Trabajo Colaborativo Calculo Integral Unad
valuar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen: EJERCICIO 1 0 2 β« π₯5βπ₯ ππ₯ ββ integral impropia es
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- Jonathan Rincon
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valuar las siguientes integrales impropias si convergen o divergen: EJERCICIO 1 0
2
β« π₯5βπ₯ ππ₯ ββ
integral impropia es convergente
0
1
β«
π₯2 ββ π₯5
βπ 2βln(π₯5 )
β«
ππ₯
2βln(π₯5 ) βππ₯5π₯
ππ₯
2
erf(βln(π₯5 ) π₯ βπ 2βln(π₯5 )
β«
2βln(π₯5 )
ππ₯
2 βππ₯5π₯
βπerf(βln(π₯5 ) π₯) 2βln(π₯5 )
β«
1 2 π₯5π₯
ππ₯ =
βπerf(βln(π₯5 ) π₯) 2βln(π₯5 )
+π
EJERCICIO 7
7.
dx
ο² ο¨25 ο x ο© 2
3/ 2
Utilice sustituciΓ³n trigonomΓ©trica de la forma
a2 ο x2
Reescribiendo la integral: β«
π
π β(ππ β ππ )π
Aplicamos la integraciΓ³n por sustituciΓ³n trigonomΓ©trica:
π ππ(π’) =
π₯ 5
π₯ = 5π ππ(π’) ππ₯ = 5πππ (π’)ππ’ Reconstruimos la integral:
β«
5 cos(π’) ππ’ 2
β(25 β (5π ππ(π’)) )3
β«
5 cos(π’) ππ’ β(25(1 β π ππ2 (π’)))3
Recordamos la siguiente identidad trigonomΓ©trica: π ππ2 (π’) + cos2 (π’) = 1 cos 2(π’) = 1 β π ππ2 (π’) Entonces: β«
β«
5cos(π’) ππ’ β(25 β cos 2 π’)3
5 β cos(π’) ππ’ 15625 β cos 6 π’
β«
ππ’ 3125 β cos 5 π’
1 ππ’ ββ« 3125 cos 5 π’
Ejercicio 10 β«
6π₯ 2 β 2π₯ β 1 4π₯ 3 β π₯
Reescribe/simplifica: β«
6π₯ 2 β 2π₯ β 1 π₯(4π₯ 2 β 1)
Factoriza el denominador: 6π₯ 2 β 2π₯ β 1 β« π₯(2π₯ β 1)(2π₯ β 1) Realiza una descomposiciΓ³n en fracciones parciales: β«(
3 1 1 β + ) ππ₯ 2(2π₯ β 1) 2(2π₯ β 1) π₯
π΄πππππ ππππππππππ: 3 1 1 1 1 = β« ππ₯ β β« ππ₯ + ππ₯ 2 2π₯ + 1 2 2π₯ β 1 π₯ π
ππ πππ£πππππ πβπππ: 1 β« ππ₯ 2π₯ + 1 Sustituye u=2x+1u=2x+1 βΆβΆ dx=12du 1 1 = β« ππ’ 2 π’ Esta es una integral estΓ‘ndar: = ln(π’) Reemplaza las integrales ya resueltas: 1 1 ln(π’) β« ππ’ = 2 π’ 2 Deshace la sustituciΓ³n u = 2x + 1u = 2x + 1 =
ln(2π₯ + 1) 2
Resolviendo ahora: 1 =β« ππ₯ 2π₯ β 1 Sustituye u = 2x β 1u = 2x β 1 βΆβΆ dx = 12dudx = 12du =
1 1 β« ππ’ 2 π’
Usa el resultado anterior: =
ln(π’) 2
Deshace la sustituciΓ³n u = 2x β 1u = 2x β 1: ln(2π₯ β 1) = 2 Resolviendo ahora: 1 β« ππ₯ π₯ Reemplaza las integrales ya resueltas: 3 1 1 1 1 3 ln(2π₯ + 1) ln(2π₯ β) β« ππ₯ β β« ππ₯ + β« ππ₯ = β + ln(π₯) 2 2π₯ + 1 2 2π₯ β 1 π₯ 4 4 Aplica la funciΓ³n de valor absoluto a los argumentos de funciones logarΓtmicas con el fin de extender el domino de la antiderivada: β«
6π₯ 2 β 2π₯ β 1 ππ₯ π₯(4π₯ 2 β 1)
=
3ln(|2π₯+1) ln(|2π₯β1|) β 4 4
+ ln(|π₯|) + πΆ