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• Isabela Duran Galindo

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1.-

Una circunferencia tiene su centro en el punto C= (0; 2) y es tangente a la recta 5 x −12 y + 2 = 0 . Hallar la ecuación de la circunferencia, el dominio y rango y graficar. L

Ecuación de la circunferencia: x2 + ( y + 2) = r 2 2

…1

Hallando radio: 5(0) − 12( −2) + 4 d( p.L ) = 25 + 144 d( p. L ) = 2 = r Entonces: x 2 + ( y + 2)2 = 4

2.-

Rom = [ −2; 2] ; Ran = [ −4;0]

hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas L1 : 3x − 2 y − 24 = 0; L2 : 2 x + 7 y + 9 = 0 Hallando punto de intersección: 3 − (7 y + 9) − 2 y − 24 = 0 2 21 y + 27 + 4 y + 48 = 0 y = −3; x = 6 Entonces: ( x − 6) 2 + ( y + 3)2 = 25

3.-

2 2 una cuerda de la circunferencia x + y = 25 esta sobre la recta cuya ecuación es x − 7 y + 25 = 0 .

a)

hallar la longitud de la cuerda x = 7 y − 25 Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia

49 x 2 − 350 y + 625 + y 2 = 25 50 y 2 − 350 y + 600 = 0 y = 3; x = −4 y = 4; x = 3 Distancia entre dos puntos: d = (3 + 4) 2 + (4 − 3) 2 d = 5 2 = L.cuerda

b)

hallar la mediatriz de la cuerda que se obtiene en a y probar que pasa por el centro de la circunferencia. Hallamos el punto medio de la cuerda:  3− 4 4 + 3 ;   2   2  1 7 − ;   2 2 Hallamos ecuación de la mediatriz: m = −7

7 1    y −  = −7  x +  2 2   2 y − 7 = −14 x − 7 7x + y = 0 Reemplazamos X=0 y nos da Y=0 pasa por el punto (0;0) …lqqd.

4.a)

 9 A = ( −1;0 ) ; B =  2;  ; C = ( 5;0 )  4 Sean son vértices de un triangulo. hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es le vértice A y que es tangente al lado BC.

Hallamos ecuación del lado BC:

9 12 9 y = − ( x − 5) 12 12 y = −9 x + 45 3 x + 4 y − 15 = 0 m=−

Hallamos el radio: d ( A. L ) = d ( A. L ) =

3(−1) + 4(0) − 15 9 + 16 18 5

Entonces: 2 ( x + 1)2 + y 2 = 18

b)

52

hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triangulo. Hallamos la distancia del centro (h; k) a los vértices del triangulo. d 2 = (h − 5)2 + (k − 0)2 d 2 = (h + 1)2 + (k − 0)2 d 2 = (h − 2)2 + (k − 9 )2 4 Desarrollamos las ecuaciones: h = 2; k = -7/8 Hallamos el radio: d 2 = ( h − 5)2 + ( k − 0)2 d = 9 + 49 d =r= Entonces:

64

25 8

(

( x − 2) 2 + y + 7

c)

8

)

2

2 = 25

82

hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triangulo. Hallamos las ecuaciones de los lados del triangulo.

AB = −3x + 4 y − 3 = 0 BC = 3x + 4 y − 15 = 0 AC = y = 0

Hallamos las distancias del centro (h; k) a las rectas anteriores: −3h + 4k − 3 d2 = 5 3 x + 4 y − 15 d2 = 5 2 d =k Desarrollamos las ecuaciones: h = 2; k = 1 Hallamos el radio: d2 = k d =1 Entonces: ( x − 2) 2 + ( y − 1)2 = 1 5.-

hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje x y que pasa por los puntos A= (1; 3); B= (4; 6) Hallamos las distancias del centro (h; 0) a los puntos A y B: d 2 = ( h − 1) 2 + 9

d 2 = ( h − 4) 2 + 36 Desarrollamos las ecuaciones: h= 7 Hallamos el radio: d 2 = (h − 1)2 + 9 d 2 = r 2 = 45 Entonces: ( x − 7) 2 + y 2 = 45

