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• Reynaldo Palenque Mariño

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TRABAJO COLABORATIVO 3

Por Derlybret Rodríguez- 1098647556 Kevin Yesid Palenque Duque- 1098674680 Edinson Suescun Porras- 13510524 Liliana Lizeth Arciniegas Molina- 37546309 Edwin Albeiro Sarmiento Rodríguez- 1102361364

Calculo integral 100411_171

Presentado a: FAIBER ROBAYO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CEAD Bucaramanga

Escuela de Ciencias básicas Tecnología e Ingeniería Noviembre de 2016

1

INTRODUCCION

En el presente trabajo colaborativo refiere a la Unidad de aprendizaje autónomo 3, en donde se relacionan temas aplicados a los ejercicios tales como las Aplicaciones de las integrales, así mismo en esta unidad unidad se desarrollarán las temáticas de Análisis de gráficas, Volumen de superficie de revolución y aplicaciones de las integrales en las Ciencias.

2

EJERCICIOS APLICADOS

1. Hallar el área que, en el primer cuadrante, está limitada por el eje X y por la siguiente función:

y  6 x  x 2  x3 3

∫ (6 x+ x 2−x 3 ) 0

3

6∫ x+ x 2−x 3 0

3

3

3

6∫ x dx +∫ x dx−∫ x3 dx 2

0

3

0

2

0

3

4

6∫

x x x +∫ −∫ 2 3 4

(6)

x 2 x3 x 4 3 + − 2 3 4 0

0

]

b

∫ f (x)dx=F ( b )−F (a) a

(

3 33 34 2 0 04 3 ( 3) + − − 3 ( 0) + − 3 4 3 4 2

)(

)

¿ ( 27+9−20.25 )−( 0 ) ¿ 15.75

3

2. Encuentre el área de la región comprendida entre la parábola

y2  x  3

y 2=x−3 → y=√ x−3 y=x−5 x−5= √ x−3

( x−5 )2=x−3 2

x −10 x+25=x−3 x 2−10 x+25−x+ 3=0 x 2−11 x+ 28=0

( x−4 ) ( x −7 )=0 02=x−3→ x=3 5

7

4

5

A=∫ √ x−3 dx +∫ ( √ x−3−( x−5 ) ) dx−∫ −√ x−3−∫ ( x−5 ) dx 3

5

3

4

u=x −3→ du=dx 3

∫ √ x−3 dx=∫ √ u du= 23 u 2 = 23 ( x−3 )3 /2 2

∫ ( x−5 ) dx= x2 −5 x

4

y la recta

y  x5

3

|

(

2

3

)|

2

|

|

2 3/ 2 2 x 2 x A= ( x −3 ) 5 + ( x −3 ) 2 − −5 x 7 + ( x−3 ) 2 4 − +5 x 5 3 3 3 2 5 3 3 2 4 3

3

3

)(

3

)) (

3

)

2 3 /2 2 2 72 2 52 2 2 52 42 A= (5−3 ) − (3−3 ) 2 + ( 7−3 ) 2 − −5∗7 − ( 5−3 ) 2 − −5∗5 + ( 4−3 ) 2 − ( 3−3 ) 2 − +5∗5+ −5∗4 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2

(

3

(

3

)(

)) (

3

(

3

)

)

2 3 /2 2 72 2 52 2 2 52 42 2 2 2 2 A= (5−3 ) + ( 7−3 ) − −5∗7 − ( 5−3 ) − −5∗5 + ( 4−3 ) − ( 3−3 ) − + 5∗5+ −5∗4 3 3 2 3 2 3 3 2 2

(

(

(

A=1,89+1,45+ 0,67+0,5 A=4.5

3. Hallar el área de superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la gráfica de 3 y x = 8 alrededor del eje X.

b

√

2

S=2 π ∫ f (x) 1+ ( f ' (x) ) dx a

f (x) =2 √ x f'=

1 √x

√

8

S=2 π ∫ 2 √ x ∙ 1+ 3

8

1 2 dx √x

( )

√

1 S=2 π ∫ 2 √ x ∙ 1+ dx x 3

8

√

( 1x ) dx

S=2 π ∫ 2 ( x ) ∙ 1+ 3

5

y=2 √ x

entre x =

)

8

√

x ⇒ S=2 π ∫ 2 x + dx x 3 8

⇒ S=2 π ∫ 2 √ x +1 dx 3

8

S=2 π ∫ 2 √ x+1 dx 3

u=x +1 du =1⇒ du=d x dx 2∫ √ x +1 dx=∫ √ u d u 1

1 2

3

+1

3

u2 u2 2u 2 2∫ u du= +c = +c= +c 1 3 3 +1 2 2 3

3 2

4 ( x+1 ) 2 3 2u 4 2∫ √ x +1 dx=2∙ +c= + c= ( √ x+1 ) + c 3 3 3 8

⇒ S=2 π ∫ 2 √ x +1 dx 3

4 3 ⇒ S= ( 2 π ) ( √ x+1 ) 3

(

S=( 2 π )

{(

8

)|

3

4 3 4 3 ( √8+ 1 ) − ( √ 3+1 ) 3 3

S=( 2 π )

)(

{(

4 3 4 3 ( √ 9 ) − ( √4 ) 3 3

)(

6

)}

)}

S=( 2 π )

S=( 2 π )

{( ) ( )}

S=( 2 π )

({ 1083 )−( 323 )}

4 3 4 (3 ) − ( 2 )3 3 3

4 4 ∙ 27 − ∙ 8 3 3

⇒ S= ( 2 π )

S=

{( ) ( )}

{763 }

152 π 3

4. Hallar la longitud de la curva

f ( x)  4 x 3 / 2

entre x = 0 b

y

x = 2/3.

