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• Roberto Murguia

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Colegio Nacional Agustín Álvarez Nº 4-083 MATEMÀTICA Cuarto Año – Cartilla Nº 1

B

ienvenidos!!! Espero que tengamos muchas ganas de aprender, comencemos …

En esta cartilla, trabajaremos Función cuadrática, que permiten describir innumerables fenómenos relacionados con distintas ciencias, como la biología, la física, la economía y la astronomía. Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas eran conocidas ya en la antigüedad. Desde entonces, los matemáticos desarrollaron curiosos métodos para su resolución. A toda función polinómica de la forma y = f (x) = a x2 + b x + c ; con a , b , c  R se la llama función cuadrática.

y a0

Los términos de la función reciben los siguientes nombres:

y = ax2 + bx + c Término cuadrático

Término independiente Término lineal

a = coeficiente principal (coeficiente del término cuadrático) b = coeficiente del término lineal c = término independiente y su gráfica es una curva llamada parábola.

El dominio de la función es

X1

Si le damos coeficientes a, b y distintas

Fórmula

a

a b

b

-1

0

2

1

cc

f(x) = -6 + 2x2 + x h(x) = 80x - 5x2 Fórmula

Prof. Veronica Lourdes Cummaudo g(x) = 1 s(x) =

4

-3

diferentes valores a los c, obtenemos las fórmulas de funciones cuadráticas:

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EJERCICIO 1 Marcar con una cruz las funciones que sean cuadráticas: a) y = 3x – 2

Ο

b) y= x + 32

Ο

c) y = – x2 + 4

Ο

d) y = 5x + 0x2

Ο

Análisis de la función cuadrática

La función cuadrática f(x) = x2 En la fórmula de f: a = . . . . . ., b: . . . . . y c = . . . . . EJERCICIO 2 Completa la tabla, marca los puntos en el gráfica y traza la parábola que los contiene: x

f(x) = x2

-2 -1

0

1 2

Observemos el EJERCICIO 2: Como el cuadrado de todo número real es positivo, la imagen de la función puede ser 0 o encontrarse en el semieje positivo de las y. Por lo tanto, el conjunto imagen de f es: . . . . . . . . . . Los gráficos de las funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso, es el eje y. Marca con rojo el punto en el que la parábola corta el eje de simetría. Ese punto es el vértice. En este caso, las coordenadas del vértice son: V = (……. ; ……) EJERCICIO 3 Para cada una se las siguientes funciones: Prof. Veronica Lourdes Cummaudo 2

Colegio Nacional Agustín Álvarez Nº 4-083 MATEMÀTICA Cuarto Año – Cartilla Nº 1 F(x) = x2 – 1 ; g(x) = -2x2 + 4x ; h(x) = x2 – 2x + 1 ; m(x) = -x2 + 2x – 3 ; t(x) = x2 + x – 6 y s(x) = a) Indica los valores de los coeficientes a, b y c.

x2

b) Grafica cada una de ellas mediante la confección de una tabla de, como mínimo, cinco pares de valores

La función f(x) = ax2

Observa los gráficos de las funciones f, t, s, p y k:

f(x) = x2

a=......

t(x) = 2x2

a=......

s(x) =

x2

a=......

p(x) = -x2

a=......

k(x) = -2x2

a= . . . . . .

Si comparamos los gráficos, podemos observar que:  el signo de a indica hacia donde se dirigen las ramas:  si a es positivo, las ramas van hacia . . . . . . . . . . . . . .  si a es negativo, las ramas van hacia . . . . . . . . . . . . .  el valor absoluto de a modifica la abertura de las parábolas:  Cuanto menos es a , la parábola es más abierta, y cuanto . . . . . . . . . . . . . es a , la parábola es más . . . . . . . . . CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y EXTREMO Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el son crecientes y otro en el que son decrecientes. Además, la ordenada del vértice es el valor máximo o el valor mínimo que alcanza la función. Lo llamamos extremo.

En el gráfico anterior podemos observar que: 

la función f(x) = x2 es decreciente para los valores negativos de x y creciente para los valores

positivos de x. Su intervalo de decrecimiento es ( );

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; 0) y su intervalo de crecimiento es (0;



Colegio Nacional Agustín Álvarez Nº 4-083 MATEMÀTICA Cuarto Año – Cartilla Nº 1 las funciones . . . . . . . y . . . . . . tienen los mismos intervalos de crecimiento y de decrecimiento que f. Para todas ellas, la ordenada del vértice es un mínimo , ya que la imagen del 0 es menos que el valor que toma la función;

las funciones p(x) y k(x) son crecientes en el intervalo . . . . . . . . . . . . y decrecientes en el intervalo . . . . . . . . . . . Para estas funciones, la ordenada del vértice es un ya que la imagen del 0 es el mayor valor que toma la función.

EJERCICIO 4 Considera las siguientes funciones: f(x) = 3x2 y g(x) = a)

x2 y para cada una:

Indica los valores de los coeficientes a, b y c.

b) Indica, sin graficarlas, hacia dónde se dirigen las ramas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y si la ordenad del vértice es un máximo o un mínimo.

La función f(x) = x2 + c

Esta forma de fundón nos indica el desplazamiento vertical de f(x) = x2. Tomemos la función

y = x2

cuya gráfica es simétrica respecto del eje y.

Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación y = x2 tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.