6)

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A = (-3, 3), B = (1, 4) y su centro esta sobre la recta 3x -2y -23 = 0 Hallando pendiente de la recta AB:

m = 4 -3 = 1 1 +3 4 Hallando PM de la Recta AB: PM = (-3 +1; 3 +4) = (-1, 7/2) 2 2 Hallando ecuación de la mediatriz: 1 m1 = -1 => m1 = -4 4 Y -7 = -4(x +1) => 2 y -7 = -8x -8 2 8x +2y +1 = 0…….1 De: 3x -2y -23 = 0 X = 2y +23 ……………….2 3 2 en 1: 8(2y +23) +2y +1 = 0 => 16y +184 +6y +3 = 0 3 22y = -187 y = -187/22 = -8.5 X = 2y +23 3 x=2 centro: (2 ,-8.5)

=> x = 2 (-8.5) +23 3

R2 = (2 +3)2 + (-17 -3)2 2 2 R = 25 + 529 2 R = √554/4 Ecuacion de la circunferencia: C: (x -2)2 + (y + 17/2)2 = 554/4 7)

determinarlas coordenadas de centro vértice y focos, la longitud de los ejes transverso y conjugado y del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes hipérbolas: a) x2 -9y2 -4x +36y – 41 = 0 c2 = 32 +12

(x -2)2 -4 -9((y -2)2 -4) -41 = 0 (x -2)2 -9(y -2)2 = 9 (x -2)2 -(y -2)2 = 1 9 1 C = (2, 2) V = (-1, 2) V1 = (5, 2) F = (-1 -√10, 2) F1 = (5 +√10, 2) LT = 2a = 6 LC = 2b= 2 e = √10 3 Asintotas: (x -2) -3(y -2) = 0 x -2 -3y +6 = 0 x -3y +4 = 0 b)

c)

c = √10

(x-2) +3(y -2) = 0 x -2 +3y -6 = 0 x +3y -8 = 0

4 x2 -9y2 +32x +36y +64 = 0 c2 = 22 +32 4((x -4)2 -16) -9((y -2)2 -4) +64 = 0 c = √13 2 2 4(x -4) -9(y -2) = -36 9(y -2)2 -4(x -4)2 = 36 (x -2)2 -(y -2)2 = 1 4 9 C = (4, 2) V = (4, 0) V1 = (4, 4) F = (4, -√13) F1 = (4, 4 +√13) LT = 2b = 6 LC = 2a= 4 e = √13 2 Asintotas: 3(y -2) -2(x -4)= 0 3(y -2) +2(x -4) = 0 3y -6 -2x +8 = 0 3y -6 +2x -8 = 0 2x -3y -2 = 0 2x +3y -14 = 0 2 2 x -4y -2x +1 = 0 (x -1)2 -1 -4y2 +1 = 0 (x -1)2 -4y2 = 0

De la ecuación obtenemos ecuaciones de dos rectas:

(x-1 -2y)(x -1 +2y) = 0 L1: x -2y -1 = 0 L2: x +2y -1 = 0

d)

9 x2 -4y2 +54x +16y +29 = 0 9((x +3)2 -9) -4((y -2)2 -4) +29 = 0 9(x +3)2 -4(y -2)2 = 36 (x +3)2 -(y -2)2 = 1 4 9

c2 = 22 +32 c = √13

C = (-3, 2) V = (-5, 2) V1 = (-1, 2) F = (-5 -√13, 2) F1 = (-1 +√13, 2) LT = 2b = 6 LC = 2a= 4 e = √13 4 Asintotas: 3(x +3) -2(y -2) = 0 3x +9 -2y +4 = 0 3x -2y +13 = 0

e)