L   1  ( f ' ( x )) 2 dx Considerar que: la longitud de la curva es: f ( x )=4 x

a

3/ 2

3

−1 3 1 /2 f ( x )= 4 x 2 =6 x 2 '

2 /3

√

( ) dx

L=∫ 1+ 6 x 0

1 2 2

2 /3

L=∫ √ 1+36 x dx 0

7

u=1+36 x →

du =dx 36

1 ∗2 du 36 1 ∫ √ 1+36 x dx=∫ √u 36 = 3 √ u3= 54 √( 1+36 x )3 2 /3

L=∫ √ 1+36 x dx = 0

L=

|

1 1 ( 1+ 36 x )3 2/3 = √ 54 0 54

√(

1+

36∗2 3 1 − 3 54

)

62 27

5. Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar sobre el eje X la región y=x

limitada por la curva

2

y las rectas

x y= , x=1 y x=2 2

Sugerencia: Utilizar el método de arandelas.

b

2

2

V =π ∫ (( R ( x ) ) −( r ( x ) ) ) dx a

R ( x ) =x2 x 2

r ( x) =

2

(

2

2 V =π ∫ ( x ) − 1

2

(

V =π ∫ x 4 − 1

[

2

2

( ) ) dx x 2

x2 dx 4

)

2

2

x V =π ∫ x dx−∫ dx 4 1 1 4

] 8

V =π

V=

6.

[

]| [

] [

x5 x 3 2 25 23 15 13 − =π − −π − 5 12 1 5 12 5 12

]

337 π 60

Hallar el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje

x  y2

por la parábola

[ ( )] 2

∆ v 1=π ( t 21) −

t1 2

y la recta

x  1

la región encerrada

x  2y

2

∆ x1

Hallamos primero los puntos de intersección entre la parábola y la recta, para ello resolvemos:

y 2=x x=2 y Los puntos de intersección son (0,0) y (4,2). Al rotar el i-ésimo rectángulo alrededor de la recta x=-1, el disco hueco que genera tiene por radio exterior

( 2 t 1 +1 ) ,

por radio interior

(t 21 +1 )

y por altura

de revolución generado estará dado por: n

[

2

]

V = lim π ∑ ( 2 t 1 +1 ) −( t 1 +1 ) ∆ y 1 |p|→ 0

i=1

2

2

9

∆ y 1 su volumen y el volumen del solido

2

¿ π ∫ [ ( 2 y +1 )2−( y 2 +1 )

2

]

0

2

dy=π ∫ (− y 4 +2 y 2+ 4 y ) dy 0

[

5

3

−y 2 y 4 y ¿π + + 5 3 2 ¿

2 2

]

1

104 π 15

7. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y el centro de masa. Considere la densidad lineal como:

ρ ( x ) =R x 2 7200=R ∙ ( 60 )2 7200=R ∙ 3600 7200 =R 3600 R=2 60

60

m=∫ 2 x dx=2 ∫ x 2 dx=2 2

0

0

60

m=2

( )

( )

