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Titulo de Especialización: Especialización en Docente en educación y TIC. Educación Secundaria

Modulo: Propuesta Didáctica 2- Matemática 2 Aula: Matematica2_076 Apellido y Nombre: Lencina Hebe Institución Educativa: UNAJ Año Lectivo: 2017

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Secuencia didáctica Área: Matemática Curso:3° Tema: Función Cuadrática Fundamentación: De acuerdo a los principios y sugerencias que proponen los NAP, y asistida por el incalculable aporte de las nuevas tecnologías al campo educativo, he diseñado esta propuesta proponiendo actividades que a través del uso de las TIC permiten al alumno investigar conceptos y relaciones de manera más activa y asistiéndolos en la interpretación de aquello que observan. La utilización de algunos recursos disponibles en la web, resultan útiles a la hora de ejercitar, aplicar y proponer una autoevaluación a los alumnos, ya que esto permitirá poner en juego habilidades para testear, conjeturar, probar, experimentar y resolver, lo cual propiciará en ellos el desarrollo de procesos de metacognición, ya que el lenguaje visual atrae e interpela de manera directa a nuestros adolescentes y los predispone positivamente para introducirse luego al lenguaje algebraico, propio de esta asignatura. Trabajar luego con el planteo de situaciones problemáticas modelizadas del conocimiento, en una dinámica grupal donde la intervención docente sirve de mediador entre el alumno y los contenidos, forman parte de un proceso de reflexión sobre los diferentes procedimientos de resolución que pudieran haber surgido entre los integrantes de la clase. El uso de GeoGebra es didácticamente potente en este momento de la clase, ya que nos permite experimentar, modificando parámetros, explorar y formular conjeturas, y finalmente generalizar a situaciones análogas. El papel que cumple el docente en la apropiación del conocimiento es el de mediador de los contenidos, crea las situaciones y construye los dispositivos iniciales susceptibles de plantear problemas útiles al alumno, y una serie de preguntas que los invita a reflexionar y controlar situaciones soluciones precipitadas. Mencionar la evaluación, no como un instante único sino como un proceso totalmente dependiente y en estrecha vinculación con los propósitos, objetivos y actividades de la clase. Modificando la manera en que evaluamos aquello que aprenden nuestros alumnos tenemos la posibilidad de modificar lo que realmente aprenden y, consecutivamente también tenemos la oportunidad de modificar el modo en que se enseña lo que aprenden.

Propósitos:

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Estimular en los alumnos en el planteo de hipótesis, formulaciones y/o suposiciones, y su consecuente comprobación mediante el uso de las TIC (particularmente de Geogebra). Promover el estudio de las funciones cuadráticas desde sus elementos principales. Promover un espíritu crítico y de colaboración con sus pares, durante el desarrollo de la clase. Promover el trabajo colaborativo para facilitar el análisis e interpretación de las actividades planteadas.

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Propiciar instancias de reflexión sobre lo que se ha realizado, discusiones acerca de los distintos procedimientos utilizados, y confrontación de las conclusiones enunciadas por los alumnos. Promover relaciones entre los contenidos matemáticos (específicamente de las funciones cuadráticas) y las otras disciplinas. Implementar el uso de Geogebra para la construcción de gráficos, exploración y formulación de conjeturas y para la resolución de problemas.

Objetivos: Que los alumnos logren: ● Utilizar herramientas TIC, en particular Geogebra, como asistente en el análisis de gráficas y en la resolución de problemas. ● Enunciar conclusiones simples que se desprenden de comparar las gráficas de diferentes funciones cuadráticas, mediante la variación de sus parámetros.. ● Calcular las raíces de una función cuadrática (utilizando la fórmula de Baskara),eje de simetría y vértice, y comparar con las obtenidas al graficar con Geogebra. ● Reconocer y utilizar en distintas situaciones las funciones cuadráticas como elementos de modelización e interpretación de la realidad. ● Utilizar los distintos lenguajes para modelizar y resolver situaciones problemáticas. Contenidos: Funciones cuadráticas- Identificación de su expresión general y análisis de sus parámetrosCaracterísticas generales de su gráfica (vértices, ramas, eje de simetría, raíces, etc.)-Cálculo de raíces, eje de simetría y vértice- Uso de los distintos tipos de lenguajes: coloquial, algebraico y gráfico en la lectura, interpretación y análisis de situaciones reales. Saberes previos necesarios: En relación con la disciplina: Noción de dependencia entre variables .Lectura e interpretación de gráficos-Resolución de ecuaciones: raíz de una ecuación lineal- Fórmulas de superficie de un rectángulo-manejo elemental del software Geogebra. En relación con las TIC: ● Diferentes vistas de Geogebra (algebraica, gráfica, hoja de cálculo).

