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CALCULO INTEGRAL

GRUPO

TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CALCULO INTEGRAL NOVIEMBRE DEL 2014

INTRODUCCIÓN

En el Cálculo Infinitesimal desarrollado por Newton y Leibnitz es el cálculo diferencial el que cobra mayor importancia, quedando la integral relegada al papel de operación inversa de la diferencial. El cálculo integral es la rama de las matemáticas que busca obtener una función a partir de su derivada. Las integrales se pueden aplicar tanto en geometría, física, ingeniería, economía y hasta la biología. Es por ello que tanto el cálculo integral como el integral son tan importantes en el actualidad, en especial en múltiples aplicaciones de ingeniería se parte del cálculo y derivadas para comprender problemas muy complejos como en la resistencia de materiales.

El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y nos permite resolver aquellos problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. El cálculo infinitesimal incluye dos campos principales, cálculo diferencial y cálculo integral, que están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. En matemática más avanzada, el cálculo es usualmente llamado análisis matemático, o simplemente análisis, y está definido como el estudio de las funciones. Conceptos como integración, la anti derivada, la integral indefinida, las propiedades de las integrales indefinidas, la constante de integración, la integrada definida las sumas de Riemann, los teoremas de integralidad, el valor medio de una función, el primer teorema fundamental del cálculo, el teorema de la simetría están presentes en los ejercicios propuestos en diferentes aplicaciones tanto de la ciencia como de la ingeniería. En este trabajo se realiza ejercicios relacionados necesariamente con la integración, de esta manera se estará trabajando con integrales indefinidos, integrales definidos e integrales que proceden de aplicaciones de estas así como el análisis de gráficas.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 1. Hallar el área situada entre las curvas y = x -1

y = 2x3 -1

entre

El área entre las curvas está dada por: 2

∫ ( 2 x 3−1 )− ( x −1 ) dx 1

2

¿∫ 2 x 3−1−x+1 dx 1

4

2

x x ¿ 2 − ¿21 42 2

¿

¿

1 4 2 2 ( x −x ¿1 ) 2

1 ( 16−4−(1−10)) 2

1 ¿ (12 ) 2 Rta= 6

2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas f(x) = x3- 3x +2

g(x) = x + 2

x= 1

x=2

El área limitada para las gráficas es:

0

2

∫ x −3 x +2−( x+2 ) dx +∫ x+ 2−( x3 −3 x +2)dx 3

0

−2

0

2

¿ ∫ x3 −4 x dx +∫ 4 x− x3 dx 0

−2

4

¿

2

2

4

x x 0 x x −4 ¿−2 + 4 − ¿ 20 4 2 2 4

(−2 ) 4 ( 2 )4 2 2 ¿ 0− −2 (−2 ) + 2 (−2 ) − −0 4 4

(

¿−

)(

( 164 −8)+( 8− 164 )

¿− (−4 ) + 4 Rta= 8

)

3. La región limitada por la gráfica de y = x 3 el eje X y x= 1/2 se gira alrededor del eje x. Hallar el área de la superficie lateral del sólido resultante. y = x3

x= 1/2 y el eje x

y = x3

y´= 3 x2

El áreas de la superficie lateral está dada por 1 2

A=∫ 2 πy √1+( y ´ )dx 0

1 2

¿∫ 2 π (x 3 ) √ 1+9 x 4 dx 0

u=1+9 x

4

du=36 x3 dx du =x 3 dx 36 1 2

2π ∫ √ u du 36 0

(

3

π u 2 1 /2 ¿ 2 ¿0 18 3

)

1 3 2 −0 ¿ √¿ 2π ¿ ¿ 3 (18)

()

¿

π 27

( √18 )

π Rta. ¿ 27 √ 8

4. Hallar la longitud de la curva π x= cos ( x )=e y 6

x=

y

(¿ cos ( x )) y=ln ¿

Y la longitud de la curva entre

x=

π 6

x=

y

π 3

es

π 3

¿∫ √ 1+( y ´ )2 dx π 6

√

2 1 1+ ∗(−sen) dx cosx ¿

(

)

π 3

¿∫ ¿ π 6

π 3

√

1+ tan 2 x ¿ π 3

¿∫ ¿ π 6

π 3

¿∫ secx dx π 6

¿ ln |secx+tanx|

| ()

¿ ln sec

π /3

¿ π /6

| | ()

|

π π π π + tan( ) −ln sec + tan( ) 3 3 6 6

3 ¿ 2+ √ ¿ ¿ 3 ¿ 3+ 1 ¿ ¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ln ¿

√

√

Rta=1,8662

5. Hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante limitada por la

y 2  8x

parábola muestra la figura.

y la ordena correspondiente a

x2

con respecto al eje

x

, como lo

Con respecto del eje x b

V =π ∫ y 2 dy a

2

¿ π ∫ 8 x dx 0

8 x2 2 ¿π ¿ 2 0 ¿ 4 π x 2 ¿20 ¿ 4 π (4−0)

Rta=16 π

6. El volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones

y  x2

y

y4

, gira alrededor del eje Y, es.

Para hallar el volumen generado por la rotación de la parábola que gira alrededor del eje Y se aplica: b

V =π ∫ x2 dy a

4

¿ π ∫ x 2 dy 0

4

¿ π ∫ y dy 0

¿π

y2 4 ¿ 2 0

π ¿ (16−0) 2 Rta=8 π

7. Un hombre lleva un costal de 100 Libras de arena, por una escalera de 20 pies, a razón de 5 pies por minuto. El costal tiene un agujero por el cual se fuga continuamente la arena a razón de 4 libras por minuto ¿cuánto trabajo realiza el hombre en llevar el costal por la escalera? Peso inicial del costal =100 lb Largo de la escalera =20 ft Pies subidos por minuto =5 ft Cantidad de arena perdida por minuto = 4 lb Trabajo total= ¿??