3 x2 -y2 +30x +78 = 0 3(x +5)2 -75 -y2 +78 = 0 3(x +5)2 -y2 = -3 y2 -3(x +5)2 = 3 y2 –(x -5)2 = 1 3 1 C = (-5, 0) V = (-5, √3) V1 = (-5, -√3) F = (-5 , √3 +2) F1 = (-5,-√3 -2) LT = 2b = 2√3 LC = 2a= 2

3(x +3) +2(y -2) = 0 3x +9 +2y -4 = 0 3x +2y +5 = 0

c2 = 3 +1 c = √4 =2

e = 2√3 3 Asintotas: y -√3(x +5)= 0 y -√3x -5√3 = 0 √3x –y +5√3 = 0 8.-

y +√3(x +5) = 0 y +√3x +5√3 = 0 √3x +y +5√3 = 0

Hallar la ecuación de la tangente y la normal para la hipérbola dada, en el punto de contacto indicado: a)

3 x 2 − y 2 = 2 3 x 2 − y 2 = 2 en (1;1) Ecuación de la tangente: y = m (x − 1) + 1 Reemplazamos en la ecuación de la hipérbola 3 x 2 = 2 + [ m( x − 1) + 1]

2

3 x 2 = 2 + m2 x2 − 2m2 x + m2 + 2mx − 2m + 1 (3 − m 2 ) x 2 + (2m2 − 2m) x − m2 + 2m − 3 = 0 b 2 − 4ac = 0 (2m 2 − 2m)2 + 4(2m2 − 2m)(m2 − 2m + 3) = 0 m 2 − 6m + 9 = 0 m=3 Hallamos la ecuación de la tangente y la normal: tg : 3x − y − 2 = 0 N : x + 3y − 4 = 0 b)

2 x 2 − 3 y 2 − 6 x − 4 y + 12 = 0 en (4; 2)

y = m( x − 4) + 2 2 x 2 − 3[ m( x − 4) + 2]2 − 6 x − 4[ m( x − 4) + 2] + 12 = 0 (2 − 3m 2 ) x 2 + (24m2 − 16m − 6) x − 48m2 + 64m − 8 = 0 b 2 − 4ac = 0 (24m 2 − 16m − 6)2 + 4(2 − 3m2 )(48m2 − 64m + 8) = 0 64m 2 − 80m + 25 = 0 m=5 8 Entonces : tg : 5 x − 8 y − 4 = 0 N : 8 x + 5 y − 42 = 0

c)

3 x 2 − 2 y 2 + 3 x − 4 y − 12 = 0 en (2; 1) y = m( x − 2) + 1 3 x 2 − 2[m( x − 2) + 1]2 + 3 x − 4[m( x − 2) + 1] − 12 = 0 (3 − m 2 ) + (8m2 − 8m + 3) x − 8m2 + 16 − 18 = 0 b 2 − 4ac = 0 (8m 2 − 8m + 3)2 + 4(3 − m2 )(8m2 − 16 + 18) = 0 64m 2 − 240m + 225 = 0 m = 15 8 Entonces : tg :15 x − 8 y − 22 = 0 N : 8 x + 15 y − 31 = 0

9.-

Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola x 2 − 2 y 2 + 4 x − 8 y − 6 = 0 , que son paralelas a la recta 4 x − 4 y + 11 = 0 . Ecuación de las tangentes: y = mx + k m=1 y = x + k …1

Reemplazando 1 en la ecuación de la hipérbola:

x 2 + 4 x − 2( x2 + 2 xk + k 2 ) − 8 x − 8k − 6 = 0 x 2 + 4 x − 2 x2 − 4 xk − 2k 2 − 8 x − 8k − 6 = 0 x 2 + (4k + 4) x + 2k 2 + 8k + 6 = 0 b 2 − 4ac = 0 (4k + 4) 2 − 4.1.(2k 2 + 8k + 6) = 0 16k 2 + 32k + 16 − 8k 2 − 32k − 24 = 0 8k 2 = 8 k = ±1 Reemplazando “k” en 1 x − y +1 x − y −1 Ecuaciones de las tangentes… 10.-

Sean las rectas L : 3 x + 4 y − 27 = 0, L1 : x = 5, L2 : x = −3 tal que L ∩ L1 y L ∩ L2 . Son extremos del lado recto de una hipérbola H. Si el centro de la hipérbola esta situada más cerca del origen del sistema xy y a 6 unidades del lado recto. Hallar la ecuación de la hipérbola y la ecuación de las directrices en el sistema xy .