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Construcción funciones. Construcción de rectángulos. Punto móvil.

Actividades Encuentro 1 Tiempo previsto:80 minutos

Actividad/es de apertura Tiempo previsto: 20 minutos La docente invita a los alumnos a repasar de manera ágil y en la pizarra, situaciones problemáticas que recuerden haber resuelto mediante el uso de funciones lineales intentando que, finalmente, brinden la fórmula general de dicha función (Y =a.x+b) y la implicancia en la variación de sus parámetros “a” y “b”. A continuación les comenta que trabajarán hoy con otro tipo de función, intentando definir sus parámetros y las particularidades de los mismos, y que para ello, realizarán el problema en sus computadoras con el programa Geogebra el cual ya han trabajado con anterioridad. Presentación del problema: Se entrega a cada alumno la siguiente actividad, mediante una fotocopia. Se solicita que alguien lea en voz alta el enunciado del problema para todo el curso, y a continuación se da lugar a las consultas respecto a la comprensión del mismo y recordando las fórmulas de superficie y perímetro del rectángulo (por si hicieran falta para su resolución). Situación problemática “Una editorial quiere lanzar una nueva revista al mercado conservando ciertas características de sus otras publicaciones. En todas ellas se verifica que la base es la mitad de la altura. Los diagramadores desean saber cuál será la superficie total de la tapa”

Actividad/es de desarrollo Tiempo previsto: 40 minutos Inmediatamente se les propone a los alumnos conformar grupos de 3 a 4 integrantes y se les sugiere completar la tabla y responder las cuestiones que figuran en la guía de actividades. La docente camina alrededor de los bancos entregando fotocopias donde se contempla la actividad. En voz alta lee el enunciado de la actividad y entre todos reflexionan sobre la misma. ● Den varios ejemplos de posibles medidas para la base y la altura, y dejen esos datos asentados en la siguiente tabla. Base (en cm)

Altura (en cm)

Superficie total (en cm2)

Luego de completar la tabla en sus carpetas la docente les propone prender sus computadoras y abrir el software GeoGebra para seguir realizando la actividad con la vista gráfica que nos ofrece el programa. Siempre y cuando se vayan completando las consignas en la carpeta. ● Representen gráficamente en la hoja cuadriculada los pares de puntos que han obtenido mediante las dos últimas columnas de la tabla. ● Escriban una función que represente la superficie total de la página en función de la medida de la altura. i. ¿Representa esa gráfica a una función lineal? ii. ¿Cómo se da la dependencia entre las variables? iii. ¿Qué se representa en cada eje? ● Supongan que ahora condicionan a los diseñadores para que la superficie de la tapa sea de 600 cm2. ¿Qué posibles valores se te ocurren para la base y la altura?

¿Existen varias opciones? Escribe algunas de ellas. ¿Todas ellas serán viables para esta situación en particular? Discutan estas opciones con sus compañeros y luego las compartiremos con el resto del curso. Esta es una actividad donde los alumnos deben producir. Al proponer que completen la tabla con la medida de los lados del rectángulo y luego que hallen el área, se pondrán en juego los conocimientos previos. Luego al graficar las últimas dos columnas de la tabla se les está pidiendo implícitamente que encuentren la función que pasa por esos puntos y como esta dependencia no será lineal, los alumnos deben explorar de qué función se trata.

Actividad/es de cierre Tiempo previsto: 20 minutos PUESTA EN COMÚN Una vez que se ha verificado que todos los grupos han finalizado, se les pide que un integrante de cada grupo, pase a la pizarra y le cuente al resto de sus compañeros los valores hallados para la confección de la tabla y cuál fue la función encontrada. ¿En qué difiere básicamente de la función lineal? ¿Qué pares de valores hallaron para una tapa de 600 cm2? ¿Es posible más de una opción con la última condición impuesta? (Estas preguntas tienen como finalidad que el alumno descubra que por lo general hay dos soluciones posibles, pero no necesariamente ambas son viables para esa situación). La clase se concluye cuando luego de debatir, se arriban a conclusiones concretas, obtenidas a través de la exposición de los grupos con sus respectivas argumentaciones y arribando a acuerdos entre todos.

Recursos ● ● ● ● ●

Herramientas disponibles: Lápiz, papel y pizarra. Guías de actividades: enunciado del problema. Calculadora. Software Geogebra. Bibliografía.