De lo anterior podemos concluir que: El hombre le tomara cuatro minutos 4 minutos subir la escalera. Para el tiempo, el saco tendrá 100-4t lb de arena dentro Del tiempo t al tiempo t+∆t, el hombre se mueve a 5∆t pies hacia arriba de la escalrea Y entonces se desarrolla el trabajo equivalente a: w ( t )=( 100−4 t ) 5 ∆ t Entonces: 4

w=∫ ( 100−4 t ) 5 dt 0

4

¿∫ ( 500−20 t ) dt 0

2 4

¿ 500 t−10 t ¿ 0 Rta=1840 ft . lb

8. Un objeto se empuja en el plano desde fuerza que debe aplicarse en el punto realizado al recorrer esta distancia? 10

10

W =∫ F ( x ) dx=∫ 3 x 2−x +10 dx 0

0

x2 + 10 x∨¿10 0 2 x3 ¿ 3 −¿ 3

(10)3−

(10 )2 +10 ( 10 )−0 2

¿ 1000−50+100

x

x0

, hasta

x  10

, pero debido al viento la

F  x   3 x  x  10 2

es:

¿cuál es el trabajo

Rta=1050

9. El excedente del consumidor de un producto para un nivel de venta a un precio P de Q artículos, Q

EC 

 D x  dx  QP 0

está dado por la expresión . El excedente del consumidor de un producto a un precio de $10.000 cuya ecuación de la demanda está dada por

D  x    x  10 

2

, es:

Q

EC=∫ D ( x ) dx−QP 0

P=$ 10.000

D ( x )= ( x +10 )

Entonces el excedente es Q

EC=∫ ( x +10 )2 dx−10.000 Q 0

( x +10 )3 Q ¿ ¿ 0 −10.000 Q 3

¿

( Q+10 )3 103 −10.000 Q 3 3

¿

Q3 3002 300 Q 103 103 + + − −10.000 Q 3 3 3 3 3

Q3 ¿ 10 Q2 +100 Q−10.000 Q 3

Rta=

Q3 10 Q2 +100Q−9.900 Q 3

2

10. Si la función demanda es

D q   1000  0.4q 2

y la función oferta es EC EP excedente del productor Y el excedente del consumidor .

Se calcula inicialmente el punto de equilibrio 1000−0,4 q2=42 q 2

0=0,4 q + 42 q−1000 Donde: q=

−42q ± √( 42)2−4 (0,4)(−1000) 2(0,4)

¿

−42 q ± √ 3364 0,8

¿

−42 q ± 58 0,8

Cuya solución posible es: ¿

−42 q ± 58 =20 0,8

Luego el punto de equilibrio es (20, 42 (20)) = (20, 840) qo Po Por tanto:

S  q   42q

. Calcule el

Q

EC=∫ D ( q ) dq−q o P o 0

840 ( 1000−0,4 q2 ) dq−20(¿) Q

¿∫ ¿ 0

¿ 1000 q−0,4

q3 20 ¿ −16800 3 0

¿ 100 (20 )−0,4

¿

203 −0−16800 3

¿ 2000−

3200 −16800 3

¿ 3200−

3200 3

6400 3

Y el excedente del productor es: qo

EP=q o P o−∫ s ( q ) dq 0

20

¿ 20 ( 840 )−∫ 42qdq 0

¿ 16800−

42 q 2 20 ¿ 2 0

¿ 16800−21(20)2 ¿ 16800−8400

Rta¿ 8400

El excedente del consumidor es (EC) q

EC=∫ D ( q ) dq−QP 0

1000−0.4 q ¿ 20

¿∫ ¿

) dq−(20)(840)

2

0

0.4 q3 3 1000 q−¿ ¿ ¿¿ ¿ 1000 (20 )−0.1333(20) ¿ 20000−1066.4−16800 EC=2133.6

3

−16800

CONCLUSIONES

Fue posible cumplir con la la estrategia de aprendizaje basado en problemas a través de los aportes grupales, se hace necesario planear mejor las actividades para no realizar aportes de última hora. Este curso permitió a los estudiantes comprender e interiorizar las temáticas de la integración, técnicas de integración y aplicaciones aplicaciones de las integrales, integrales, fue posible utilizar las herramientas y los adquiridos necesarios para plantear y solucionar situaciones problema prácticas.

REFERENCIAS

Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales (7 ed.). Disponible en http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE| 9788497170079&v=2.1&u=unad&it=aboutBook&p=GVRL&sw=w Educatina. (01 de febrero de 2012). Aplicación de integral: cálculo de áreas - análisis matemático. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=J0QhITKrK8E Tareas Plus. (28 de agosto de 2012). Volumen de sólidos y la integral definida (conceptos). [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=3CQaKX5Jq6U Tareas Plus. (29 de agosto de 2012). Volumen de un sólido de revolución ejemplo 1. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=uYnlGG3IaMI Ayala, J. (26 de febrero de 2013). Aplicación de la integral a la física – trabajo mecánico. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=ug-dvDfU8R0 Delgado, R. (04 de noviembre de 2012). Integral aplicada a la economía. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=g5IsC56fC5A Ruiz, E. (09 de abril de 2012). Ingreso marginal y utilidad marginal. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=9zzM8S3l74I