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TRABAJO COLABORATIVO No 1

CALCULO INTEGRAL

GRUPO 551110_8

TUTOR: WUALBERTO JOSE ROCA

PRESENTADO POR: JUAN GABRIEL CAMPUZANO DAMARIS DEL ROCIO TIQUE LOZANO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS DE LA EDUCACIÓN SEPTIEMBRE DEL 2015

INTRODUCCIÓN En el presente documento se presenta el desarrollo del trabajo colaborativo 1 del curso de cálculo integral. Mediante el desarrollo de varios ejercicios nos proponemos dar cumplimiento a lo solicitado en la guía de actividades y, de esta forma, adquirir destreza en el manejo de las técnicas de integración y en la resolución de problemas relacionados con el cálculo integral. Es de resaltar que la cálculo integral, siendo una de las ramas más potentes y fructíferas de las matemáticas, reviste una importancia tremenda, toda vez que con el manejo y manipulación de sus métodos, podemos afrontar y solucionar numerosos problemas que se presentan tanto en el ámbito científico y tecnológico, así como en el ámbito comercial y empresarial. Las técnicas y métodos utilizados por el cálculo integral, son sin duda alguna y desde todo punto de vista, una poderosa herramienta de la cual podemos sacar provecho y aplicarlos en muchas de las actividades que realizamos a diario y como futuros profesionales.

Objetivo General Aplicar las técnicas de integración en la resolución de diferentes ejercicios de cálculo integral.

Objetivos específicos 

Desarrollar en forma grupal los ejercicios propuestos en la guía de actividades.

   

Entender y demostrar el manejo de los conceptos básicos del cálculo integral. Familiarizarse con las definiciones y métodos de esta rama de las matemáticas. Aprender a utilizar el lenguaje propio de esta ciencia para comunicarse. Demostrar la capacidad de trabajo en equipo.

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicios de la página 287 Completar la tabla utilizando los ejemplos previos a los ejercicios como modelos. 3

5. ∫ √𝑥 𝑑𝑥 R: Integral original

Reescribir

Integrar

Simplificar

∫ 𝑥 1⁄3 𝑑𝑥

𝑥 4⁄3 +𝐶 4⁄3

3 4⁄3 𝑥 +𝐶 4

Reescribir

Integrar

Simplificar

∫ 𝑥 −3/2 𝑑𝑥

𝑥 −1⁄2 +𝐶 −1⁄2

Integral original

Reescribir

Integrar

1 ∫ 3 𝑑𝑥 2𝑥

1 ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥 2

1 𝑥 −2 ∗( )+𝐶 2 −2

3

∫ √𝑥 𝑑𝑥

7. ∫ 𝑥

1

𝑑𝑥

√𝑥

R: Integral original ∫

9. ∫

1 2𝑥 3

1 𝑥 √𝑥

𝑑𝑥

−

2 √𝑥

+𝐶

𝑑𝑥

R:

Evaluar la integral indefinida y verificar el resultado por derivación. 15. ∫(𝑥 3 + 2)𝑑𝑥 R: Integral de la suma de funciones ∫(𝑥 3 + 2)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥 Integral de la función potencia e integral de una constante ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥 =

𝑥4 + 2𝑥 + 𝐶 4

Comprobando tenemos 𝑑 𝑥4 ( + 2𝑥 + 𝐶) = 𝑥 3 + 2 𝑑𝑥 4

Simplificar −

1 +𝐶 4𝑥 2

16. ∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 R: Por la Integral de suma de funciones tenemos: ∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑑𝑥 Por integral de la función potencia, la integral de la función lineal y la integral de una constante tenemos ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑑𝑥 =

𝑥3 − 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝐶 3

Comprobando tenemos 𝑑 𝑥3 3𝑥 2 − 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝐶 = − 2𝑥 + 3 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 3 3 58. Probar que la altura alcanzada por un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura de 𝑠0 pies, con velocidad inicial 𝑣0 pies/s, viene dada por la función. 𝑓(𝑥) = −16𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑠0 R/ Para 𝑡 = 0 𝑠 = 𝑠0 𝑣 = 𝑣0 𝑓 ′ (𝑡) = 𝑉 𝑓 ′′ (𝑡) = −𝑔 (Es negativo puesto que se lanza hacia arriba) Integrando 𝑓 ′′ (𝑡) obtenemos la velocidad ∫ 𝑓 ′′ (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓 ′ (𝑡) = ∫ −𝑔 𝑑𝑡 = −𝑔𝑡 + 𝑐1 = 𝑣 Como para 𝑡 = 0 𝑣 = 𝑣0 −𝑔(0) + 𝑐1 = 𝑣0 ⟹ 𝑐1 = 𝑣0 Luego 𝑓 ′ (𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣0 Integrando nuevamente obtenemos la altura en función del tiempo s 1 ∫ 𝑓 ′ 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡) = ∫(−𝑔𝑡 + 𝑣0 ) 𝑑𝑡 = − 𝑔𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝐶 = 𝑠 2 Como para 𝑡 = 0