60

( )|

x3 m=∫ 2 x dx=2 3 0 2

x 2+1 x3 + c=2 +c 2+1 3

0

{( ) ( )} x3 x3 − 3 3

10

ρ ( x ) =R x 2

m=2

{( ) ( )}

m=2

{(

603 03 − 3 3

) }

216000 −0 3

m=2 { 72000 } m=144000 g 60

60

3+1 4 ∫ ( 2 x 2 ) ( x ) dx 2∫ x 3 dx 2 x + c 2 x +c

x=

0

m

=

0

m

=

( 3+1 ) m

=

(4) m

x4 ∫ ( 2 x ) ( x ) dx 2 4 x= 0 = m m 2

2 x=

2 x

{( ) ( )}

{( ) ( )} 60 4 04 − 4 4 m

2 x=

x=

{(

) }

12960000 −0 4 m

2 {3240000 } m

11

60

( )|

60

x4 x4 − 4 4 m

0

x=

6480000 m

x=

6480000 =45 144000

8. Encuentre el centroide de la región limitada por la rama de parábola 4. g( x)=√ x f ( x )=0 b

∫ x [ g ( x ) −f ( x ) ] dx a b

´x =

∫( g ( x )−f ( x ) )dx a

3 +1 2

4

∫ x √ x dx ´x =

0

=

4

∫ √ x dx 0

b

∫ ´y =

|

x 4 3 0 +1 2 1 +1 2

5 2

=

|

x 4 1 0 +1 2

5

|

x 4 5 0 2 3 2

=

|

x 4 3 0 2

(4) 2 5 2 (4) 3 2

3 2

=

12 ≈ 2.4 5

[ f ( x ) + g ( x ) ] ( g ( x ) −f ( x ) ) dx 2

a

b

∫( g ( x )−f ( x ) ) dx a

b

∫ ´y =

4

[ g ( x ) ] ( g ( x )) dx 2

a

b

∫ (g ( x ) ) dx a

=

∫ √2x ( √ x ) dx 0

4

∫ √ x dx 0

12

y x

, el eje X y la recta x =

4

´y =

∫ 2x dx 0 4

∫ √ x dx 0

=

x2 4 4 0

|

( 4) 3 2

3 2

=

42 4 (4) 3 2

3 2

=

4 (4) 3 2

3 2

=

3 4

Rta=

( 125 , 34 )

9. Se arroja una piedra desde un puente con una velocidad inicial de 8 m/s, después de lo cual cae con la aceleración de la gravedad (9.8 m/s2). Encontrar la distancia que recorre en los primeros tres (3) segundos.

Considerar:

v(t )   a (t ) dt  v0 ,

donde

v0

a (t ) es la velocidad en t = 0 o velocidad inicial y

aceleración. a ( t )=9.8 m/s 2 t=3

v 0 =8 m/s v ( t )=∫ a ( t ) dt +v 0 v ( t )=∫ 9.8 dt+ 8

v ( t )=9.8 t+ 8 dx =9.8 t+8 dt x ( t )=∫ ( 9.8 t +8 ) dt=

2

9.8 t + 8 t+C 2

13

la

2

9.8∗0 +8∗0+C=0 2

x ( 0 )= C=0 x ( t )=

9.8 t 2 +8 t 2 2

9.8∗3 x ( 3) = +8∗3 2 x ( 3 ) =68.1 m

10. Un resorte sin carga mide 0.5 m y se requiere de una fuerza de 12 N para alargarlo 0.1 m. Calcular el trabajo realizado al estirar el mismo resorte de su longitud original a una longitud de 0.75 m. Solución: b

W =∫ f ( x ) dx a

Pero, f ( x )=Kx f ( x )=Kx f ( 0.1 )=12=K (0.75)

K=16 f ( x )=16 x 0.75

W = ∫ 16 x dx 0.5

14

0.75

W =16 ∫ x dx 0.5

W =16

x 1+1 x2 =16 =8 x 2 1+1 2

W =8(0.75)2−8( 0.5)2 W =4.5−2

W =2.5 j

11. La función de demanda para un producto es

P  D( x )  100  0.05 x

por unidad (en pesos) de x unidades. La función oferta es

, en donde P es el precio

S ( x)  10  0.1x

. Determinar el Excedente

del Consumidor (E.C.) y el Excedente del Productor (E.P.) cuando el mercado está en equilibrio. Solución Se debe igualar la oferta y la demanda para determinar el punto de equilibrio. 100−0.05 x=10+ 0.1 x 100−10=0.1 x+ 0.05 x

90=0.15 x x=

90 =600=Q 0.15

P=100−0.05∗600=70

Determinar el Excedente del Consumidor (E.C.) 15

Q

EC=∫ D ( x ) dx−QP 0

600

EC= ∫ ( 100−0.05 x ) dx−600∗70 0

(

EC= 100 x−

0.05 x 2 600 −42000 2 0

(

EC= 100∗600−

| )

0.05∗6002 −42000 2

)

EC= ( 60000−9000 )−42000 EC= ( 60000−9000 )−42000 EC=9000

Excedente del Productor (E.P.) Q

EP=QP−∫ S ( x ) dx 0

600

EP=600∗70− ∫ ( 10+0.1 x ) dx 0

([

EP=42000− 10 x+

]| )

0.1 x 2 600 2 0

0.1∗6002 EP=42000− 10∗600+ 2

(

)

EP=42000−( 6000+18000 )

16

EP=42000−24000 EP=18000

C ' ( x)  x  100

12. La función que describe el costo marginal de fabricar un producto es

, donde x es

el número de unidades producidas. Se sabe también que el costo total es $40000, cuando x = 100.

C (x). Determine la función de costo total d (C ) =x+100 dx

40000=

Ct =∫ ( x +100 ) dx

2

Ct =

x +100 x+ c 2

10000 +10000+c 2

40000=5000+10000+c

40000=15000+c 40000−15000=c

25000=c

Ct =

x2 +100 x+25000 2

17

2

40000=

100 +100(100)+c 2

Referencias

channel, U. (6 de Agosto de 2011). Matemáticas - Integral Definida - Idea básica. Obtenido de https://www.youtube.com: https://www.youtube.com/watch?v=3LNv9lvcNzk Jaramillo, A. D. (23 de Octubre de 2011). Aplicación de la integral definida (GeoGebra). Obtenido de https://www.youtube.com: https://www.youtube.com/watch?v=c1TimY3pA90 MIPROFEoCOMoMX. (24 de Junio de 2014). Integral Definida Interpretación Geométrica. Obtenido de https://www.youtube.com: https://www.youtube.com/watch?v=_lhGhqkQrVE

18