Evaluación La evaluación en esta primera clase consistirá en la observación directa del docente del trabajo e interacción que realiza cada grupo entre sus integrantes y con los otros grupos; la predisposición para colaborar, y la argumentación que los estudiantes realizan frente a las cuestiones que surgen. La intervención docente tendrá como finalidad estimular a los alumnos en la búsqueda de posibles respuestas y/o soluciones, y fomentando el intercambio de opiniones y conjeturas entre sus integrantes.

Actividades Encuentro 2 Tiempo previsto:80 minutos

Actividad/es de apertura Tiempo previsto: 10 minutos El docente retoma el problema trabajado la clase anterior. Los alumnos releen el enunciado; repasan los valores hallados para las dimensiones de la revista y repasan la función que lograron definir para esa situación.

Actividad/es de desarrollo Tiempo previsto: 55 minutos Se les indica que a partir de esta clase comenzaremos a utilizar Geogebra, para ir graficando las funciones que vamos definiendo, e intentaremos ir descubriendo particularidades de las mismas. A continuación, se les indica: 1. Seleccionar la vista “álgebra y gráficos”. 2. Los alumnos, de manera individual, representarán en GeoGebra los puntos encontrados, que se corresponden con los puntos de la tabla. 3. Utilizando la función “cónica dados cinco de sus puntos” , obtener la representación gráfica correspondiente. 4. Una vez obtenida la gráfica, el docente solicita a los alumnos situarse sobre la gráfica obtenida para observar el nombre de la misma y su fórmula, para compararla con la obtenida en el papel. (En este momento la docente recorre particularmente atenta al trabajo que cada grupo realiza en el software, asesorando y/o corrigiendo a quienes lo necesiten) ●

Esos puntos ¿Están ubicados a lo ancho de toda la gráfica? ¿Por qué no han obtenido puntos en el semieje negativo de “x”, en este caso? Discute con tus compañeros esta cuestión. Una vez transcurridos unos 15 minutos, la docente realiza una intervención en pizarra, para todo el curso, en la que se mencionan que la gráfica obtenida recibe el nombre de PARÁBOLA y que ese es el tipo de gráfica que se obtiene cada vez que se trabaja con una FUNCIÓN CUADRÁTICA. Allí se hará una sencilla puesta en común respecto a las preguntas que se realizaron, poniendo el énfasis en que los alumnos comprendan que las funciones se utilizan para modelizar problemas reales, pero que sus gráficas, a veces deben acostarse para ajustarse a la realidad. Inmediatamente después se les solicita avanzar un poco más en el análisis de la situación planteada inicialmente, incorporando algunas otras condiciones, tal como lo indica el siguiente enunciado:

“Los diagramadores deciden que una franja de 5 cm de altura, ubicada en la parte superior de la página, sea destinada al título de la revista (Ver el gráfico). Ellos desean saber cuál será el área restante disponible para las noticias y fotografías”

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Escriban la función que represente la superficie restante en función de la medida de la base. Representen gráficamente esa función con geogebra, introduciendo la misma en la sección “entrada”, y compárala con la obtenida anteriormente. Discutan con sus compañeros las diferencias observadas. ¿Qué conclusiones pueden enunciar a partir de esa comparación?

"A último momento la redacción de la revista decide destinar un cuadrado de 10 cm de lado, ubicado como se muestra en la figura de abajo, para plasmar allí la "foto de la semana", y la zona restante para notas sobresalientes"

Teniendo en cuenta la segunda parte del problema: ● ¿Cuál es la expresión de la función al agregar esta última condición? ● Representen gráficamente esa función con geogebra y compárala con las otras dos obtenidas anteriormente. Discutan con sus compañeros las diferencias y similitudes observadas. ● ¿Cómo resulta la nueva gráfica en relación con la anterior? ● ¿Pasa por los mismos puntos? ● ¿Qué nuevas conclusiones pueden enunciar a partir de esa comparación?

Actividad/es de Cierre Tiempo previsto: 15 minutos PUESTA EN COMÚN En el cierre de esta segunda clase, el docente comprueba mediante una serie de preguntas (ver abajo) si los alumnos han podido descubrir cómo varía una función cuadrática a medida que se incorporan otros parámetros en la misma, aprovechando la oportunidad para señalar cuáles son los elementos básicos de esa función: ramas, eje de simetría, vértice (máximo o mínimo) y raíces, Para poder realizar un análisis más detallado de estos elementos, se les solicita ver detenidamente las siguientes presentaciones en Slideshare para la próxima clase.(Estos enlaces serán presentados en el grupo cerrado de Facebook, que los alumnos utilizan habitualmente con varios docentes de la institución, cuando se les indica alguna tarea para el hogar)) · http://www.slideshare.net/profematemticaromanoviviana/presentacionpower-point·

curso http://www.slideshare.net/Francisco_Fuentes/funciones-cuadraticas-24042856

(Este último sólo debe ser visualizado hasta la diapositiva Nª 20)

Preguntas para el Cierre ¿Qué cambios se observan en la segunda gráfica respecto de la primera? ¿Y en la última gráfica obtenida respecto de las anteriores? ¿Qué tipo de desplazamiento tiene la parábola resultante de la segunda y tercer situación? ¿Encuentras alguna relación entre el término independiente hallado en la última expresión y el de una función lineal, que viste el año pasado?