𝑠 = 𝑠0 1 − 𝑔(0)2 + 𝑣0 (0) + 𝐶 = 𝑠0 ⇒ 𝐶 = 𝑠0 2

Nos queda 1 𝑓(𝑡) = − 𝑔𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑠0 2

Ejercicios de la página 300 Hallar la suma. Comprobar el resultado con la calculadora. 2. ∑5𝑘=2(𝑘 + 1) (𝑘 − 3) R/ 5

5

∑(𝑘 + 1) (𝑘 − 3) = ∑(𝑘 2 − 2𝑘 − 3) 𝑘=2

𝑘=2

Efectuando el producto 5

5

5

2

∑𝑘 −2∑𝑘 − ∑3 𝑘=2

𝑘=2

𝑘=2

La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término. Hallamos cada sumatoria por separado aplicando el teorema 4.2 5

5

1

2

∑ 𝑘 = ∑ 𝑘 − ∑ 𝑘2 = 𝑘=2

2

𝑘=1

𝑘=1

5

5

1

𝑘=2

𝑘=1

𝑘=1

5

5

5(5 + 1)(2 ∗ 5 + 1) − 1 = 55 − 1 = 54 6

5(5 + 1) 2 ∑ 𝑘 = 2 (∑ 𝑘 − ∑ 𝑘) = 2 [ − 1] = 30 − 2 = 28 2 1

∑ 3 = ∑ 3 − ∑ 3 = 3(5 − 1) = 12 𝑘=2

𝑘=1

𝑘=1

Por lo tanto 5

∑(𝑘 + 1) (𝑘 − 3) = 54 − 28 − 12 = 14 𝑘=2

6. ∑4𝑖=1[(𝑖 − 1)2 +(𝑖 + 1)3 ] R/ la sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término 4

4

4

∑[(𝑖 − 1)2 +(𝑖 + 1)3 ] = ∑(𝑖 − 1)2 + ∑(𝑖 + 1)3 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

Hallamos cada sumatoria por separado aplicando los teoremas 4.2 3

4 2

∑(𝑖 − 1) = ∑ 𝑖 2 = 𝑖=1

𝑖=0 5

4

5

3(3 + 1)(2 ∗ 3 + 1) = 14 6 1

2

5(5 + 1) ∑(𝑖 + 1) = ∑ 𝑖 = ∑ 𝑖 − ∑ 𝑖 = ( ) − 13 = 224 2 3

𝑖=1

3

𝑖=2

3

𝑖=1

3

𝑖=1

Por lo tanto 4

∑[(𝑖 − 1)2 +(𝑖 + 1)3 ] = 14 + 224 = 238 𝑖=1

También podemos hallarlos reemplazando directamente 4

∑[(𝑖 − 1)2 +(𝑖 + 1)3 ] = (02 + 23 ) + (12 + 33 ) + (22 + 43 ) + (32 + 53 ) = 238 𝑖=1

68. Verificar la formula. 𝑛

∑ 𝑖2 = 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

Demostrando lo siguiente: a)

(1 + 𝑖)3 − 𝑖 3 = 3𝑖 2 + 3𝑖 + 1

R/ desarrollando el cubo del binomio (1 + 𝑖)3 − 𝑖 3 = (1 + 3𝑖 + 3𝑖 2 + 3𝑖 3 ) − 𝑖 3 = 3𝑖 2 + 3𝑖 + 1 b)

−1 + (𝑛 + 1)3 = ∑𝑛𝑖=1(3𝑖 2 + 3𝑖 + 1)

R/ aplicando sumatoria en ambos miembros 𝑛

𝑛 3

∑[(1 + 𝑖) − 𝑖

3]

= ∑(3𝑖 2 + 3𝑖 + 1)

𝑖=1

𝑖=1

Aplicando la propiedad telescópica y escribiendo como 3 sumas 𝑛

𝑛

𝑛

(1 + 𝑛)3 − 1 = 3 ∑ 𝑖 2 + 3 ∑ 𝑖 + ∑ 1 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

Despejando la primera sumatoria 𝑛

3 ∑ 𝑖 2 = (1 + 𝑛)3 − 1 − 3 ∑ 𝑖 − ∑ 1 𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

Desarrollamos 𝑛

3 ∑ 𝑖 2 = (1 + 𝑛)3 − 1 − 𝑖=1

3𝑛(𝑛 + 1) −𝑛 2

c)

∑𝑛𝑖=1 𝑖 2 =

𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6

R/ Reduciendo términos y factorizando 𝑛

3 ∑ 𝑖2 = 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 2

Despejando 𝑛

∑ 𝑖2 = 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

Ejercicios de la página 312 En los siguientes ejercicios formular una integral definida que represente el área de la región que se indica.