L ∩ L1 = (5; 3) L ∩ L2 = (13; -3)

L2 L

L1

(5; 3) L2

(13:-3)

Hallando el foco:  5 + 13 3 − 3  ;   2   2 (9;0) Hallando ecuación del eje focal: 4 m= 3 4 y = ( x − 9) 3 3 y = 4 x − 36 4 x − 3 y − 36 = 0  4 x − 36   x;  3  El centro:  Distancia del centro al lado recto 6…. 2

4 x − 36  ( x − 9 ) +   = 36  3  16 x − 288 x + 1296 x 2 − 18 x + 81 + = 36 9 9 x 2 − 162 x + 729 + 16 x2 − 288 x + 1296 = 324 2

25 x 2 − 450 x + 1701 = 0 450 ± 202500 − 170100 50 450 ± 32400 x1,2 = 50 63 27 x1 = , x2 = 5 5  27 72   ;−  15  Entonces: centro=  5 x1,2 =

27 3 4 x− = x´ − y´ 5 5 5 5 x − 27 = 3x´−4 y´ x´=

3x + 4 y + 3 5

72 4 3 = x´ + y´ 15 5 5 72 5y + = 4 x´+3 y´ 3 y+

y´=

3 y − 4 x + 36 5

Extremos del lado recto en el xy

( 5;3) ( 13; −3)

x´ y´

. x´ y´

( 6;5) ( 6; −5)

Longitud del lado recto: b2 10 = 2 a 2 5a = b c=6 a2 + b 2 = c 2 a 2 + 5a − 36 = 0 a = −9; a = 4 ⇒ a = 4; b 2 = 20 Ecuación de la hipérbola… x ′ 2 y ′2 − =1 16 20 Pasamos la ecuación de la hipérbola al sistema xy: 19 x 2 − 216 xy − 44 y2 − 1242 x + 744 y + 7139 = 0 Hallamos las directrices en el sistema xy: x=a c 3x + 4 y + 3 16 = 5 6 18 x + 24 y − 62 = 0 x = −a c 3x + 4 y + 3 16 =− 5 6 18 x + 24 y + 98 = 0 11.-

La hipérbola H:44x2 +216xy -19y2-800x-600y = 0 es tangente a la recta L en el punto P = (5, 10): Tg 2Ѳ = B . = 2 1 6 =24 2Ѳ = 74 A-C 44 +19 7 Ѳ = 37

A´ = 44cos2Ѳ +216 cosѲ senѲ -19sen2Ѳ = 44.16 +216.4 .3 -19.9 = 125x ´2

25 5 5 25 C´ = 44 sen Ѳ -216cos Ѳ sen Ѳ -19cos Ѳ = 44. 9 – 2592 -19.16 = -2500 =-100y´ 2 25 25 25 25 D´ = -800cos Ѳ -600sen Ѳ = -800.4 -600.3 = -1000y2 5 5 F´ = -600cos Ѳ +800sen Ѳ = -600.4 +800.3 = 0 5 5 Ecuación: 125x´2 -100y´-1000x´= 0 5x´2 -4y´ -40x´ = 0 (X´-4)2 – y2 = 1 16 20 a) Encontrar la ecuación de L: 5(x´-4)(6) -4y´(5) = 80 30x´-120y´-120 = 80 3x´-12y´-12 = 8 3x´-12y´-20 = 0 2

b)

hallar los verices: x´y´= (8,0) x = x´cos Ѳ –y´sen Ѳ x = 8.4 = 32 5 5 Y = x´sen Ѳ +y´cos Ѳ Y = 8.3 = 24 5 5 V= (32, 24) 5 5

2