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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Tarea 7 - Ejercicios de Geometría Analítica, Sumatorias y Productorias

Grupo: 301301_97

Presentado por: Marcela Colombia Beltrán Cód.: 1081593249

Presentado a: Pablo Edilson Cerón Tutor

CEAD Pasto- Nariño

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE JUNIO DE 2017

INTRODUCCIÓN El siguiente trabajo se realiza con el fin de comprender y analizar procesos de Algebra, geometría y trigonometría que nos servirán para poder mejorar nuestros planteamientos y construir nuevos conocimientos que serán de gran utilidad tanto para nuestro futuro profesional como para nuestro futuro personal, conociendo términos como Sumatorias, productoras y secciones cónicas podemos realizar y analizar problemas que a la vez podemos comprobar con la aplicación Geogebra.

Problema 1. Para los puntos a y b determinar la respectiva distancia euclidiana, para el punto c determinar la coordenada solicitada.

a. (𝟕, 𝟔) 𝒚 (𝟑, 𝟐)

b. (−𝟐, 𝟔) 𝒚 (𝟑, 𝟒)

c. La distancia entre dos puntos es 5, uno de los puntos es 𝑾(𝟐, 𝒙) y el otro punto 𝑸(𝟔, 𝟓).Cual es el valor de la coordenada x en el punto W. Solución: a=

(7,6) y (3,2)

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 𝑑 = √[(3 − 7)2 + (2 − 6)2 ] 𝑑 = √[(−4)2 + (−4)2 ] 𝑑 = √16 + 16 𝑑 = √32 𝑑 = 4√2 b=

(-2,6) y (3,4)

𝒅 = √[(𝟑 − (−𝟐))𝟐 + (𝟒 − 𝟔)𝟐 ] 𝒅 = √[(𝟓)𝟐 + (−𝟐)𝟐 ] 𝒅 = √(𝟐𝟓 + 𝟒) 𝒅 = √𝟐𝟗

C= 𝟓 = √[(𝟔 − 𝟐)𝟐 + (𝟓−𝒙)𝟐 ] 𝟐𝟓 = (𝟒)𝟐 + (𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝒙𝟐 ) 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐 = 𝟖 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒊𝒓 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑾 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔: 𝒘𝟏(𝟐, 𝟐); 𝒘𝟐(𝟐, 𝟖) Problema 2 Demostrar que: 3𝑥 2 − 8𝑦 2 + 12𝑥 + 16𝑦 + 20 = 0 representa una hipérbola y determine: a. Centro b. Focos c. Vértices

Solución: 𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎 𝟑(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) − 𝟖(𝒚𝟐 − 𝟐) + 𝟐𝟎 = 𝟎 𝟑(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒) − 𝟖(𝒚𝟐 − 𝟐 + 𝟏) = −𝟐𝟎 + 𝟏𝟐 − 𝟖 𝟑(𝒙 + 𝟐)𝟐 − 𝟖(𝒚 − 𝟏)𝟐 = −𝟏𝟔 [(𝒚 − 𝟏)𝟐 /𝟐] − [(𝒙 + 𝟐)𝟐 /𝟏𝟔/𝟑)] = 𝟏 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = (−𝟐, 𝟏) 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 = {(−𝟐, 𝟏 + √𝟐); (−𝟐, 𝟏 − √𝟐)} 𝑭𝒐𝒄𝒐𝒔 𝒄 = √𝟐 + (𝟏𝟔/𝟑) 𝒄 = √(𝟐𝟐/𝟑)

𝑭𝒐𝒄𝒐𝒔 = {(−𝟐 + 𝟏 + √𝟐𝟐/𝟑); (−𝟐, 𝟏 − √𝟐𝟐/𝟑)} Problema 3. Demostrar que: 10𝑥 2 + 4𝑦 2 + 2𝑥 + 16𝑦 = 144 es la ecuación de una elipse y determine: a. Centro b. Focos c. Vértices Solución: 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 = 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒚 = 𝟏𝟒𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟎 (𝒙𝟐 + 𝒙 + ) + 𝟒(𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 + 𝟒) = 𝟏𝟒𝟒 + 𝟏𝟔 + 𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎(𝒙 + 𝟏/𝟏𝟎)𝟐 + 𝟒(𝒚 + 𝟐)𝟐 =