Solución



2

0

(4  2 x)dx

Solución



2

2

(4  x 2 )dx

En los siguientes ejercicios dibujar la región cuya área representa la integral definida. Usar entonces una formula geométrica para calcular la integral (a  0, r  0) .

11.



3

0

4dx

Solución

Esta región es un rectángulo de altura 4 y base 3.



3

0

4dx  (área del rectángulo)=4(3)=12

14.



4

0

Solución

x dx 2

Esta región es el área de un triángulo de altura 2 y base 4.



4

0

x 2(4) dx  (área del triángulo)= =4 2 2

Solución a) b)

 

7

0 0

5

c)



5

d)



5

5

0

5

7

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 10  3  13 0

5

5

f ( x)dx    f ( x)dx  10 0

f ( x)dx 0 3 f ( x)dx 3(10)  30

Solución

El valor que mejor aproxima la integral definida es 5 porque en la gráfica puede verse que el área es mayor que la del triángulo de base 4 y altura 2.

Ejercicios de la página 324 Representar el integrando en la calculadora y usar la gráfica para determinar si la integral definida es positiva, negativa o cero. 𝑥

2 ∫0 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 Calcular la integral definida y usar la calculadora para verificar el resultado.

0

7 ∫−1(𝑥 − 2) 𝑑𝑥 3

10 ∫0 (3𝑥 2 + 𝑥 − 2) 𝑑𝑥 2

20 ∫0 (2 − 𝑡) √𝑡 𝑑𝑡 65. Un modelo matemático se controla un vehículo experimental en un trayecto recto. Parte del reposo, y su velocidad, en m/s, se mide cada 10 segundos durante 1 minuto. Los datos experimentales se recogen en la tabla.

a) Hallar un modelo 𝑣 = 𝑎𝑡 3 + 𝑏𝑡 2 + 𝑐𝑡 + 𝑑 que ajuste esos datos, con ayuda de calculadora. b) Representar en esta los datos y el modelo. c) Aproximar, mediante el teorema fundamental del cálculo, la distancia recorrida por el vehículo durante la prueba.

Ejercicios de la página 395 Hallar la integral. 75. ∫ 𝑒 5𝑥 (5)𝑑𝑥 R/ Sea 𝑢 = 5𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥 Por lo tanto ∫ 𝑒 5𝑥 (5)𝑑𝑥 = 𝑒 5𝑥 + 𝐶 4

76. ∫ 𝑒 −𝑥 (−4𝑥 3 )𝑑𝑥 R/ Sea 𝑢 = −𝑥 4 entonces 𝑑𝑢 = −4𝑥 3 𝑑𝑥 Por lo tanto 4

4

∫ 𝑒 −𝑥 (−4𝑥 3 )𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑥 + 𝐶 1

77. ∫0 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 R/ Sea 𝑢 = −2𝑥 entonces 𝑑𝑢 = −2 𝑑𝑥

Por lo tanto 1 1 1 1 1 ∫ 𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑒 −2𝑥 (−2)𝑑𝑥 = [− 𝑒 −2𝑥 ] 0 2 2 0 0

1 𝑒2 − 1 −2 = (1 − 𝑒 ) = 2 2𝑒 2 2

78. ∫1 𝑒 1−𝑥 𝑑𝑥 R/ Sea 𝑢 = −𝑥 + 1 entonces 𝑑𝑢 = −1 𝑑𝑥, resolvemos por el método de sustitución 2

−2+1

∫ 𝑒 1−𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1

−1

0

0 −1

−𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ −𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = [𝑒 𝑢 ]

−1+1

0

= 𝑒 0 − 𝑒 −1 = −

−1

1 1 +1= 1− 1 𝑒 𝑒

𝑒 −𝑥

79. ∫ 1+𝑒 − R/ Sea 𝑢 = 1 + 𝑒 −𝑥 entonces 𝑑𝑢 = −𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Por lo tanto ∫

𝑒 −𝑥 −𝑒 −𝑥 𝑒𝑥 −𝑥 ) = − ∫ = ln(1 + 𝑒 + 𝐶 = 𝑙𝑛 ( ) + 𝐶 = 𝑥 − ln(𝑒 𝑥 + 1) + 𝐶 1 + 𝑒− 1 + 𝑒− 𝑒𝑥 + 1

Bibliografía Larzon, R., & Robert, H. (2007). Cálculo y Geometría Analítica. Madrid: McGraw Hill.