Recursos ● ●

Herramientas disponibles: lápiz y papel. Pizarra. Guías de actividades: enunciado del problema (parte dos)

Bibliografía: ● Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2. Traducción de Liliana Saidon. ● Presentaciones de slideshare.

Evaluación: La evaluación de la segunda clase está enfocada en el seguimiento que el docente realiza, respecto a las reflexiones, comentarios y deducciones que se van presentando a lo largo de la clase y como respuesta a las preguntas sugeridas en la guía de actividades.

Actividades Encuentro 3 Tiempo previsto: 80 minutos

Actividad/es de apertura Tiempo previsto: 20 minutos El docente retoma las conclusiones a las que se abordaron en la puesta en común de la clase anterior, y se van asentando en la pizarra. A continuación, el docente irá planteando una serie de preguntas tendientes a verificar qué nuevos elementos de la parábola (vértice, eje de simetría, raíces e intersección con el eje “Y”), han descubierto luego de visualizar los vídeos sugeridos para esta clase. Particularmente se centrará en remarcar que en ocasiones no es muy sencillo encontrar los valores que verifican la situación planteada (Raíces), y que para ello existe una fórmula resolutiva: “la fórmula de Baskara”, que nos facilita ese cálculo.

Actividad/es de desarrollo Tiempo previsto: 60 minutos

Uno de los propósitos de esta clase es estudiar el comportamiento de la función cuadrática al variar sus parámetros “a”, “b” y “c”, utilizando cada uno de los deslizadores asociados a la expresión algebraica. Para ello, se les solicita a los alumnos que vuelvan a graficar las funciones trabajadas, y utilizando el ícono “intersección entre dos objetos”, identifiquen en la vista gráfica las raíces, el punto de intersección con el eje “Y” y el vértice de las parábolas obtenidas. Luego, utilizando las fórmulas que se observaron en los videos sugeridos, calcular esos valores para verificar la coincidencia.

Este último paso tiene como finalidad, que el alumno verifique por sí mismo la correlatividad entre el resultado de una fórmula aplicada y su visualización gráfica. Actividad/es de cierre Tiempo previsto: 20 minutos PUESTA EN COMÚN El docente centrará esta puesta en común, en verificar si todos los alumnos lograron arribar a las mismas soluciones para las raíces, el punto de intersección con el eje “Y” y el vértice de las parábolas obtenidas, aprovechando esa ocasión para hablar sobre la concavidad, abertura, eje de simetría, etc. Cada alumno escribirá las conclusiones a las que arribe, en su cuaderno de clase. Para que los alumnos puedan autoevaluarse en algunos de los conceptos estudiados se les sugiere ingresar a http://conteni2.educarex.es/mats/11826/contenido/ donde encontrarán actividades muy simples y significativas para realizar. Recursos ● Herramientas disponibles: lápiz y papel. Pizarra. ● Software Geogebra ● Calculadora ● Bibliografía: Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2. Traducción de Liliana Saidon. Evaluación Final Se propone a los alumnos resolver las siguientes situaciones: 1. “El campo de una cancha de fútbol tiene actualmente las siguientes dimensiones: Su largo es el doble de su ancho. Como está en proceso de remodelación, los dueños han decidido disminuir 2 metros tanto a uno como al otro, para ubicar en esa nueva zona un pequeño kiosco” i) Realiza un gráfico ilustrativo de la situación presentada, consignando allí los datos que surgirán de la remodelación. ii) Escribe una función que represente el área de la cancha en función de su ancho. iii) Representa gráficamente esa función utilizando Geogebra. iv) Desde la vista gráfica de Geogebra, identifica: · Las coordenadas del vértice de la parábola.

· La ecuación del eje de simetría de la parábola. · El/los punto/s de corte de la parábola con el eje “x” · Intersección con el eje “Y” 2. Calcula ahora los elementos visualizados en Geogebra, y compara resultados. 3. Supone que la superficie de ese terreno debe ser de 264 m2 ¿Cuáles serán las dimensiones de ese campo de fútbol? 4. “El producto de dos números consecutivos es 132. ¿Cuáles son esos dos números?