𝟏𝟔𝟎 𝟏 + 𝟏 𝟏𝟎

𝟏𝟎(𝒙 + 𝟏/𝟏𝟎)𝟐 + 𝟒(𝒚 + 𝟐)𝟐 =

𝟏𝟔𝟎𝟏 𝟏𝟎

𝟏𝟎𝟎(𝒙 + 𝟏/𝟏𝟎)𝟐 + 𝟒𝟎(𝒚 + 𝟐)𝟐 𝟏𝟔𝟎𝟏 = 𝟏𝟔𝟎𝟏 𝟏𝟔𝟎𝟏 (𝒙 + 𝟏/𝟏𝟎)𝟐 (𝒚 + 𝟐)𝟐 + =𝟏 𝟏𝟔𝟎𝟏 𝟏𝟔𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟒𝟎 𝟏 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = (

−𝟏 , −𝟐) 𝟏𝟎

−𝟏 𝟏𝟔𝟎𝟏 −𝟏 𝟏𝟔𝟎𝟏 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆𝒔 = {( , −𝟐 + √ , −𝟐 − √ );( )} 𝟏𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟎 𝟒𝟎

𝑭𝒐𝒄𝒐𝒔: 𝒄 = √𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = √

𝟏𝟔𝟎𝟏 𝟏𝟔𝟎𝟏 − 𝟒𝟎 𝟏𝟎𝟎

𝒄=√

𝟗𝟔𝟎𝟔𝟎 𝟗𝟔𝟎𝟔 𝟗𝟔𝟎𝟔 =√ =√ 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟎

𝒇𝒐𝒄𝒐𝒔 = {(−

𝟏 √𝟗𝟔𝟎𝟔 √𝟗𝟔𝟎𝟔 , −𝟐 + ) ; (−𝟏/𝟏𝟎, −𝟐 − )} 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎

Problema 4. Dada la ecuación, identificar centro, vértices y focos. (𝑥 + 7)2 (𝑦 − 5)2 + =1 16 25 𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒚 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = (−𝟕, 𝟓) 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆𝒔 = {(−𝟕, 𝟓 + 𝟓); (−𝟕, 𝟓 − 𝟓)} = {(−𝟕, 𝟏𝟎); (−𝟕, 𝟎)} 𝑭𝒐𝒄𝒐𝒔 𝒄 = √𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 = √𝟗 = 𝟑 𝒇𝒐𝒄𝒐𝒔 = {(−𝟕, 𝟖); (−𝟕, 𝟐)}

Problema 5. Demostrar que la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑦 − 49 = 0 Es una circunferencia. Determinar: a. Centro b. Radio Solución: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝟒𝟗 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 = 𝟒𝟗 𝒙𝟐 + (𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝟏) = 𝟒𝟗 + 𝟏 𝒙𝟐 + (𝒚+𝟏)𝟐 = 𝟓𝟎 → 𝑷𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂 = 𝟏; 𝒃 = 𝟏 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = (𝟎, −𝟏)

𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 = √𝟓𝟎 , 𝟓√𝟐

Problema 6. Demostrar que la ecuación 18𝑥 2 − 64𝑥 − 14𝑦 + 150 = 0, Representa una parábola, comprobar con Geogebra. Determine: a) Vértice b) Foco c) Directriz Solución: 𝟏𝟖𝒙𝟐 − 𝟔𝟒𝒙 − 𝟏𝟒𝒚 + 𝟏𝟓𝟎 = 𝟎 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙 ((𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉) 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙) 𝟏𝟖(𝒙𝟐 − 𝟔𝟒𝒙 − 𝟏𝟒𝒚 + 𝟏𝟓𝟎 = 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒂 𝒂𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒚 𝟏𝟖(𝒙𝟐 −

𝟑𝟐 𝟏𝟔 𝟓𝟏𝟐 𝒙 + ( )𝟐 = 𝟏𝟒𝒚 − 𝟏𝟓𝟎 + 𝟗 𝟗 𝟗

𝟏𝟖(𝒙 − 𝟏𝟔/𝟗)𝟐 = 𝟏𝟒𝒚 − (𝒙 − 𝟏𝟔/𝟗)𝟐 =

𝟖𝟑𝟖 𝟗

𝟕 𝟒𝟏𝟗 𝒚− 𝟗 𝟖𝟏

𝟏𝟔 𝟐 𝟕 (𝒙 − ( ) ) = (𝒚 − 𝟔, 𝟔𝟓) 𝟗 𝟗 𝟏𝟔 , 𝟔, 𝟔𝟓) 𝟗

𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 = ( 𝒇𝒐𝒄𝒐 = (

𝟏𝟔 𝟕 𝟏𝟔 ; 𝟔, 𝟔𝟓 + ) = ( ; 𝟔, 𝟖𝟒) 𝟗 𝟑𝟔 𝟗

𝑫𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝒚 = (𝟔, 𝟔𝟓 −

𝟕 ) → 𝒚 = 𝟔, 𝟒𝟔 𝟑𝟔

Problema 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (10,0)y es perpendicular a la recta 𝑥 − 7𝑦 + 21 = 0. Solución: 𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎 𝑷𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒎𝟐 = −𝟏 𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎 𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟕𝒚 𝒚=