Para f(x) = x2



tenemos que el: Dom: R , Img. : [0, +

), vértice (0, 0).

Si sumamos a la ecuación cuadrática (x2) tres unidades, o sea, "x2 + 3", la imagen se desplaza "tres" hacia arriba, de manera que el intervalo queda definido desde [3, + ).

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

Colegio Nacional Agustín Álvarez Nº 4-083 MATEMÀTICA Cuarto Año – Cartilla Nº 1 Si restamos a la ecuación cuadrática ( x2) cuatro unidades, o sea, "x2 - 2" la imagen se desplaza "dos" hacia abajo, de manera que el intervalo queda definido desde [-2, + ).

f(x)= x2 + c, la parábola de desplaza sobre el eje y hacia abajo ( - c ) o hacia arriba ( + c )

Observemos que estos desplazamientos no modifican el eje de simetría, pero sí la ordenada del vértice y el conjunto imagen de cada función.

EJERCICIO 5 Completar el siguiente cuadro: f(x) = x2 Vértice

g(x) = x2 + 2

h(x) = x2 – 1

(0 , 2)

Conjunto imagen

[– 1 , +)

Funciones de la forma f(x) = ax2 + bx

Gráfico 1

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Gráfico 2

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Observa el gráfico 1 y completa:



En y =

x2 + 2x, a= . . . . . y b = . . . . . . el signo de ambos coeficientes es . . . . . . . .



En y =

x2 - 2x, a = . . . . . y b = . . . . . . el signo de ambos coeficientes es . . . . . . .



Cuando a y b tienen el mismo signo la gráfica se desplaza hacia la . . . . . . . . . . .

Observa el gráfico 1 y completa:



En y = x2 - 2x, a= . . . . . , su signo es . . . . . . . . . . . . . y b = . . . . . ., su signo es . . . . . . . . . . . . . . el signo de ambos coeficientes es . . . . . . . . . . .



En y = x2 + 2x, a = . . . . ., su signo es . . . . . . . . . . . . . y b = . . . . . ., su signo es . . . . . . . . . . . . . . el signo de ambos coeficientes es . . . . . . . . . . .



Cuando a y b tienen distinto signo la gráfica se desplaza hacia la . . . . . . . . . . .

GRÁFICA DE LA PARÁBOLA Para realizar el gráfica de una parábola f(x) = ax2 + bx + c, se debe calcular los elementos de la misma y luego representarla.

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Ejemplo: a= Sea f(x) = x2 – 2x – 3

b= c=

Cada parábola presenta: 

Eje de simetría: Eje vertical que divide a la función en dos partes simétricas.



Vértice: punto en el que la curva pasa de ser creciente a decreciente o viceversa.



Ceros o Raíces: Son los puntos de contacto entre su gráfica y el eje de las x.

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Ordenada al Origen: Es el punto de contacto de la gráfica con el eje y.

EJERCICIO 6 Representa las siguientes funciones mediante el eje de simetría, vértice, ceros y ordenada al origen. a)

f(x) = x2 – 4

b) f(x) = x2 – 4 + 3

c) y = - 3 x2 + 6x

d) y = - 2x2 – 4x + 1

EJERCICIO 7 Analiza y grafica las siguientes funciones: a)

y = - x2 + 7x

b) y = x2 - 9x

c)

y = 1 – 9x2

FORMA CANÓNICA DE UNA FUNCION CUADRÁTICA Si conocemos las coordenadas del vértice de una función cuadrática, su fórmula puede expresarse en FORMA CANONICA, así:

f(x) = a . (x - xv) + yv Prof. Veronica Lourdes Cummaudo 8

x v : abscisa del vértice y v : ordenada del vértice

Colegio Nacional Agustín Álvarez Nº 4-083 MATEMÀTICA Cuarto Año – Cartilla Nº 1 Ejemplo Halla la expresión canónica de la función y = 4x2 + 16x + 7

FORMA FACTORIZADA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Si una función cuadrática tiene raíces reales x1 y x2, ya sean iguales o distintas, su fórmula puede expresarse en FORMA FACTORIZADA, así:

f(x) = a . (x – x1) . (x – x2)

Ejemplo Halla la forma factorizada de la función Y = -3x2 + 6x + 3 Identificamos los coeficientes

Reemplazamos en la fórmula Prof. Veronica Lourdes Cummaudo 9

a=.....

b=.....

c= .....

=

Colegio Nacional Agustín Álvarez Nº 4-083 MATEMÀTICA Cuarto Año – Cartilla Nº 1 = ...................... =

PASAJE DE LA FORMA CANÓNICA A POLINÓMICA

f(x) = 2 (x - 3)2 + 5 f(x)= 2 (x2 – 2.x.3 + 32) + 5

 Se resuelve el cuadrado del binomio  Luego se aplica la propiedad distributiva

f(x)= 2x2 – 2.6.x + 2.32 + 5 → f(x)= 2x2 – 12x + 18 +5

 Por ultimo se agrupan los términos semejantes.

f(x)= 2x2 +12x + 23

EJERCICIO 4 Dada las ecuaciones polinómica, dar la ecuación canónica y factorizada a)

Y = -2x2 + 5x – 2

b) y = 4x2 + 3x - 1

EJERCICIO 5 a) Halla la expresión canónica y factorizada de la siguiente función Y = -6x 2+ 12x b) Halla la expresión polinómica de la siguiente función Y = -3. (x + 2) 2 + 12

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