛=1

𝑛=2

→

→

𝑛=3

→

𝑐3 = −

𝑐4 = −

3 2𝑐2 + (8) 𝑐1 0.25(3)(2)

=

𝟏𝟑 𝟐 𝒄𝟏 + 𝒄𝟎 𝟔 𝟑

1 3𝑐3 + (2) 𝑐2

𝑐5 = −

𝟕 𝟓 = − 𝒄𝟏 − 𝒄 0.25(4)(3) 𝟔 𝟏𝟐 𝟎

5 4𝑐4 + (8) 𝑐3 0.25(5)(4)

=

𝟓𝟑 𝟏 𝒄𝟏 + 𝒄𝟎 𝟖𝟎 𝟒

Con las condiciones iniciales se encuentra el valor de 𝑐0 y 𝑐1 𝑞(0) = 2 = 𝑐0 + 𝑐1 (0) + 𝑐2 (0)2 + 𝑐3 (0)3 + 𝑐4 (0)4 + 𝑐5 (0)5 + ⋯ 𝑞 ′ (0) = 0 = 𝑐1 + 2𝑐2 (0) + 3𝑐3 (0)2 + 4𝑐4 (0)3 + 5𝑐5 (0)4 + ⋯

→ →

𝒄𝟎 = 𝟐

𝒄𝟏 = 𝟎

𝟒 𝟓 𝟏 𝒒(𝒕) = 𝟐 − 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 − 𝒕𝟒 + 𝒕𝟓 − ⋯ 𝟑 𝟔 𝟐

Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

Una ecuación no lineal clásica que aparece en el estudio del comportamiento térmico de una nube 2

esférica es la ecuación de Emden 𝑦 ′′ + 𝑥 𝑦 ′ + 𝑦 𝑛 = 0, con condiciones iniciales 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0. Aunque 𝑥 = 0 no es un punto ordinario para esta ecuación (que es no lineal para 𝑥 ≠ 1), es posible mostrar que existe una solución analítica en 𝑥 = 0. Si 𝑛 = 1, determine los primeros términos de una solución en series de potencia: Se define si el punto 𝑥 = 0 2

𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0 𝑥

𝑓(𝑥) =

es singular regular

identificamos las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥)

2 𝑥

𝑔(𝑥) = 1

Determinamos si las funciones 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )𝑓(𝑥) y 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑔(𝑥) son analíticas en ese punto

𝑝(𝑥) = (𝑥)2

2 = 2𝑥 𝑥

Corrección: Como se observa arriba en la función 𝑝(𝑥) el término que acompaña a 𝑓(𝑥) no va al cuadrado 𝑝(𝑥) = (𝑥)

2 =2 𝑥

𝑞(𝑥) = (𝑥)2 1 = 𝑥 2

Por tanto la ecuación indicial y sus raíces son: 𝑝0 (𝑥) = lim 𝑝(𝑥) = 2, 𝑞0 (𝑥) = lim 𝑞(𝑥) = 0 𝑥→0

𝑥→0

𝑟 = 0, 𝑟 = −1 son las raíces indiciales.

𝑛 Se aplica el método de Frobenius, solución a buscar 𝑦 = 𝑥 𝑟 ∑∞ 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑥

Sus derivadas:

∞

𝑦′ = ∑(𝑟 + 𝑛)𝑐𝑛 𝑥 𝑟+𝑛−1 𝑛=0

∞

𝑦′′ = ∑(𝑟 + 𝑛 − 1)(𝑟 + 𝑛)𝑐𝑛 𝑥 𝑟+𝑛−2 𝑛=0

2

Sustituimos en la ecuación sin normalizar 𝑦 ′′ + 𝑥 𝑦 ′ + 𝑦 = 0

𝑟+𝑛−1 𝑟+𝑛−1 𝑟+𝑛+1 ∑∞ + 2 ∑∞ +∑∞ =0 𝑛=0(𝑟 + 𝑛 − 1)(𝑟 + 𝑛)𝑐𝑛 𝑥 𝑛=0(𝑟 + 𝑛)𝑐𝑛 𝑥 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑥

Del coeficiente de 𝑥 𝑟+𝑛 se obtiene: (𝑟 + 𝑛)(𝑟 + 𝑛 + 1)𝑐𝑛+1 + 2(𝑟 + 𝑛 + 1)𝑐𝑛+1 + 𝑐𝑛−1 = 0 [(𝑟 + 𝑛)(𝑟 + 𝑛 + 1) + 2(𝑟 + 𝑛 + 1)]𝑐𝑛+1 = 𝑐𝑛−1

Corrección: Cuando se pasó el coeficiente 𝑐𝑛−1 al otro lado de la ecuación se olvido cambiar de signo [(𝑟 + 𝑛)(𝑟 + 𝑛 + 1) + 2(𝑟 + 𝑛 + 1)]𝑐𝑛+1 = −𝑐𝑛−1

1

𝑐𝑛+1 = − (𝑟+𝑛+1)(𝑟+𝑛) 𝑐𝑛−1

para

𝑛≥1

Corrección: Se factorizó mal en el denominador 1

𝑐𝑛+1 = − (𝑟+𝑛+1)(𝑟+𝑛+2) 𝑐𝑛−1

para

𝑛≥1

Para 𝑟 = 0 la relación de recurrencia queda 1

𝑐𝑛+1 = − (𝑛+1)(𝑛+2) 𝑐𝑛−1

se obtiene los distintos coeficientes:

Para 1

1

𝑛=1

𝑐2 = − (2)(3) 𝑐0 = − 3! 𝑐0

𝑛=2

𝑐3 = − (

1 𝑐 3)(4) 1

𝑛 La solución 𝑦(𝑥) = 𝑥 𝑟 ∑∞ 𝑛=0 𝑐𝑛 𝑥 queda para los primeros términos: ∞ 0

𝑦1 (𝑥) = 𝑥 ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑛=0

1 1 1 𝑐0 𝑥 2 − 𝑐1 𝑥 3 + 𝑐0 𝑥 4 + ⋯ (3)(4) 3! 5!

Y la solución particular con 𝑦(0) = 1 = 𝑐0 , 𝑦 ′ (0) = 0 = 𝑐1:

1 3 1 5 𝑥 + 𝑥 +⋯ 3! 5! Corrección: El error está en que esos no son los exponentes que le corresponden a la x 𝑦1 (𝑥) = 1 −

𝑦1 (𝑥) = 1 −

1 2 1 4 𝑥 + 𝑥 +⋯ 3! 5!

CONCLUSIONES



En este trabajo presentamos una forma alternativa de resolver una ecuación diferencial por series de potencias.



El ABP es una estrategia que favorece el pensamiento crítico y las habilidades de solución de problemas junto con el aprendizaje de contenidos a través del uso de situaciones o problemas del mundo real, con una buena investigación se realiza modelos óptimos que nos ayudan a resolver los problemas, las ecuaciones diferenciales nos ayudan a determinar diferentes formas de tratar la realidad.

BIBLIOGRAFÍA Alvarado, E. (2014). Solución de ecuaciones diferenciales por el método de Series de potencia. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7213 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 113-154). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 193-217). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.93-135). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343 OVA – Unidad III - Funciones especiales y series matemáticas- Convergencia y divergencia de series. En estos recursos digitales se brinda información a los estudiantes del contenido temático de la Unidad 3- Funciones especiales y series matemáticas- Convergencia y divergencia de series con el objetivo de facilitar el reconocimiento de algunos elementos que se deben tener en cuenta para el cumplimiento de los objetivos cognitivos de la unidad. CK-12, (2015). Convergence and Divergence of Sequences. [OVA]. Disponible en: http://www.ck12.org/calculus/Convergence-and-Divergence-of-Sequences/ CK-12, (2015). Absolute and Conditional Convergence. [OVA]. Disponible en: http://www.ck12.org/calculus/Absolute-and-Conditional-Convergence/ CK-12, (2015). Power Series and Convergence. [OVA]. Disponible en: http://www.ck12.org/calculus/Power-Series-and-Convergence/