𝒙 𝟏 +𝟑−𝒎= 𝟕 𝟕

𝒎 𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 = 𝒎 ∗

𝟏 = −𝟏 𝟕

𝒎 = −𝟕

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒚 − 𝟎 = −𝟕(𝒙 − 𝟏𝟎) 𝒚 = −𝟕𝒙 + 𝟕𝟎 La ecuación de la recta que pasa por el punto (𝟏𝟎, 𝟎)y es perpendicular a la recta 𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎. Es: 𝒚 = −𝟕𝒙 + 𝟕𝟎 Problema 8. Una circunferencia corta al eje x en dos puntos, tiene de radio 10 unidades, el centro está en (−2, 𝑘) y pasa por el punto (8, −4).Hallar la ecuación general de dicha circunferencia. Solución: 𝒑𝟏(𝟖, −𝟒); 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔: (𝟎, 𝒚𝟏), (𝟎, 𝒚𝟐) 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐: (−𝟐, 𝒌), (𝟖, −𝟒) 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐: 𝟏𝟎

(𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐 (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝒓𝟐 (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 (𝟖 + 𝟐)𝟐 + (−𝟒 − 𝒌)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 + (−𝟒 − 𝒌)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟔 + 𝟖𝒌 + 𝒌𝟐 = 𝟎 (𝒌 + 𝟒)𝟐 = 𝟎 𝒌 = −𝟒 (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 + 𝒚𝟐 + 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔 = 𝟏𝟎𝟎 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟖𝒚 = 𝟖𝟎 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟖𝒚 − 𝟖𝟎 = 𝟎} 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍. La ecuación general de la circunferencia es: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟖𝒚 − 𝟖𝟎 = 𝟎

Problema 9. Resolver la siguiente sumatoria y comprobar con Geogebra. 3

∑ 𝑘=−1

(3𝑘 + 4)𝑘 2𝑘 + 3

(𝟑(−𝟏) + 𝟒)−𝟏 (𝟑(𝟎) + 𝟒)𝟎 (𝟑(𝟏) + 𝟒)𝟏 (𝟑(𝟐) + 𝟒)𝟐 (𝟑(𝟑) + 𝟒)𝟑 = + + + + 𝟐(−𝟏) + 𝟑 𝟐(𝟎) + 𝟑 𝟐(𝟏) + 𝟑 𝟐(𝟐) + 𝟑 𝟐(𝟑) + 𝟑 =𝟏+

𝟏 𝟕 𝟏𝟎𝟎 + + + 𝟐𝟒𝟒, 𝟏𝟏 = 𝟐𝟔𝟏. 𝟏𝟑 𝟑 𝟓 𝟕

Comprobación en Geogebra

Problema 10. Resolver la siguiente sumatoria y comprobar con Geogebra. 2

∏ 𝑖3 + 4 𝑖=−1

= ((−𝟏)𝟑 + 𝟒) ∗ (𝟎𝟑 + 𝟒) ∗ (𝟏𝟑 + 𝟒) ∗ (𝟐𝟑 + 𝟒) = (𝟑) ∗ (𝟒) ∗ (𝟓) ∗ (𝟏𝟐) = 𝟕𝟐𝟎 Comprobación en Geogebra

CONCLUSIONES  En el anterior trabajo se pudieron identificar en cada problema los elementos, características y procedimientos de la Unidad 3  Con la realización de la actividad se adquirieron habilidades en el desarrollo de ejercicios de elipse vértices, ecuaciones hiperbólicas  El desarrollo de los problemas me permitió comprender la importancia del uso del comprobador Geogebra para analizar los planteamientos y verificar si son correctos.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS  Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 285 – 347. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/11583  Tematica: Geometría Analítica Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 348 – 354. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/11583  Tematica: Sumatorias Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 360 – 372. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/11583  Tematica: Productoria OVI Unidad 3 – Ecuación general de la recta Este OVI le permitirá adquirir conocimientos y destrezas en el cálculo de la ecuación de la recta y su respectiva gráfica. Andalón, J. (2010). Ecuación general de: http://hdl.handle.net/10596/7686

de

la

recta.

Recuperado

 OVI Unidad 3 – Secciones Cónicas Este OVI le permitirá adquirir conocimientos y destrezas en la identificación de las diversas secciones cónicas y cálculo de sus ecuaciones. Real, M. (2010). Secciones de:http://hdl.handle.net/10596/7690

Cónicas.

Recuperado